Презентация по геометрии на темы "Касательная к окружности" и "Вписанные, центральные углы." презентация

углы."

в Оглавление

прямая и окружность имеют только одну общую точку.

касательная к окружности

r

H

M

O

в Оглавление

касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. А − точка касания.

о

A

p

в Оглавление

пусть p- касательная к окружности с центром O,А- точка касания.Докажем,что касательная p перпендикулярна к радиусу ОА.
Предположим,что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой p.Так как перпендикуляр, проведенный из точки O к прямой p, меньше наклонной OA, то расстояние от центра О окружности до прямой p меньше радиуса. Следовательно, прямая p и окружность имеют две общие точки.Но это противоречит условию: прямая p-касательная.Таким образом,прямая p перпендикулярна к радиусу OA. Теорема доказана.

O

A

P

в Оглавление

равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

По теореме о свойстве касательной ∠ 1 и ∠ 2 прямые, поэтому ΔАВО и ΔАСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу АО и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ = АС и ∠ 3 = ∠ 4, что и требовалось доказать.

2

1

3

4

A

O

B

C

в Оглавление

к этому радиусу, то она является касательной

Из условия теоремы следует, что радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и следовательно, прямая и окружность имеет только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности.

Теорема доказана

в Оглавление

Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному ∠ АОВ соответствуют две дуги с концами А и В.
Если ∠ АОВ развернутый, то ему соответствуют две полуокружности. ∪ ALB = 180º

Центральные углы

O

A

B

L

в Оглавление

внутри этого угла, меньше полуокружности. Про дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности.

L

O

B

A

в Оглавление

центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального ∠ АОВ.

B

L

A

O

L

B

O

A

в Оглавление

равной 360º - ∠ АОВ (центральный).
∪ ALB = 360º - ∠ АОВ.

L

B

O

A

в Оглавление

вписанным углом. Вписанный ∠ АВС опирается на ∪ АМС.

Вписанный угол

B

O

C

M

A

в Оглавление

– вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на ∪ АС. Докажем, что ∠ АВС = половине ∪ АС (на которую он опирается). Существует 3 возможных случая расположения луча ВО относительно ∠ АВС. Рассмотрим их.

в Оглавление

со стороной ВС в этом случае ∪ АС меньше полуокружности, поэтому ∠ АОС= ∪ АС. Так как ∠ АОС − внешний угол равнобедренного Δ АВО, а ∠ 1 и ∠ 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то ∠ АОС = ∠ 1+ ∠ 2 = 2∠1. Отсюда следует, что 2∠1 = ∪АС или ∠ АВС = ∠ 1 = 1/2 ∪ АС.

O

B

2

1

C

A

в Оглавление

угла.

В этом случае луч ВО пересекает ∪ АС в некоторой точке D. Точка D разделяет ∪ АС на две дуги: АD и DC. По доказанному в п.1 ∠ АВD = 1/2 ∪AD и ∠ DBC= 1/2 ∪ DC. Складывая эти равенства попарно, получаем: ∠ ABD + ∠ DBC = 1/2 ∪ АD + 1/2 ∪ DC, или ∠ АВС= 1/2 ∪ АС.

A

B

C

D

в Оглавление

∠ AOD - внешний, т.к.  ABD - равнобедр. То ∠ 1 = ∠ 2 => ∠ AOD = ∠ 1 + ∠ 2 = 2∠1 = ∪ AD, следовательно ∠ ABD = 1/2 ∪ AD.
Аналогично:  ВСО равнобедр. ∠ COD - внешний, следовательно ∠ СВD= 1/2 ∪ CD.
Следовательно, ∠ АВС=1/2 ∪ АС

A

O

B

C

D

в Оглавление

ту же дугу, равны.

в Оглавление

в Оглавление