Пусть функция непрерывна вдоль Г.
Рассмотрим интеграл
(1)
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Интеграл типа Коши. Теорема Мореры презентация
Содержание
- 1. Интеграл типа Коши. Теорема Мореры
- 2. Выражение (1) имеет определенное значение в каждой
- 3. При общих вышеуказанных предположениях выражение (1) называется
- 4. Доказательство. Пусть z — произвольная точка области
- 5. Тогда или если возможен предельный переход под
- 6. Покажем, что разность стремится к нулю при
- 7. Обозначим через 2d расстояние от точки z
- 8. Значит, Последнее равенство обосновывает предельный переход, что и завершает доказательство теоремы.
- 9. Функция , определенная
- 10. п.2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Теорема 3.
- 11. Доказательство. Пусть z — произвольная точка области
- 12. С другой стороны, на основании теоремы 2
- 13. Замечание 1.
- 14. п.3. Обращение интегральной теоремы. Теорема 4 (Морера).
- 15. Доказательство. Из условия теоремы следует, что интеграл
Выражение (1) имеет определенное значение в каждой точке z, Поэтому, оно определяет однозначную функцию Если Г — замкнутая кривая, и — аналитическая функция
Слайд 1§10. Интеграл типа Коши. Теорема Мореры.
п.1. Интеграл типа Коши.
Пусть Г —
произвольная кусочно-гладкая кривая, замкнутая или незамкнутая.
Слайд 2Выражение (1) имеет определенное значение в каждой точке z,
Поэтому, оно
определяет однозначную функцию
Если Г — замкнутая кривая, и — аналитическая функция как внутри Г, так и на Г, то
В этом случае (1) называется интегралом Коши.
Слайд 3При общих вышеуказанных предположениях выражение (1) называется интегралом типа Коши.
Функция
, определенная интегралом типа Коши (1), аналитична во всякой односвязной области G, не содержащей точек кривой Г, и для ее производной имеет место формула
Теорема 1.
Слайд 5Тогда
или
если возможен предельный переход под знаком интеграла в правой части.
Обоснуем этот
предельный переход.
Слайд 7Обозначим через 2d расстояние от точки z до кривой Г, т.е.
Тогда
и,
кроме того, при достаточно малых
Поэтому,
где l — длина Г.
Слайд 8Значит,
Последнее равенство обосновывает предельный переход, что и завершает доказательство теоремы.
Слайд 9Функция , определенная интегралом типа Коши (1),
имеет в каждой точке z, лежащей вне кривой Г, производные всех порядков.
Теорема 2.
При этом имеют место формулы
Доказательство.
Методом математической индукции.
Слайд 10п.2. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции.
Теорема 3.
Каждая функция , аналитическая в области G, имеет производные всех порядков в этой области, т.е. бесконечно дифференцируема в ней.
Слайд 11Доказательство.
Пусть z — произвольная точка области G;
Г — кусочно-гладкий замкнутый контур,
окружающий точку z и лежащий со всеми своими внутренними точками в области G.
С одной стороны, по интегральной теореме Коши
Слайд 12С другой стороны, на основании теоремы 2 функция
, определяемая интегралом типа Коши, дифференцируема в точке z произвольное число раз.
В силу произвольности выбора точки z заключаем, что функция имеет производные всех порядков повсюду в области G.
Слайд 13Замечание 1.
Для производных аналитической
функции справедливы формулы
которые называются формулами Коши для производных.
Замечание 2.
Любая производная аналитической функции является аналитической функцией.
Слайд 14п.3. Обращение интегральной теоремы.
Теорема 4 (Морера).
Пусть
G — односвязная область;
— непрерывная в G функция;
для любого кусочно-гладкого замкнутого контура Г, справедливо равенство
Тогда
функция является аналитической в области G.
Слайд 15Доказательство.
Из условия теоремы следует, что интеграл
не зависит от пути, соединяющего точки
и z.
По теореме 1 §9 функция
является аналитической в области G, причем
Для завершения доказательства осталось применить замечание 2.
