Презентация на тему Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр

Презентация на тему Презентация на тему Высшая математика. Учебно-методическое пособие для подготовки к компьютерному тестированию. 2 семестр, предмет презентации: Математика. Этот материал содержит 93 слайдов. Красочные слайды и илюстрации помогут Вам заинтересовать свою аудиторию. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций ThePresentation.ru в закладки!

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Текст слайда:

§5. Системы линейных уравнений



Слайд 2
Текст слайда:

6.1. Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных называется система вида


где – коэффициенты системы, – свободные члены ( ).





Слайд 3
Текст слайда:

Систему (1) удобно записывать в компактной матричной форме:


Где - матрица
коэффициентов
системы


Слайд 4
Текст слайда:

- вектор-столбец неизвестных.





- вектор-столбец свободных членов.


Слайд 5
Текст слайда:

ОПР. Расширенной матрицей системы (1) называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов


Слайд 6
Текст слайда:

Решение системы

Упорядоченное множество чисел
называется решением системы (1), если каждое из уравнений системы обращается в верное равенство после подстановки вместо соответственно чисел

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.





Слайд 7
Текст слайда:

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы.
Совокупность всех частных решений называется общим решением.


Слайд 8
Текст слайда:


Решить систему – это значит выяснить совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.
Две системы называются эквивалентными, если они имеют одно и то же общее решение.



Слайд 9
Текст слайда:

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:




Однородная система всегда совместна, так как является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.


Слайд 10
Текст слайда:

6.2. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными



Данная система может быть записана в матричной форме:


Слайд 11
Текст слайда:

Основная матрица A такой системы квадратная. Определитель этой матрицы



называется определителем системы.
Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.


Слайд 12
Текст слайда:

Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными

Система трёх уравнений с тремя неизвестными имеет вид



Слайд 13
Текст слайда:


Определитель системы


Вспомогательные определители




Слайд 14
Текст слайда:

Система (2) может быть представлена в виде


Откуда следует, что при система (2) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:





Слайд 15
Текст слайда:

При и хотя бы одном из
отличном от нуля система (2) несовместна.
При
система (2) имеет бесчисленное множество решений.



Слайд 16
Текст слайда:

Пример

Решить систему по формулам Крамера


Решение. Запишем систему в матричном виде


Слайд 17
Текст слайда:

Найдем определитель системы


Так как определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение.


Слайд 18
Текст слайда:

Вычислим



Слайд 19
Текст слайда:






По формулам Крамера находим


Ответ:





Слайд 20
Текст слайда:

6.3. Исследование и решение СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим произвольную СЛАУ (1) содержащую m уравнений и n неизвестных.
Теорема 6.1. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы:


Слайд 21
Текст слайда:

Теорема 6.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.


Слайд 22
Текст слайда:

6.4. Метод Гаусса

Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных) является универсальным методом решения систем линейных алгебраических уравнений.


Слайд 23
Текст слайда:

С помощью элементарных преобразований система уравнение приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных находятся все остальные переменные.


Слайд 24
Текст слайда:

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов:
На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из полученной ступенчатой системы.


Слайд 25
Текст слайда:

Элементарные преобразования

Перестановка уравнений местами.
Умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля.
Умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля и прибавление его к какому-либо уравнению системы.



Слайд 26
Текст слайда:

Рассмотрим метод Гаусса для системы третьего порядка, определитель которой не равен нулю:


Слайд 27
Текст слайда:

Исключим из второго и третьего уравнений, используя элементарные преобразования системы а затем в полученной системе исключим из третьего уравнения. Мы приведем систему к «треугольному» виду:


Слайд 28
Текст слайда:


После этого начинается обратный ход метода Гаусса: из последнего уравнения находим , из второго - , из первого -
Замечание. Если коэффициент в системе равен нулю, то можно поменять местами уравнения или неизвестные.


Слайд 29
Текст слайда:


Рассмотренный метод решения, заключающийся в сведении исходной системы к системе, имеющей треугольный вид


называется методом Гаусса.



Слайд 30
Текст слайда:

Пример


Рассмотрим систему



Слайд 31
Текст слайда:

Исключим x из второго и третьего уравнения. Для этого первое уравнение умножим на –2 и сложим со вторым, затем первое уравнение умножим на –3 и сложим с третьим.






Слайд 32
Текст слайда:

Получим систему, равносильную данной:



Далее исключим y из третьего уравнения, для чего второе уравнение полученной системы умножим на –1 и сложим с третьим. Получим систему





Слайд 33
Текст слайда:


Из третьего уравнения подставим во второе
и найдем
Подставив найденные значения и
в первое уравнение
получим
Ответ:





Слайд 34
Текст слайда:

Пример

Решить систему методом Гаусса

Решение. Поменяем местами первое и второе уравнения системы (т. к. удобно иметь коэффициент при равный 1):




Слайд 35
Текст слайда:

Получим систему




Последнее равенство неверно. Следовательно, система несовместна.
Ответ:







Слайд 36
Текст слайда:

Пример

Решить систему методом Гаусса
Решение. Умножим первое уравнение на (-2) и сложим со вторым:



Таким образом, в системе остается одно уравнение


Слайд 37
Текст слайда:


Такая система имеет бесчисленное множество решений. Эти решения можно записать в виде:




Слайд 38
Текст слайда:

Пример

1. Установить, совместна ли система и, если она совместна, найти ее решение по формулам Крамера.


Слайд 39
Текст слайда:

Запишем систему в матричном виде:

Решение


Слайд 40
Текст слайда:

Определитель системы равен








Следовательно, система имеет единственное решение. Так как





то

Ответ:


Слайд 41
Текст слайда:

Найденное решение - это точка пересечения прямых
и


Слайд 42
Текст слайда:

2. Установить, совместна ли система и, если она совместна, найти ее решение по формулам Крамера.


Решение. Запишем систему в матричном виде:


Слайд 43
Текст слайда:

Определитель системы:



Определитель


отличен от нуля, следовательно система несовместна (т.е. не имеет решений).


Слайд 44
Текст слайда:


Так как каждое уравнение системы – это уравнение прямой и система не имеет решения, то это значит, что прямые
и
параллельны и не имеют общих точек.


Слайд 45
Текст слайда:

Тема: АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ



Слайд 46
Текст слайда:

Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством.
Замечание: геометрическим образом заданного уравнения не всегда является линия.


Слайд 47
Текст слайда:

ОПР. Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
ОПР. Переменные x и y в уравнении линии называются текущими координатами точек линии.


Слайд 48
Текст слайда:

§1. Уравнения прямой на плоскости

Простейшей из линий является прямая.
Каждая прямая на плоскости OXY определяется уравнением первой степени с двумя неизвестными.
Обратно: каждое линейное уравнение первого порядка с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости.


Слайд 49
Текст слайда:

1.1. Различные виды уравнений прямой

Уравнение
называется общим уравнением прямой.
Каждая прямая на плоскости
определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными вида

и каждое линейное уравнение определяет некоторую прямую.






Слайд 50
Текст слайда:

Уравнение прямой в отрезках

Пусть дана прямая . Если
, то, разделив на :


Обозначив , ,

Получим уравнение прямой в отрезках; a и b – отрезки, которые она отсекает на осях координат.









Слайд 51
Текст слайда:

Пример

Записать уравнение прямой
в отрезках. Построить прямую.
Решение.


Слайд 52
Текст слайда:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k

Дана прямая , которая пересекает оси координат и не параллельна ни одной из них. Пусть угол наклона к положительному направлению оси Ox равен . Точка пересечения с Oy – .





Слайд 53
Текст слайда:



1


1

0




Слайд 54
Текст слайда:

Пусть – произвольная точка прямой.
– уравнение прямой с угловым коэффициентом , где
Частные случаи:
1). – уравнение прямой, параллельной оси Ох и отстоящей от нее на ; 
2). – прямая проходит через начало координат;
3). – уравнение оси Ox;
4). – уравнение оси Oy;






5). – уравнение прямой, параллель-ной оси Oy и отстоящей от нее на a ;


Слайд 55
Текст слайда:

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении k

Пусть дана точка и задан угловой коэффициент k. Тогда уравнение прямой имеет вид:




Слайд 56
Текст слайда:

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и






Слайд 57
Текст слайда:

Угол между прямыми

Рассмотрим на плоскости две прямые:
и
Пусть прямые пересекаются в точке M.



Слайд 58
Текст слайда:

Углом между прямыми и будем называть наименьший угол, на который надо повернуть вокруг точки M против часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой .



Слайд 59
Текст слайда:

Угол между прямыми:

Взаимное расположение двух прямых:

Прямые совпадают:

2. Прямые параллельны:

3. Перпендикулярны:







Слайд 60
Текст слайда:

Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от точки до прямой






Слайд 61
Текст слайда:

Тема: Элементы векторной алгебры



Слайд 62
Текст слайда:

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.
Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением.
Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается с помощью вектора.

§1. Векторы 1.1. Основные понятия


Слайд 63
Текст слайда:

ОПР. Вектором называется направленный отрезок.
На чертеже вектор изображается отрезком, на котором стрелкой помечено направление



Слайд 64
Текст слайда:

Если один конец отрезка AB - точка  A - начало вектора, а точка  B - конец вектора, то вектор обозначается символом





Слайд 65
Текст слайда:

Расстояние между началом и концом вектора называется его модулем (или длиной). Модуль обозначается
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором, обозначается . Модуль нулевого вектора равен 0, а направление не определено.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным (или ортом), обозначается




Слайд 66
Текст слайда:

Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой), называются коллинеарными
Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.




Слайд 67
Текст слайда:

Два коллинеарных вектора называются противоположными, если они имеют равные модули и противоположное направление. Вектор, противоположный вектору , обозначается



Слайд 68
Текст слайда:

1.2. Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называют их сложение, вычитание, умножение вектора на число.
Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец ― с концом вектора , при условии, что начало вектора совмещено с концом вектора .
Записывают




Слайд 69
Текст слайда:

Дано:





Правило треугольника:

Правило многоугольника:


Слайд 70
Текст слайда:

Умножение вектора на число

Произведением вектора на число
называется вектор , который удовлетворяет условиям:
1) 
и ― одинаково направлены при
и ― противоположно направлены при





Слайд 71
Текст слайда:

Дано: - некоторое число;




Слайд 72
Текст слайда:

1.3. Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось т. е. направленная прямая.




Проекцией точки на ось называется основание перпен-дикуляра опущенного из точки на ось.


Слайд 73
Текст слайда:

Если точка M лежит на оси, то ее проекция на ось совпадает с самой точкой.
Пусть — произвольный вектор. Обозначим через и проекции на ось соответственно начала и конца вектора и рассмотрим вектор
ОПР. Проекцией вектора на ось называется положительное число , если вектор и ось одинаково направлены и отрицательное число
если вектор и ось противоположно направлены.


Слайд 74
Текст слайда:

Если точки и совпадают, то проекция вектора равна 0.
Проекция вектора на ось обозначается: пр
Угол между вектором и осью (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке



Слайд 75
Текст слайда:

1.4. Линейная зависимость векторов

При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной размерности. Такую совокупность векторов называют системой векторов и обозначают:


Слайд 76
Текст слайда:

ОПР. Линейной комбинацией векторов (1) называется вектор вида
 
где – любые действи-тельные числа. В этом случае говорят также, что вектор линейно выражается через векторы


Слайд 77
Текст слайда:

ОПР. Система ненулевых векторов (1) называется линейно зависимой, если существую такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:

Если же равенство (2) для данной системы векторов выполняется лишь при

то такая система векторов называется линейно независимой.


Слайд 78
Текст слайда:

ОПР. Размерностью системы векторов называется максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.
Если таких векторов n, то система называется n-мерной.
ОПР. Совокупность n линейно независимых векторов n -мерной системы векторов (1) называется ее базисом.


Слайд 79
Текст слайда:

Теорема Каждый вектор n-мерной системы векторов можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса
 
Равенство (3) называется разложением вектора по базису а числа – координатами вектора относительно этого базиса.


Слайд 80
Текст слайда:

В силу единственности разложения (3) каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.
На плоскости любые два неколлинеарных вектора образуют базис.
В пространстве любые три некомпланарных вектора образуют базис.


Слайд 81
Текст слайда:

1.5. Координаты вектора

Координатами вектора в прямоугольной системе координат OXY называются проекции x, y, вектора на оси координат. Обозначают








Слайд 82
Текст слайда:


Множество всех n-мерных векторов с действительными координатами обозначается
Таким образом, вектор


Слайд 83
Текст слайда:

Если , – единичные векторы (орты) координатных осей, то вектор можно представить в виде
Направляющими косинусами вектора
называются косинусы углов , , образуемых им с осями координат OX и OY соответственно.



Слайд 84
Текст слайда:

Если вектор имеет начало в точке
и конец в точке , то координаты вектора равны разности соответствую-щих координат конечной и начальной его точек:
Модуль вектора









Слайд 85
Текст слайда:

Пример

Даны точки и
Найти: а) координаты
б) модуль
Решение. а) Координаты
б) Модуль найдем, используя формулу







Слайд 86
Текст слайда:

1.6. Действия над векторами, заданными координатами

Пусть
тогда






Слайд 87
Текст слайда:

Условие параллельности векторов и




Условие перпендикулярности векторов
и





Слайд 88
Текст слайда:

1.7. Скалярное произведение векторов

ОПР. Скалярным произведением векторов
и называется число, равное произве-дению их модулей на косинус угла между ними:

Если известны координаты векторов и
то скалярное произведение можно вычислить по формуле




Слайд 89
Текст слайда:

Свойства скалярного произведения:

1).

2).

3).

4).





Слайд 90
Текст слайда:

Угол между векторами:

Условие перпендикулярности векторов:


если и ― ненулевые векторы.




Слайд 91
Текст слайда:

Пример

Найти скалярное произведение векторов
И , если угол между ними равен 60°,


Решение. Так как
то


Слайд 92
Текст слайда:

Рассмотрим пространство
Вектор
Тогда


Слайд 93
Текст слайда:

Компланарность векторов

Три вектора


компланарны тогда и только тогда, когда


Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика