- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Перпендикулярность в пр-ве презентация
Содержание
- 1. Перпендикулярность в пр-ве
- 2. План Перпендикулярность прямых Перпендикулярность прямой и плоскости
- 3. Продолжение плана 7. Куб, его перпендикулярные прямые
- 4. Перпендикулярность пря- мых в пространстве Две пересекающиеся
- 5. Перпендикулярные прямые Две скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными,
- 6. Пример Назовите все прямые, перпендикулярные AD.
- 7. Вопрос Как показать, что прямые АС и B’D’ перпендикулярны?
- 8. Теорема Если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны
- 9. Доказательство Дано: а и b – перпенд.
- 10. 1. Задача на построение Можно ли через
- 11. Ответ М А b а
- 12. Перпендикулярность прямой и плоскости Прямая а, пересекающая
- 13. Перпендикулярность прямой и плоскости Прямая а и
- 14. Перпендикулярность прямой и плоскости обозначается знаком .
- 15. Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если две
- 16. Доказательство Дано: а b,
- 18. Свойства перпендикулярной прямой и плоскости Т.1. Если
- 19. Свойства перпендикулярной прямой и плоскости Т.1. Если
- 20. Свойства перпендикулярной прямой и плоскости Т.2. Две
- 21. Теорема 3. Если пря-мая перпендикулярна одной
- 22. Обратное утверждение Верно обратное свойство. Если прямая
- 23. Задача на построение Как через данную точку
- 24. Перпендикуляр и наклонная Пусть дана плоскость и
- 25. Перпендикуляр и наклонная Точка В называется основанием
- 26. Перпендикуляр и наклонная Точка С называется основанием
- 27. Определение наклонной Наклонной, проведенной из данной точки
- 28. Свойство перпендикуляра и наклонной Длина перпендикуляра, проведенного
- 29. Расстояние от точки до плоскости Расстоянием от
- 30. Вопросы Дана точка М и плоскость α.
- 31. Задача Докажите, что если прямая параллельна плоскости,
- 32. Теорема о трех перпендикулярах Прямая теорема. Прямая,
- 33. Доказательство прямой теоремы Прямая, проведенная на плоскости
- 34. Обратная теорема Если прямая на плоскости
- 35. Задача 1 У наклонной AС’ найдите проекцию:
- 36. Задача 2 Вычислите длину главной диагонали куба,
- 37. Задача 3 Докажите, что следующие прямые перпендикулярны:
- 38. Перпендикулярность плоскостей Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными,
- 39. Утверждение Любая плоскость, перпендикулярная прямой пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
- 40. Признак перпендикуляр- ности плоскостей Теорема. Если
- 41. Теорема о прямой, перпендикулярной линии пересечения двух
- 42. Доказательство Дано: пл-ти α ⊥ β; пр.
- 43. Литература Учебник по геометрии под ред. Погорелова
- 44. Домашнее задание 1. Выучите определение прямой, перпендикулярной
План Перпендикулярность прямых Перпендикулярность прямой и плоскости Признак перпендикулярности прямой и плоскости Перпендикуляр и наклонная Расстояние от точки до плоскости Теорема о трех перпендикулярах
Слайд 2План
Перпендикулярность прямых
Перпендикулярность прямой и плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Перпендикуляр и наклонная
Расстояние
от точки до плоскости
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема о трех перпендикулярах
Слайд 3Продолжение плана
7. Куб, его перпендикулярные прямые
8. Треугольная пирамида, прямая призма и
проектирование точек на плоскость
9. Перпендикулярность плоскостей
10. Признак перпендикулярности плоскостей
9. Перпендикулярность плоскостей
10. Признак перпендикулярности плоскостей
Слайд 4Перпендикулярность пря-
мых в пространстве
Две пересекающиеся прямые в пространстве называются перпендикулярными, если
они пересекаются под прямым углом в содержащей их плоскости.
Слайд 5Перпендикулярные прямые
Две скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными, если параллельные им пересекающиеся прямые
перпендикулярны.
А
b
b’
a
Слайд 8Теорема
Если две пересекающиеся прямые соответственно параллельны двум перпендикулярным прямым, то они
тоже перпендикулярны.
Доказательство в Погорелове в параграфе «Перпендикулярность прямых и плоскостей», теорема 17.1
Доказательство в Погорелове в параграфе «Перпендикулярность прямых и плоскостей», теорема 17.1
Слайд 9Доказательство
Дано: а и b – перпенд.
прямые, а1 и b1 –
параллельные им
пересек.
прямые.
Док-ть: а1 и b1пер-
пендикулярны.
(Через равенство
тр-ков АСВ и А1С1В1)
Док-ть: а1 и b1пер-
пендикулярны.
(Через равенство
тр-ков АСВ и А1С1В1)
Слайд 101. Задача на построение
Можно ли через любую точку прямой в пространстве
провести перпендикулярную ей прямую?
Если да, то сколько?
Если да, то сколько?
Слайд 12Перпендикулярность
прямой и плоскости
Прямая а, пересекающая плоскость α, называется перпендикулярной этой плоскости,
если она
перпендикулярна любой
прямой, лежащей
в данной плоскости
и проходящей через
точку пересечения.
перпендикулярна любой
прямой, лежащей
в данной плоскости
и проходящей через
точку пересечения.
Слайд 13Перпендикулярность
прямой и плоскости
Прямая а и плоскость β в пространстве называются перпендикулярными,
если прямая а перпендикулярна
любой прямой
в плоскости β.
Обозначения:
а β
любой прямой
в плоскости β.
Обозначения:
а β
β
а
Слайд 15Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если две пересекающие прямые, лежащие в плоскости
β, перпендикулярны прямой а, то а β.
Другая формулировка.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Другая формулировка.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Слайд 18Свойства перпендикулярной прямой и плоскости
Т.1. Если плоскость перпендикулярна одной из
двух парал-
лельных прямых, то
она перпендикулярна
и другой.
Дано: а1| | a2; α а1.
Док-ть: α а2.
(Ссылка на теорему
со слайда 8)
лельных прямых, то
она перпендикулярна
и другой.
Дано: а1| | a2; α а1.
Док-ть: α а2.
(Ссылка на теорему
со слайда 8)
a1
a2
x2
x1
A2
A1
b
α
Слайд 19Свойства перпендикулярной прямой и плоскости
Т.1. Если плоскость перпендикулярна одной из
двух параллельных прямых, то
она перпендикулярна и другой.
Дано: а1| | a2; α а1.
Док-ть: α а2.
Если две пересекающиеся прямые
соответственно параллельны
двум перпендикулярным
прямым, то они тоже
перпендикулярны.
она перпендикулярна и другой.
Дано: а1| | a2; α а1.
Док-ть: α а2.
Если две пересекающиеся прямые
соответственно параллельны
двум перпендикулярным
прямым, то они тоже
перпендикулярны.
a2
Слайд 20Свойства перпендикулярной прямой и плоскости
Т.2. Две прямые, пер-
пендикулярные одной
и той же
плоскости,
параллельны.
Дано: а α , b α .
Док-ть: а | | b.
От противного.
См. теорему 17.4 (стр. 257)
параллельны.
Дано: а α , b α .
Док-ть: а | | b.
От противного.
См. теорему 17.4 (стр. 257)
Слайд 21
Теорема 3. Если пря-мая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то
она перпендикулярна и другой плоскости.
Слайд 22Обратное утверждение
Верно обратное свойство.
Если прямая перпендикулярна двум различным плоскостям, то эти
плоскости параллельны.
Слайд 23Задача на построение
Как через данную точку на ребре куба
провести плоскость,
перпендикулярную
прямой
АС?
М
К
Слайд 24Перпендикуляр и наклонная
Пусть дана плоскость и точка А вне этой плоскости.
Пусть прямая а проходит через точку А перпендикулярно
плоскости α и пересекает
ее в точке В.
Отрезок АВ называет-
ся перпендикуляром,
опущенным из точки
А на плоскость α.
плоскости α и пересекает
ее в точке В.
Отрезок АВ называет-
ся перпендикуляром,
опущенным из точки
А на плоскость α.
Слайд 25Перпендикуляр и наклонная
Точка В называется основанием этого перпендикуляра.
Пусть С – любая
точка
плоскости, отличная от В.
Отрезок АС называет-
ся наклонной, прове-
денной из точки А
к плоскости α.
плоскости, отличная от В.
Отрезок АС называет-
ся наклонной, прове-
денной из точки А
к плоскости α.
Слайд 26Перпендикуляр и наклонная
Точка С называется основанием наклонной.
Отрезок, соединяющий основания
перпендикуляра и наклонной,
проведенных
из одной и
той же точки, называется
проекцией наклонной
на плоскость α.
ВС – проекция АС.
той же точки, называется
проекцией наклонной
на плоскость α.
ВС – проекция АС.
Слайд 27Определение наклонной
Наклонной, проведенной
из данной точки к данной
плоскости, называется
любой отрезок, соеди-
няющий данную
точку
А с точкой плос-
кости, и не являющийся перпендикуляром.
кости, и не являющийся перпендикуляром.
Слайд 28Свойство перпендикуляра
и наклонной
Длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости,
меньше
длины любой наклонной,
проведенной из точки А
к этой же плоскости.
Другими словами,
перпендикуляр к плос-
кости короче наклонной.
проведенной из точки А
к этой же плоскости.
Другими словами,
перпендикуляр к плос-
кости короче наклонной.
Слайд 29Расстояние от точки
до плоскости
Расстоянием от точки М, не лежащей в плоскости,
до плоскости α называется длина перпендикуляра, проведенного из точки М на данную плоскость.
Найти расстояние от точки до плоскости – это значит найти длину перпендикуляра.
Найти расстояние от точки до плоскости – это значит найти длину перпендикуляра.
Слайд 30Вопросы
Дана точка М и плоскость α. Сколько можно построить перпендикуляров из
точки М к плоскости α?
Сколько можно построить наклонных из точки М к этой плоскости?
Сколько можно построить наклонных из точки М заданной длины?
Где лежат основания таких наклонных?
Сколько можно построить наклонных из точки М к этой плоскости?
Сколько можно построить наклонных из точки М заданной длины?
Где лежат основания таких наклонных?
Слайд 31Задача
Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся
на одинаковом расстоянии от плоскости.
Возьмем две произвольные
точки Х и У на прямой а. Их рас-
стояния до плоскости α − это длины
перпендикуляров ХХ’ и УУ’. По тео-
реме (сл. 19) прямые ХХ’ || УУ’.
Сл-но, они лежат в одной плос-
кости. Эта плоскость пересе-
кает пл. α по прямой Х’У’.
Прямая а || Х’У’, так как не
пересекает пл. α. Тогда четырехугольник ХХ’У’У –
параллелограмм.
Возьмем две произвольные
точки Х и У на прямой а. Их рас-
стояния до плоскости α − это длины
перпендикуляров ХХ’ и УУ’. По тео-
реме (сл. 19) прямые ХХ’ || УУ’.
Сл-но, они лежат в одной плос-
кости. Эта плоскость пересе-
кает пл. α по прямой Х’У’.
Прямая а || Х’У’, так как не
пересекает пл. α. Тогда четырехугольник ХХ’У’У –
параллелограмм.
Слайд 32Теорема о трех перпендикулярах
Прямая теорема. Прямая, проведенная
на плоскости через основание наклон-
ной
перпендикулярно ее проекции,
перпендикулярна и самой наклонной.
перпендикулярна и самой наклонной.
Слайд 33Доказательство прямой теоремы
Прямая, проведенная на плоскости через основание
наклонной перпендикулярно ее проекции,
перпендикулярна
и самой наклонной.
Дано: АВ α, с СВ.
Док-ть: с АС.
Дано: АВ α, с СВ.
Док-ть: с АС.
Слайд 34Обратная теорема
Если прямая на плоскости перпендикулярна
наклонной, то она
перпендикулярна
проекции наклонной
на эту
плоскость.
Слайд 36Задача 2
Вычислите длину главной диагонали куба, 1) если ребро куба равно
1.
Ответ:
2) Ребро куба равно а.
Ответ:
Ответ:
2) Ребро куба равно а.
Ответ:
Слайд 37Задача 3
Докажите, что следующие прямые перпендикулярны:
1) AС’ и BD;
2) AB и
CC’;
3) DC’ и BC;
4) AA’ и B’D’;
5) B’C и AD’;
6) A’C’ и BD;
7) AB’ и BC.
3) DC’ и BC;
4) AA’ и B’D’;
5) B’C и AD’;
6) A’C’ и BD;
7) AB’ и BC.
Слайд 38Перпендикулярность
плоскостей
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересече-
ния
этих плос-
костей, пересе-
кает их по
перпендикуляр-
ным прямым.
костей, пересе-
кает их по
перпендикуляр-
ным прямым.
Слайд 39Утверждение
Любая плоскость, перпендикулярная прямой пересечения перпендикулярных плоскостей, пересекает их по перпендикулярным
прямым.
Слайд 40Признак перпендикуляр-
ности плоскостей
Теорема. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой
плоскости, то эти
плоскости
перпендикулярны.
Дано: b α,
β содержит b.
Док-ть: α β
плоскости
перпендикулярны.
Дано: b α,
β содержит b.
Док-ть: α β
Слайд 41Теорема о прямой, перпендикулярной линии пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей
Если в
одной из двух перпендикулярных плоскостей проведена прямая перпенди-кулярно их линии пересечения, то эта прямая перпендикулярна другой плоскости.
Дано: пл-ти α ⊥ β; пр. с = α ∩ β; пр. а ⊥ с
Доказать: прямая а ⊥ пл-ти α.
Дано: пл-ти α ⊥ β; пр. с = α ∩ β; пр. а ⊥ с
Доказать: прямая а ⊥ пл-ти α.
Слайд 42Доказательство
Дано: пл-ти α ⊥ β; пр. с = α ∩ β;
пр. а ⊥ с.
Доказать: прямая а перпендикулярна
плоскости α.
Доказать: прямая а перпендикулярна
плоскости α.
a
β
α
с
А
Слайд 44Домашнее задание
1. Выучите определение прямой, перпендикулярной плоскости
2. Выучите признак перпендикулярности прямой
и плоскости
3. Выучите теорему о трех перпендикулярах с доказательством в обе стороны
4. Выучите признак перпендикулярности плоскостей
3. Выучите теорему о трех перпендикулярах с доказательством в обе стороны
4. Выучите признак перпендикулярности плоскостей
