Теория кривых. Кривизна и кручение кривой презентация

Содержание

1. Теория кривых. Кривизна и кручение кривой
2. Кривизна Определение: предел отношения угла поворота касательной
3. Кривизна Отношение модуля приращения единичного переменного вектора
4. Кривизна Следовательно, в (*) заменяем: Ч.т.д. Доказательство утверждения:
5. Кривизна По лемме: Ч.т.д.
6. Кручение Определение: величина в формулах Серре-Френе
7. Кручение (по Лемме) Ч.т.д.
8. Формулы вычисления кривизны и кручения кривой в
9. Формулы вычисления кривизны и кручения кривой в
10. Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой
11. Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой
12. Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой
13. Точки спрямления и уплощения Доказательство: Пусть
14. (23) (23) – формулы Серре-Френе
15. (23) (23) – формулы Серре-Френе
16. (23) (23) – формулы Серре-Френе
17. Отношение модуля приращения единичного переменного вектора
18. Свойства Репера Френе: 1. 2. 3.
19. (24) (24) – формула вычисления кривизны
20. (24) (24) – формула вычисления кривизны
21. (25) (25) – формула вычисления кручения кривой
22. (25) (25) – формула вычисления кручения кривой
23. Утверждение 3. Вектора компланарны,

Кривизна Определение: предел отношения угла поворота касательной на дуге кривой, стягивающейся к данной точке, к

Главная
Математика
Теория кривых. Кривизна и кручение кривой

Слайд 1ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Кривизна и кручение кривой

Слайд 2Кривизна
Определение: предел отношения угла поворота касательной на

дуге кривой, стягивающейся к данной точке, к
длине этой дуги называется кривизной кривой в
данной точке.

(*)

(*) – кривизна кривой.

Слайд 3Кривизна
Отношение модуля приращения единичного переменного вектора
к углу его поворота при

стремлении этого угла к нулю равен
единице.

Лемма:

Величина k в формулах Серре-Френе равна кривизне кривой.

Утверждение (о кривизне):

Доказательство леммы:

(*)

(хорда в пределе равна длине дуги окружности).

Слайд 4Кривизна

Следовательно, в (*) заменяем:

Ч.т.д.
Доказательство утверждения:

Слайд 5Кривизна
По лемме:

Ч.т.д.

Слайд 6Кручение
Определение: величина
в формулах Серре-Френе называется
кручением кривой.
Утверждение (о кручении):
Модуль кручения равен

пределу отношения угла поворота

бинормали на дуге, стягивающейся

этой дуги.

к данной точке, к длине

Доказательство:

Слайд 7Кручение

(по Лемме)

Ч.т.д.

Слайд 8Формулы вычисления кривизны и кручения кривой в случае натуральной параметризации
Кривая задана:

(24)

(24) – формулы кривизны в натуральной параметризации.

Рассмотрим смешанное произведение векторов

=(свойства Репера Френе)=

Слайд 9Формулы вычисления кривизны и кручения кривой в случае натуральной параметризации

Воспользуемся формулой

(24) и получим:

(25)

(25) – формулы вычисления кручения кривой в натуральной
параметризации

Слайд 10Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в случае произвольной параметризации
Кривая

задана:

Введём обозначения:

, так как

Подставим найденные вектора в формулу (24):

Слайд 11Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в случае произвольной параметризации

и

окончательно получим:

(26)

(26) - формула вычисления кривизны кривой в случае
произвольной параметризации.

Рассмотри смешанное произведение векторов

И векторное произведение векторов

Слайд 12Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в случае произвольной параметризации
Найденные

нами произведения подставим в формулу (25)

(27)

(27) – формулы вычисления кручения кривой в случае
произвольной параметризации

Утверждение 4.

Кривая лежит в одной плоскости

в каждой точке

этой кривой.

Слайд 13Точки спрямления и уплощения
Доказательство:

Пусть кривая лежит в одной плоскости, следовательно,

лежат

в этой плоскости

Пусть

лежат в одной

плоскости

лежит в одной плоскости в любой точке

Кривой, следовательно, кривая плоская.

Ч.т.д.

Определение: точка пространственной кривой называется
точкой спрямления, если в этой точке

k=0.

Определение: точка пространственной кривой называется
точкой уплощения, если в ней

Выход

Слайд 14(23)
(23) – формулы Серре-Френе

Слайд 15(23)
(23) – формулы Серре-Френе

Слайд 16(23)
(23) – формулы Серре-Френе

Слайд 17Отношение модуля приращения единичного
переменного вектора к углу его поворота при

стремлении этого угла к нулю равен единице.

Лемма:

Слайд 18Свойства Репера Френе:

1.
2.
3.

Слайд 19
(24)
(24) – формула вычисления кривизны в случае натуральной

параметризации

Слайд 20
(24)
(24) – формула вычисления кривизны в случае натуральной

параметризации

Слайд 21(25)
(25) – формула вычисления кручения кривой в случае

натуральной параметризации.

Слайд 22(25)
(25) – формула вычисления кручения кривой в случае

натуральной параметризации.

Слайд 23Утверждение 3.

Вектора

компланарны, тогда и только
тогда, когда их смешанное произведение равно

нулю.

Скачать презентацию

Теория кривых. Кривизна и кручение кривой презентация

Содержание

Слайд 1ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Кривизна и кручение кривой

Слайд 2Кривизна
Определение: предел отношения угла поворота касательной на

Слайд 3Кривизна
Отношение модуля приращения единичного переменного вектора
к углу его поворота при

Слайд 4Кривизна

Следовательно, в (*) заменяем:

Ч.т.д.
Доказательство утверждения:

Слайд 5Кривизна
По лемме:

Ч.т.д.

Слайд 6Кручение
Определение: величина
в формулах Серре-Френе называется
кручением кривой.
Утверждение (о кручении):
Модуль кручения равен

Слайд 7Кручение

(по Лемме)

Ч.т.д.

Слайд 8Формулы вычисления кривизны и кручения кривой в случае натуральной параметризации
Кривая задана:

Слайд 9Формулы вычисления кривизны и кручения кривой в случае натуральной параметризации

Воспользуемся формулой

Слайд 10Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в случае произвольной параметризации
Кривая

Слайд 11Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в случае произвольной параметризации

и

Слайд 12Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в случае произвольной параметризации
Найденные

Слайд 13Точки спрямления и уплощения
Доказательство:

Пусть кривая лежит в одной плоскости, следовательно,

лежат

Слайд 14(23)
(23) – формулы Серре-Френе

Слайд 15(23)
(23) – формулы Серре-Френе

Слайд 16(23)
(23) – формулы Серре-Френе

Слайд 17Отношение модуля приращения единичного
переменного вектора к углу его поворота при

Слайд 18Свойства Репера Френе:

1.
2.
3.

Слайд 19
(24)
(24) – формула вычисления кривизны в случае натуральной

Слайд 20
(24)
(24) – формула вычисления кривизны в случае натуральной

Слайд 21(25)
(25) – формула вычисления кручения кривой в случае

Слайд 22(25)
(25) – формула вычисления кручения кривой в случае

Слайд 23Утверждение 3.

Вектора

компланарны, тогда и только
тогда, когда их смешанное произведение равно

Обратная связь

Что такое ThePresentation.ru?

Теория кривых. Кривизна и кручение кривой презентация

Содержание

Слайд 1ТЕОРИЯ КРИВЫХКривизна и кручение кривой

Слайд 2КривизнаОпределение: предел отношения угла поворота касательной на

Слайд 3КривизнаОтношение модуля приращения единичного переменного вектора к углу его поворота при

Слайд 4КривизнаСледовательно, в (*) заменяем: Ч.т.д.Доказательство утверждения:

Слайд 5КривизнаПо лемме: Ч.т.д.

Слайд 6КручениеОпределение: величина в формулах Серре-Френе называетсякручением кривой.Утверждение (о кручении):Модуль кручения равен

Слайд 7Кручение(по Лемме)Ч.т.д.

Слайд 8Формулы вычисления кривизны и кручения кривой в случае натуральной параметризацииКривая задана:

Слайд 9Формулы вычисления кривизны и кручения кривой в случае натуральной параметризацииВоспользуемся формулой

Слайд 10Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в случае произвольной параметризацииКривая

Слайд 11Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в случае произвольной параметризациии

Слайд 12Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в случае произвольной параметризацииНайденные

Слайд 13Точки спрямления и уплощенияДоказательство:Пусть кривая лежит в одной плоскости, следовательно, лежат

Слайд 14(23)(23) – формулы Серре-Френе

Слайд 15(23)(23) – формулы Серре-Френе

Слайд 16(23)(23) – формулы Серре-Френе

Слайд 17Отношение модуля приращения единичного переменного вектора к углу его поворота при

Слайд 18Свойства Репера Френе:1.2.3.

Слайд 19(24)(24) – формула вычисления кривизны в случае натуральной

Слайд 20(24)(24) – формула вычисления кривизны в случае натуральной

Слайд 21(25)(25) – формула вычисления кручения кривой в случае

Слайд 22(25)(25) – формула вычисления кручения кривой в случае

Слайд 23Утверждение 3.Вектора компланарны, тогда и толькотогда, когда их смешанное произведение равно

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое ThePresentation.ru?

Слайд 1ТЕОРИЯ КРИВЫХ
Кривизна и кручение кривой

Слайд 2Кривизна
Определение: предел отношения угла поворота касательной на

Слайд 3Кривизна
Отношение модуля приращения единичного переменного вектора
к углу его поворота при

Слайд 4Кривизна

Следовательно, в (*) заменяем:

Ч.т.д.
Доказательство утверждения:

Слайд 5Кривизна
По лемме:

Ч.т.д.

Слайд 6Кручение
Определение: величина
в формулах Серре-Френе называется
кручением кривой.
Утверждение (о кручении):
Модуль кручения равен

Слайд 7Кручение

(по Лемме)

Ч.т.д.

Слайд 8Формулы вычисления кривизны и кручения кривой в случае натуральной параметризации
Кривая задана:

Слайд 9Формулы вычисления кривизны и кручения кривой в случае натуральной параметризации

Воспользуемся формулой

Слайд 10Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в случае произвольной параметризации
Кривая

Слайд 11Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в случае произвольной параметризации

и

Слайд 12Формулы для вычисления кривизны и кручения кривой в случае произвольной параметризации
Найденные

Слайд 13Точки спрямления и уплощения
Доказательство:

Пусть кривая лежит в одной плоскости, следовательно,

лежат

Слайд 14(23)
(23) – формулы Серре-Френе

Слайд 15(23)
(23) – формулы Серре-Френе

Слайд 16(23)
(23) – формулы Серре-Френе

Слайд 17Отношение модуля приращения единичного
переменного вектора к углу его поворота при

Слайд 18Свойства Репера Френе:

1.
2.
3.

Слайд 19
(24)
(24) – формула вычисления кривизны в случае натуральной

Слайд 20
(24)
(24) – формула вычисления кривизны в случае натуральной

Слайд 21(25)
(25) – формула вычисления кручения кривой в случае

Слайд 22(25)
(25) – формула вычисления кручения кривой в случае

Слайд 23Утверждение 3.

Вектора

компланарны, тогда и только
тогда, когда их смешанное произведение равно