Основы аналитической геометрии презентация

соответственно, то уравнение (1) можно записать в виде

Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку М0 и имеющей направляющий вектор .

уравнением прямой, проходящей через точку М0(x0, y0) и имеющей направляющий вектор .

плоскости.

Замечание: в каноническом уравнении (4) допускаются значения а1 = 0 или а2=0. это не означает, что можно выполнить деление на 0. Из канонического уравнения получаем информацию о том, что направляющий вектор прямой имеет координаты, из которых одна нулевая. Причем в случает а1 = 0 уравнение прямой имеет вид x - x0 = 0 или x = x0, а в случае а2 = 0 уравнение прямой имеет вид y - y0 = 0 или y = y0.

y

x

O

y0

y = y0

М1(x1, y1) .

Решение: вектор
является направляющим вектором прямой. Значит, прямая, проходящая через заданные две точки М0(x0, y0) и М1(x1, y1) - это та же прямая, которая проходит через точку М0(x0, y0) и имеет направляющий вектор .

Уравнение этой прямой по формуле (4) имеет вид:



Уравнение (5) и есть уравнение прямой, проходящей через две точки М0(x0, y0) и М1(x1, y1).

М0(x0, y0)

М1(x1, y1)

двух переменных x и y



и, наоборот, любое такое уравнение является уравнением некоторой прямой на плоскости.

Уравнение (6) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Замечание: Вектор является направляющим вектором прямой, заданной общим уравнением.

можно представить в виде
или


Где

Число k называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (7) – уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Т.о. любая прямая, не параллельная оси Оy (В≠0), может быть задана уравнением с угловым коэффициентом.

прямой к оси Ox:

прямой l, то он называется нормальным вектором прямой l.

y

x

O

l

является нормальным вектором этой прямой.

и имеет нормальный вектор .
Решение:
Возьмем на прямой l произвольную точку М(x, y) и рассмотрим вектор .
Т.к. векторы перпендикулярны,
то их скалярное произведение равно нулю:
, т.е.



Уравнение (8) называется уравнением прямой, проходящей через точку М0(x0, y0) перпендикулярно вектору .

y

x

O

М0(x0, y0)

М(x, y)

уравнением


вычисляется формулой

уравнением 3x – 4y – 3 = 0.
Решение:
По формуле (9) имеем

между двумя прямыми l1 и l2 на плоскости называется угол между их направляющими векторами.

- направляющие векторы.

Тогда косинус угла между прямыми вычисляется по формуле:

векторы
коллинеарны, т.е. координаты этих векторов пропорциональны

условие перпендикулярности прямых: прямые l1 и l2 перпендикулярны, если нормальные векторы
ортогональны, т.е.

заданы уравнениями с угловым коэффициентом (7):


Тогда угол между двумя прямыми определяется формулой:



Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда тангенс угла между ними равен нулю: tgφ=0, т.е. выполняется равенство k1 = k2.
Прямые l1 и l2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда φ=π/2, а значит, котангенс угла между ними равен нулю:


Отсюда получаем условие перпендикулярности прямых: