Понятие множества презентация

Содержание

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Тема №1. Понятие множества

Слайд 1Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Шевелёв
Александр Юрьевич

Слайд 2Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Тема №1.
Понятие множества

Слайд 3 Множеством можно назвать совокупность объектов, связанных между собой общими признаками.
Обозначаются множества

большими латинскими буквами: А, В, С и т.д.

Слайд 4 Объекты, входящие в это множество называются элементами данного множества.
Обозначаются элементы маленькими

латинскими буквами.

- элемент из множества



Элементы множества

Слайд 5 Часть элементов некоторого множества называется его подмножеством.
Обозначается так же, как и

множество.

- множество является подмножеством множества .






Подмножество

Слайд 6Пример

Множество натуральных

чисел

Множество целых чисел

Множество рациональных чисел

Множество действительных чисел




Слайд 7Множества
Объединением двух множеств называется такое множество, которое состоит из элементов, каждый

из которых принадлежит хотя бы одному из исходных множеств.



Слайд 8Множества
Пересечением двух множеств называется такое множество, которое состоит из элементов, одновременно

принадлежащих каждому из исходных множеств.



Слайд 9Множества
Примеры (диаграммы Эйлера-Венна):




Слайд 10Множества
Разностью двух множеств называется такое множество, которое состоит из элементов уменьшаемого

множества, которые не принадлежат вычитаемому множеству. (В свою очередь, эта разность является дополнением множества В до множества А).



Слайд 11Пример


Слайд 12 Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Слайд 13 Геометрически множество действительных чисел изображается точками на числовой прямой (оси

абсцисс). Причём между этим множеством
и прямой установлено взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному
числу соответствует одна единственная точка
на числовой прямой, и наоборот, любой точке числовой прямой соответствует одно единственное действительное число.

Слайд 14 Поэтому, в нашем случае понятия «число» и «точка» являются эквивалентными.

Слайд 15Множества
Множество, содержащее все числа
от a до b включительно, называют отрезком

(или сегментом), [a; b].
Множество, содержащее все числа между a и b, называют интервалом, (a; b).
(a; b], [a; b) – полуинтервалы.



Слайд 16Множества
Окрестностью точки множества А называется такое подмножество множества А,

которое содержит данную точку.



Слайд 17Множества

Если из этого подмножества

исключить саму точку ,то полученное подмножество будет называться проколотой окрестностью точки .



Слайд 18Множества
Точка, входящая в данное множество вместе с

некоторой своей окрестностью называется внутренней точкой множества.
Если у точки множества имеется окрестность, не пересекающаяся с данным множеством, то такая точка называется изолированной точкой множества.
Точка, в любой окрестности которой содержится по крайней мере одна точка данного множества, отличная от неё самой, называется предельной точкой множества.



Слайд 19Множества
Множество, каждая точка которого входит в него вместе

с некоторой окрестностью, называется открытым.
Множество, содержащее все свои предельные точки называется замкнутым.



Слайд 20Множества
Пусть есть некоторое множество точек на прямой.

Если на прямой существует такая точка А, что любая точка из упомянутого множества расположена левее точки А, то говорят, что множество ограничено сверху, а если любая точка расположена правее точки А, то множество ограничено снизу.



Слайд 21Множества
Пусть множество ограничено сверху. Тогда на прямой существуют точки,

правее которых нет ни одной точки упомянутого множества. Среди всех таких точек самая левая из них называется верхней гранью множества. Аналогично определяется нижняя грань множества.



Слайд 22Множества
Наименьшая из всех верхних граней называется супремумом (sup X).

Наибольшая из всех нижних граней называется инфимумом (inf X).

Непустое множество, ограниченное сверху имеет верхнюю грань; ограниченное снизу имеет нижнюю грань.



Слайд 23Модуль
Абсолютной величиной (или модулем) числа х называют само число х, если

оно неотрицательно, и противоположное ему
по знаку число –х, если оно отрицательно.



Слайд 24Множества
Символика:


Слайд 25Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Тема №2.
Понятие функции.
Основные свойства функций.

Слайд 26Функции


Слайд 27 Множество Х называется областью определения функции (в дальнейшем ООФ), а

множество Y называется областью значений функции.
Если ООФ заранее не оговорена, то
под ней понимается множество значений аргумента, при котором функция имеет смысл.
Будем рассматривать только те функции, у которых одному значению аргумента соответствует одно единственное значение функции.

Слайд 28Задача
Пример№1. Найти ООФ


Слайд 29Задача
Решение: Вспомним ограничения, накладываемые на некоторые выражения:
Знаменатель дроби отличен от нуля;
Выражение

под корнем чётной степени должно быть неотрицательным (больше или равно нуля);
Выражение под знаком логарифма должно быть положительным (строго больше нуля).
Для функций



Слайд 30Задача
Таким образом имеем следующую систему неравенств:






Данное множество является ответом нашей задачи.



Слайд 31 Задать функцию означает задать
её ООФ и правило, при помощи

которого по данному значению аргумента будет находиться соответствующее ему значение функции.

Слайд 32Основными способами
задания функции являются:
Аналитический (формулой)
Табличный (таблицей соответствия между переменными)
Графический (графиком

в некоторой системе координат)
Словесный (применяется редко для некоторых специальных функций)



Слайд 33 Функция называется чётной, если для любых значений х из ООФ справедливо

равенство

Функция называется нечётной, если для любых значений х из ООФ справедливо равенство

Если ни одно из двух равенств не выполнено, то функция является функцией общего вида.

Слайд 34Задача
Например, функция

является чётной, т.к.

Функция является нечётной, т.к.


Функция является функцией общего вида, т.к.



Слайд 35 График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
График нечётной функции симметричен относительно

начала координат.
На графике функции общего вида отсутствуют указанные выше два вида симметрий.

Слайд 36 Функция называется возрастающей на множестве, если большему значению аргумента
из этого

множества соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на множестве, если большему значению аргумента
из этого множества соответствует меньшее значение функции.
Возрастающие и убывающие функции являются монотонными. (К монотонным относятся также невозрастающие и неубывающие функции).

Слайд 37Функции
Если для любого х из ООФ справедливо неравенство

, где М – некоторое постоянное число, то функция является ограниченной сверху на множестве.
Если для любого х из ООФ справедливо неравенство , где m – некоторое постоянное число, то функция является ограниченной снизу на множестве.
Если функция на некотором множестве ограничена сверху и снизу, то она на этом множестве является ограниченной.



Слайд 38Пример
Функция

является ограниченной сверху.
Функция является ограниченной снизу.
Функции являются ограниченными.



Слайд 39Функции
Функция называется периодической с периодом Т отличным от нуля, если для

всех х из ООФ справедливо равенство


причём в качестве периода принимается наименьшее среди таких значений Т.




Слайд 40Пример
Функции

имеют период
Функции имеют период



Слайд 41Основные элементарные функции


Основными элементарными функциями являются следующие функции:
1. Постоянная

, где С – постоянное число.

Слайд 42Основные элементарные функции
2. Линейная функция. (Рассмотрена ранее).
3. Степенная функция






Слайд 43Основные элементарные функции









Слайд 44Основные элементарные функции








Слайд 45Основные элементарные функции
4. Показательная функция






Слайд 46Основные элементарные функции
5. Логарифмическая функция:








Слайд 47Задача


Слайд 48Основные элементарные функции
6. Тригонометрические функции:




Слайд 49Основные элементарные функции




Слайд 50Основные элементарные функции




Слайд 51Основные элементарные функции


Слайд 52Основные элементарные функции


Слайд 53Основные элементарные функции
7. Обратные тригонометрические функции:




Слайд 54Основные элементарные функции




Слайд 55Основные элементарные функции




Слайд 56Основные элементарные функции




Слайд 57Основные элементарные функции




Слайд 58Функции
Функции, составленные (построенные)
из основных элементарных функций при помощи конечного числа

алгебраических действий и конечного числа операций взятия функции от функции являются элементарными и называются в свою очередь сложными.



Слайд 59Функции
Функция y, значения которой находятся из уравнения, разрешённого относительно

y, называется явной
Функция y, значения которой находятся из уравнения, не разрешённого относительно y, называется неявной



Слайд 60Функции
Пусть задана функция

определённая на множестве X, с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому y из Y единственное значение x из X, при котором Тогда полученная функция
определённая на множестве Y, с областью значений X, называется обратной.
Обозначают:



Слайд 61Задача
Например, обратной к показательной функции

является логарифмическая функция
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.



Слайд 62Преобразования графиков:

График функции

получается из графика функции сдвигом вдоль оси x (влево, если a > 0, вправо, если a < 0).
График функции получается из графика функции сдвигом вдоль оси y (вверх, если a > 0, вниз, если a<0).




Слайд 63График функции

получается из графика функции растяжением (при m > 1) или сжатием (при 0 < m <1) вдоль оси y.
График функции получается из графика функции растяжением (при 0 < k < 1) или сжатием (при k > 1) вдоль оси x.




Преобразования графиков:

Слайд 64Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Тема №3.
Пределы и непрерывность

Слайд 65Последовательность
Если в имеющейся функциональной зависимости независимая переменная принимает только натуральные значения,

то такая функция называется числовой последовательностью .




Слайд 66Последовательность


Примерами числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.


Слайд 67Последовательность
Основными способами задания числовых последовательностей являются рекуррентный (формула

n-го члена) и задание её нескольких последовательных членов.



Слайд 68 Число A называется пределом числовой последовательности

тогда и только тогда, когда для любой сколь угодно малой окрестности числа А найдётся такой зависящий от неё номер члена последовательности N, что все члены последовательности с последующими номерами будут содержаться в упомянутой окрестности числа А.

Слайд 69Последовательности


Слайд 70Задача
Проиллюстрируем, что


Слайд 71



Задача

Слайд 72Признаки существования предела
Если числовая последовательность имеет конечный предел,

то она называется сходящейся (к этому пределу).

ТЕОРЕМА 1. Числовая последовательность может иметь только один предел (конечный или бесконечный).






Слайд 73Признаки существования предела
ТЕОРЕМА 2. Если последовательность имеет конечный

предел (сходящаяся), то она ограничена.

ТЕОРЕМА 3. Если , а ,

и , то .

ТЕОРЕМА 4. Если последовательности стремятся к одному и тому же пределу, равному a, и , то последовательность тоже стремится к числу a.





Слайд 74Признаки существования предела
Эти четыре теоремы справедливы и для

функций.




Слайд 75Последовательность
Последовательность называется бесконечно

малой, если её предел равен нулю; бесконечно большой, если её предел бесконечен.

Взаимосвязь между ними и свойства аналогичны бесконечно малым и бесконечно большим функциям (будут рассмотрены позже).




Слайд 76Последовательность
Одним из критериев существования предела является следующая Теорема:

всякая монотонная и ограниченная последовательность является сходящейся.
Теорема Кантора (лемма о вложенных отрезках): Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одна точка, которая принадлежит всем отрезкам данной системы одновременно. Причём, если длина отрезков стремится к нулю, то упомянутая точка будет единственной.





Слайд 77 Число А называется пределом функции при х стремящемся к бесконечности, если


в области значений этой функции можно выделить такую последовательность, предел которой равен А. (Определение предела по Гейне).

Слайд 78 Определение предела функции в точке. Пусть функция

определена в некоторой окрестности точки за исключением, может, самой точки.
Число А называется пределом функции
в точке тогда и только тогда, когда для любой сколь угодно малой окрестности точки А найдётся зависящая от неё окрестность точки такая, что все точки из ООФ, лежащие внутри этой окрестности отобразятся в упомянутую окрестность точки А при помощи (Определение предела по Коши).


Слайд 79Пределы



Слайд 80Основные теоремы о пределах
Функция не может иметь более одного предела (при

одном стремлении независимой переменной);
Предел алгебраической суммы конечного числа слагаемых равен алгебраической сумме пределов этих слагаемых;
Предел произведения конечного числа множителей равен произведению пределов этих множителей;



Слайд 81Основные теоремы о пределах
Предел частного двух функций равен частному пределов этих

функций при условии, что предел делителя отличен от нуля;
Предел постоянной величины равен этой постоянной;
Постоянный множитель можно выносить за знак предела.



Слайд 82Основные теоремы о пределах
7.Теорема о пределе сложной функции:
Пусть

таковы, что существует сложная функция и



то существует





Слайд 83Пределы
Если

то называется бесконечно малой величиной при соответствующем стремлении х;
Если то называется бесконечно большой величиной при соответствующем стремлении х;



Слайд 84Задача
Например, функция является

бесконечно малой

при х стремящемся к бесконечности; является бесконечно большой при х стремящемся к нулю; не является ни бесконечно большой, ни бесконечно малой, если х стремится к постоянному числу, отличному от нуля.



Слайд 85Свойства бесконечно малых
и бесконечно больших величин:


1. Если бесконечно малая, то бесконечно большая при том же стремлении х (верно и обратное);
2. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых являются бесконечно малыми;




Слайд 86Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию является бесконечно малой;
Частное от деления

бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля является бесконечно малой;
Если функцию можно представить в виде суммы постоянной величины и бесконечно малой, то эта постоянная является пределом функции;



Свойства бесконечно малых
и бесконечно больших величин:

Слайд 87Произведение бесконечно большой на функцию, предел которой отличен от нуля является

бесконечно большой;
Сумма бесконечно большой и ограниченной является бесконечно большой;
Частное от деления бесконечно большой на функцию, имеющую конечный предел является бесконечно большой.



Свойства бесконечно малых
и бесконечно больших величин:

Слайд 88Замечательные пределы
1.



2.



Слайд 89 Пусть

- бесконечно малые при ,тогда:

Если , то имеет
больший порядок малости;

Если , то имеет больший порядок малости;

Если , то имеют один и тот же порядок малости.



Сравнение бесконечно малых :

Слайд 90 При этом, если С=1, то бесконечно малые являются

эквивалентными
Примеры эквивалентных бесконечно малых величин при





Можно пользоваться при вычислении пределов функций.



Сравнение бесконечно малых :

Слайд 91 Число e – число Эйлера или число Непера.

Является трансцендентным числом. В экономике означает максимально возможную (например) годовую прибыль при 100% годовых и максимально частом увеличении процентов.



Слайд 93 В условиях финансовой операции указывается не

ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления, номинальная ставка j – это годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз за год. Таким образом формула примет вид:



Слайд 94 S – наращенная сумма, m – количество начислений

процентов за год, n – количество лет, m стремится к бесконечности, т.к. проценты начисляются непрерывно.



Слайд 95 Чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению,

принадлежащему ООФ, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение.

Слайд 96Задача
Пример. Найти:





Слайд 97Задача
Решение:


Слайд 98Пределы
Некоторые виды неопределённостей:


Слайд 99Задача
Пример. Найти:



Слайд 100Задача

Решение:


Слайд 101Пределы
1-й тип: Пределы вида

Следует и в числителе, и в знаменателе дроби

вынести за скобки переменную величину в наибольшей степени среди всех слагаемых дроби. Неопределённость устранится после сокращения дроби.



Слайд 102Задача
Пример. Найти:



Слайд 103Задача
Решение:


Слайд 104Задача
Пример. Найти:




Слайд 105Задача
Решение:


Слайд 106Задача
Пример. Найти:



Слайд 107Задача
Решение:


Слайд 108Задача
Пример. Найти:



Слайд 109Задача
Решение:


Слайд 110Задача
Пример. Найти:







Слайд 111Задача
Решение:

a)



b)


Слайд 112Пределы
2-й тип: Пределы вида

Следует разложить на множители и числитель, и знаменатель

дроби или домножить числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращённого умножения. Неопределённость устранится после сокращения дроби.



Слайд 113Задача
Пример. Найти:



Слайд 114Задача


Слайд 115Задача

Решение:


Слайд 116Задача
Пример. Найти:



Слайд 117Задача
Решение:


Слайд 118Пределы
3-й тип:

Неопределённость устраняется или приводится к предыдущим двум типам приведением к

общему знаменателю или умножением и одновременно делением функции под знаком предела на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращённого умножения.



Слайд 119Задача
Пример. Найти:



Слайд 120Задача
Решение:


Слайд 121Задача
Пример. Найти:


Слайд 122Задача
Решение:


Слайд 123Задача


Слайд 124Пределы
4-й тип.

Решается при помощи выделения «второго замечательного предела».


Слайд 125Задача
Пример. Найти:



Слайд 126Задача
Решение:


Слайд 127Задача
Пример. Найти:



Слайд 128Задача
Решение:


Слайд 129Пределы
5-й тип.


Выделение «первого замечательного предела».


Слайд 130Задача


Пример. Найти:

Слайд 131Задача


Решение:

Слайд 132Задача


Пример. Найти:

Слайд 133Задача


Решение:

Слайд 134Задача


Или:

Слайд 135 Функция называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке

и в некоторой её окрестности и имеет конечный предел, равный значению функции в этой точке.
Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Слайд 136Свойства функций,
непрерывных в точке:


Сумма и произведение непрерывных функций

являются непрерывной функцией;
Частное двух функций является непрерывной функцией при условии, что делитель отличен от нуля;



Слайд 137Если функция непрерывна и положительна в некоторой точке, то найдётся такая

окрестность этой точки, во всех точках которой функция положительна;
Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причём то сложная функция непрерывна в точке



Свойства функций,
непрерывных в точке:

Слайд 138Свойства функций,
непрерывных в точке:
Этим 4-м свойством

пользуются при вычислении пределов, когда необходима замена переменной.
5. Если функция непрерывна в некоторой точке, то найдётся такая её окрестность, в которой эта функция ограничена.
6. Если функция в некоторой точке определена и имеет конечный предел, отличный от нуля, то найдётся такая проколотая окрестность упомянутой точки, в которой функция имеет тот же знак, что и предел.



Слайд 139Свойства функций,
непрерывных на отрезке:


Если функция непрерывна на

отрезке, то она на этом отрезке ограничена (1-я теорема Вейерштрасса)
Если функция непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений (2-я теорема Вейерштрасса)
Функция обратная к непрерывной и монотонной является непрерывной



Слайд 140Если функция непрерывна на отрезке и значения функции на её концах

имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдётся такая точка, значение функции в которой равно нулю (теорема Больцано - Коши)
Функция, непрерывная на отрезке, внутри него хотя бы один раз принимает значение, заключённое между значениями функции на концах отрезка



Свойства функций,
непрерывных на отрезке:

Слайд 141Классификация точек разрыва функции:


1. Разрыв 2-го рода (неустранимый): хотя

бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.





Слайд 1422. Разрыв 1-го рода неустранимый: оба односторонних предела конечны, но

не равны между собой.



Классификация точек разрыва функции:

Слайд 1433. Устранимый разрыв (1-го рода): односторонние пределы конечны, равны между собой,

но не равны значению функции (в указанной точке).





Классификация точек разрыва функции:

Слайд 144 Асимптотой графика функции называется прямая линия, расстояние от

которой до графика функции стремится к нулю.

Слайд 145 Вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва второго рода

или «по краю» ООФ. Необходимо рассмотреть все возможные односторонние пределы около этих точек. И если хотя бы один односторонний предел около точки бесконечен, то уравнение вертикальной асимптоты. (Вертикальную асимптоту график не пересекает).

Слайд 146Наклонные асимптоты ищутся в виде:









При k

= 0 имеем горизонтальную асимптоту (если b – конечное число).

Слайд 147Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Конец презентации

Похожие презентации

Тройные интегралы. Вычисление тройных интегралов. Декартовы прямоугольные координаты. (Семинар 31) 281
Фізико-математичний турнір МІФ 494
mat-ka 2 klass 355
trenazhyor tablitsa deleniya 250
Численное решение нелинейных уравнений 291
Алгебраические дроби 441

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика