Первообразная и неопределённый интеграл презентация

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

Лекция

Первообразная и неопределённый интеграл

Подготовил
к.п.н., доцент
Третьякова Н.В.

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

Цель лекции:
изучить основные понятия и определения интегрального исчисления,
первообразную функции,
свойства неопределенного и определенного интегралов, основные методы интегрирования

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

Основные вопросы

1. Первообразная
2. Неопределенный интеграл, его основные свойства
3. Табличные интегралы
4. Непосредственное интегрирование
5. Метод подстановки (замены переменных)
6. Интегрирование по частям
7. Интегрирование рациональных дробей
8. Интегрирование тригонометрических функций

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

1. Первообразная

Функция F(x) на данном промежутке Х называется первообразной функцией для функции f(x) или интегралом от f(x), если на всем промежутке f(x) является производной для функции F(x):

Отыскание для функции всех ее первообразных называется ее интегрированием и составляет основную задачу интегрального исчисления. Это задача является обратной дифференцированию

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

2. Неопределенный интеграл, его основные свойства

Теорема. Любые две первообразные для данной функции f(x), определенной на множестве X, отличаются только постоянным слагаемым.
Совокупность всех первообразных F(x) + С для заданной функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается

- подынтегральное выражение

- подынтегральная функция

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

Основные свойства неопределенного интеграла

и

и

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

3. Таблица интегралов основных элементарных функций

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

4. Непосредственное интегрирование

Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы интегралов и основных линейных свойств неопределенного интеграла называется непосредственным интегрирование или методом разложения.

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

5. Метод подстановки (замены переменных)

Пусть функция x = φ(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке T, и пусть X - множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве X функция имеет первообразную, то на множестве T справедлива формула:

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

=

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

6. Метод интегрирования по частям

Пусть и - две функции от переменной , имеющие непрерывные производные и , тогда

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

7.  Интегрирование рациональных дробей

Выражение

, где

- многочлены m-й и n-й

степени, называется рациональной дробью. Рациональная дробь называется правильной, если m < n, и неправильной в противном случае.

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

x4 - 2x3 + 0x2 + x - 3

х2 - 3 - делитель

х4 - 3x2

х2 -2х+3 - частное

-

-2х3 + 3х2 + х

-2х3 + 6х

Если дробь неправильная, следует разделить числитель на знаменатель с выделением частного и остатка (Схема Горнера):

3х2 - 5х - 3

-

3х2 - 9

-

- 5х + 6 - остаток от деления

х2 -2х+3

+

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

Формула разложения правильной дроби

Пусть

- трехчлен с отрицательным дискриминантом,

тогда правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом:

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

8. Интегрирование тригонометрических функций

Интеграл

вычисляется с помощью замены

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

Контрольные вопросы

Что называется первообразной?

По какой формуле вычисляется неопределённый интеграл?

Перечислите компоненты этой формулы.

Приведите таблицу интегралов основных элементарных функций.

Перечислите свойства неопределённого интеграла.

Каким образом составляется новый интеграл при решении методом подстановки (замены переменной)?

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

Контрольные вопросы

Что называют непосредственным интегрированием?

Какая задача является обратной интегрированию?

Какие интегралы решаются методом интегрирования по частям? Как в них распределяются части?

Какая замена переменной имеет место при интегрировании тригонометрических функций?

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

Рекомендуемая литература

Быкова О., Колягин С., Кукушкин Б. Практикум по математическому анализу. - М., 2011, 276 с.
Геворкян Э. А. Математика. Математический анализ. Учебно-методический комплекс.-М.: Евразийский открытый институт, 2010.- 343 с. http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=93168
Гусак А.А. Высшая математика. Часть 1. М.: Высшая школа, 2005.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т1, Т2. М., Высшая школа, 1997.
Демидович В.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., Наука, 1990.
Курзина, В.М. Математика.[текст]: Практическое пособие/В.М. Курзина, В.В. Казей, Д. С. Васильева.-М.:РУК,2010.-105 с
Математика: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум, 2010. - 544 с.: 60x90 1/16. - (Профессиональное образование). http://znanium.com/bookread.php?book=242366

38.03.06 Торговое дело
19.03.04 Технология продукции и организация общественного питания
Б2.Б.1 Математика

Рекомендуемая литература

Математика: Учебное пособие / Н.А. Березина, Е.Л. Максина. - М.: ИЦ РИОР: НИЦ Инфра-М, 2013. - 175 с. http://znanium.com/bookread.php?book=369492
Математика: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 544 с. http://znanium.com/bookread.php?book=397662
Математика: Учебное пособие / Ю.М. Данилов, Н.В. Никонова, С.Н. Нуриева; Под ред. Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 496 с. http://znanium.com/bookread.php?book=471655
Пухначев Ю. Семь семинаров по математическому анализу. – М.: 2012, 592 с.
Туганбаев А. А. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие.-3-е издание.-М.: Издательство «ФЛИНТА», 2012.-34 с. http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=115139
Шапкин А. С. Математические методы и модели исследования операций: Учебник.-М.: Дашков и Ко, 2012.-397 с. http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=112204
Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2006.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, Т .2

Н.А., Максина Е.П. Математика. – М.: ИД «Риор», 2007
Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. – М.: Издательство «Дрофа», 2009
Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике. – М.: Издательство «Дрофа», 2009

Электронные ресурсы:
- www.iprbookshop.ru, http://www.iprbookshop.ru
- Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU http://elibrary.ru
- Электронная библиотека Grebennikon httphttp.//http.//grebennikonhttp.//grebennikon.http.//grebennikon.ru/
- Универсальная справочно-информационная полнотекстовая база данных периодических изданий East View httphttp://http://ebibliotekahttp://ebiblioteka.http://ebiblioteka.ruhttp://ebiblioteka.ru/
- Электронная библиотечная система znanium.com