Уравнение. Дифференциальные уравнения первого порядка презентация

переменная;
у– неизвестная функция;
у‘ – ее производная.

вид:

2

Это уравнение называется ДУ первого порядка,

Например:

разрешенным относительно первой производной

подстановке ее в уравнение
обращает его в тождество.

(2). Если функция f(x,y) и ее
частная производная f‘y(x,y) непрерывны
в некоторой области D плоскости ХОУ,
то в некоторой окрестности любой
внутренней точки (х0,у0) этой области
существует единственное решение этого
уравнения, удовлетворяющего условию
х=х0, у=у0.

области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема гарантирует, что при соблюдении определенных условий через каждую внутреннюю точку области проходит только одна интегральная кривая.
Условия, задающие значения функции в фиксированной точке называются начальными условиями (условиями Коши):

3

геометрический смысл теоремы Коши

интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку).
В некоторых случаях, если условия теоремы Коши не выполнены, через точку вообще не проходит интегральная кривая, или их проходит несколько.
Такие точки называются

особыми точками ДУ

С.

уравнения (2) называется функция

полученная при определенном значении С=С0.

общим решением

частным решением

точках плоскости ХОУ:
Функции f(x,y)=2x и f‘y=0 определены и непрерывны на всей плоскости.
Общее решение уравнения:

Пример.

в общее решение:

Это частное решение выделяет из семейства парабол одну, проходящую через точку (х0,у0).