Математикалық шамалар және олардың симметриясы презентация

Векторлар және скалярлар

2-ші рангті полярлық тензор

2-ші рангті аксиал тензор және оның симметриясы

Жоғарғы рангті тензорлар

Физикалық құбылыстар және кристалл симметриясы

Физикалық құбылыстар симметриясы

Нейман принципі

Кюри принципі

Тензорлар – диэлектрлік өтімділік, магниттік сезгіштік және т.б. бағытқа тәуелді физикалық шамаларды сипаттайтын бағытталған математикалық шамалар.

Векторлар және скалярлар

Скалярлар – кристалдың көлемі, тығыздығы, жылусиымдылығы және т.б. бағытқа тәуелсіз физикалық шамаларды сипаттайтын бағытталмаған математикалық шамалар.

Векторлар – жылдамдық, күш, электр және магнит өрістерінің кернеулігі, поляризация және магниттену сияқты бағытқа тәуелді шамаларды сипаттайтын бағытталған математикалық шамалар.

Полярлық вектордың басы мен аяғы едәүір әртүрлі болатынын және оларды ешқандай операциямен бірлестіруге болмайтынын көрсету үшін оны бағытшамен белгілейді.

Полярлық вектордың р абсолют шамасы келесі қатынастан анықталады:

| р| = (р12 + р22 + р32)½,

Полярлық вектордың бағыты оның координат осьтерімен жасайтын бұрыштардың бағыттаушы косинустарынан анықталады.

cosα1 = р1/р, cosα2 = р2/р, cosα3 = р3/р.

1 сур.

Қос қатарлар немесе бағаналардың көбейтіндісінің сомасы нольге тең.

Матрица детерминанты.

Оң жүйеден оң жүйеге және сол жүйеден сол жүйеге өткенде мынадай болады:

|Cij| = С11С22С33 + С12С23С31 + С13С21С32 – С13С22С31 – С11С23С32 –
– C12C21C33 = – 1.

Оң жүйеден сол жүйеге және керісінше өткенде мынадай болады:

Матрицаның кез келген элементі келесі қатынастар көмегімен табылады:

Cij = (–1)i + j Aij|Cij|,

Aij – i бағанасын және j қатарын сызып тастағанда шығатын қосымша минор.

|Cij| = С11С22С33 + С12С23С31 + С13С21С32 – С13С22С31 – С11С23С32 –
– C12C21C33 = +1.

Мәселені жеңілдету үшін жазық жағдайды алайық (2 сур).

р векторы Х2, Х3 координат жүйесінде берілген дейік. Бұл координат жүйесіндегі оның компоненттері р2 және р3. Енді бұл координат жүйесі бүтіндей α бұрышына бұрылды дейік. Ол Х2 және Х2´ осьтері мен Х3 және Х3´осьтерінің арасындағы бұрыш. Х2´ және Х3 осьтерінің арасындағы бұрышты β деп белгілейік. р (р векторының шамасы өзгермейді) векторының компоненттерін жаңа Х2´, Х3´ координат жүйесінен табайық.

p2´ = OB + BC = OB + DE. (1)

Әрі қарай

OB = p2cosα = c22p2. (2)

∠ADE = ∠FOB = β – беттері параллель бұрыштар.

Онда

DE = ВС = p3cosβ = c23p3. (3)

(2) мен (3) теңдеулерін (1) формуласына койсақ келесіні аламыз

p2´ = c22p2 + c33p3.

Дәл осындай жолмен келесі аламыз

p3´ = c32p2 + c33p3.

p1´ = c11p1 + c12p2 + c13p3,
p2´ = c21p1 + c22p2 + c23p3 ,
p3´ = c31p1 + c32p2 + c33p3.

немесе қысқа түрде:

pi´ = cij pj , (4)

мұндағы i және j = 1, 2, 3 және қайталанатын индекстер бойынша қосындылау.

Ескі координаттардан жаңаларына кері ауысу:

pi = cji pj´. (5)

Қосу индекстерін жазу тәртібі – бірінші орында жаңа координат жүйесіне жататын индекс жазылады.

Полярлық вектор кристаллофизикалық координат жүйесінің Х3 осі бойымен бағытталған болсын. Олай болса p3 = p, p1 = p2 = 0.

Векторды Х3 осінен кез келген α бұрышына бұрайық. Мұндай координат жүйесінің бұрылысы бағыттаушы косинустар матрицасымен сипатталады:

Оларды (4) түрлендіру формуласына қойсақ.

p1´ = 0, p2´ = 0, p3´ = p3

Мұндай түрлендіру вектордың әр компонентасы өз өзіне түрленетінін дәлелдейді, және полярлық вектор ұшы бағытталған сызықша тәрізді реті ∞ симметрия осіне ие болатынын көрсетеді.

аламыз

pi´ = cij pj (4)

Оны (4) формуласына қойып келесіні аламыз

p1´ = 0, p2´ = 0, p3´ = p3.

Вектордың әр компонентасы өз өзіне түрленетіні және Х1Х3 жазықтығы полярлық вектордың симметрия жазықтығы болатыны көрінеді. Бірақ ∞ осі бұл жазықтықты шексіз рет көбейтеді және полярлық вектор реті шексіз оське параллель өтетін және осы осьте қиылысатын симметрия жазық-тықтарының шексіз санына ие болады.

Полярлық вектордың басқа симметрия элементтері сонымен қатар ∞ осіне перпендикуляр симметрия жазықтығы болмайтынына көз жеткізейік.

p1´ = 0, p2´ = 0, p3´ = –p3.

Мұндай түрлендіруден вектордың p3´ компонентасы өз өзіне түрленбейтіні көрінеді, олай болса полярлық вектор ∞ осіне перпендикуляр симметрия жазықтығына ие болмайды.

Сонымен полярлық вектордың кеңістік симметриясы ∞m∞ = ∞m шекті нүктелік топ симметриясына сай болады. Мұндай симметрия полярлық вектордың геометриялық бейнесі болатын – бағытшамен (3 сур.) келіседі. Оның бір ұшы оң деп, ал екінші ұшы теріс деп есептеледі.

3 сур. Полярлық вектордың геометриялық бейнесі

Кристаллофизикада полярлық векторлардан басқа жиі аксиалдық векторлар қолданылады. Бұл векторлар бұрыштық жылдамдық немесе күш моменті сияқты физикалық шамаларды сипаттайды.

Дене F күш әсерінен радиусы R шеңбер бойымен қозғалды делік. Олай болса М күш моменті – аксиал вектор – R және F екі полярлық вектордың векторлық көбейтіндісіне тең болады:

М = [R×F].

Бұл вектор R және F векторларының жазықтығына перпендикуляр болады.

Осьтің қай шетінен бақылау жүргізгенімізге байланысты айналу сағат тіліне бағыттас немесе оған қарсы болуы мүмкін. Сондықтан аксиал вектордың екі ұшы болады: сол немесе солтүстік – сағат тіліне қарсы айналу және оң немесе оңтүстік – айналу сағат тілімен бағытас болады.

Полярлық және аксиал векторлар компоненттерге параллелограмм ережесі бойынша жіктеледі. Бұл екі вектор олардың сандық мәндеріне тең түзудің кесіндісі түрінде бейнеленеді. Полярлық векторда теріс, ал аксиал векторда оңтүстік полюс деп аталатын екі вектордың да басы және полярлық вектор да оң, ал аксиал векторда солтүстік деп аталатын аяқтары болады.

оң кристаллофизикалық координат жүйесінде g аксиал векторы екі полярлық р және q векторларының векторлық көбейтіндісі ретінде берілген, б.а.

g = [p×q].

Векторлық алгебра ережесіне сай g аксиал вектордың координат осьтеріне проекциялары р және q полярлық векторлардың проекциялары арқылы келесі түрде өрнектеледі:

X1 осіне проекциясы: g1 = p2q3 – p3q2;
X2 осіне проекциясы: g2 = p3q1 – p1q3;
X3 осіне проекциясы: g3 = p1q2 – p2q1;

Х1, Х2, Х3

g1´ = p2´q3´ – p3´q2´ = c2i pi c3j qj – c3j pj c2i qi = c2i c3j (pi qj – pj qi).

Бұл формуланы ашып, келесіні аламыз

g1´ = (c22c33 – c23c32)(p2q3 – p3q2) + (c23c31 – c21c33)(p3q1 – p1q3) + (c21c32 – c22c31)(p1q2 – p2q1). (6)

Онан әрі бағыттаушы косинустардың 4-ші қасиетін қолданайық. Оң координат жүйесі оң жүйесіне өзгерсін дейлік (немесе сол – солға). Сонда

c22c33 – c23c32 = c11,
c23c31 – c21c33 = c12,
c21c32 – c22c31 = c13.

Дәл осы жолмен Х2' және Х3' осьтеріне проекциялар алуға болады

g2´ = c21g1 + c22g2 + c23g3,
g3´ = c31g1 + c32g2 + c33g3.

Сонымен, координат жүйенің оңнан оңға өзгергенінде (немесе солдан солға) аксиал вектордың компоненттері келесі ереже бойынша түрленеді

gi´ = cijgj ,

яғни, полярлық вектор компоненттеріне ұқсас әдіспен.

Сол себептен кері түрлендіру ережесі де ұқсас болады

gi = cjigj´.

c22c33 – c23c32 = –c11,
c23c31 – c21c33 = –c12,
c21c32 – c22c31 = –c13,

және

g1´ = –c11g1 – c12g2 – c13g3.

Басқа компоненттер үшін дәл сол жолмен:

g2´ = –c21g1 – c22g2 – c23g3,
g3´ = –c31g1 – c32g2 – c33g3.

Сонымен аксиал вектор компоненттері координат жүйесінің оңнан солға немесе солдан оңға өзгергенінде келесі ережеге сәйкес түрленеді:

gi´ = –cij gj .

Немесе кері өзгеру үшін:

gi = –cji gj´.

gi´ = ±cij gj gi = ±cji gj´. (7)

Бұл жерде «+» таңбасы координат жүйесі оңнан оңға немесе солдан солға өзгерген кезде және «–» таңбасы координат жүйесі оңнан солға немесе солдан оңға өзгерген кезде қойылады.

(7) түрлендіру формуласынан аксиал вектор оны бойлай өтетін ∞ симметрия осіне ие болатыны шығады. Расында ∞ осьты айнала кез келген бұрышқа бұрылу симметриялық түрлендіруі координат жүйесін өзгерпейді. Олай болса (7) формуласының полярлық вектор үшін (4) формуласынан айырмашылығы жоқ және аксиал вектор полярлық вектор сияқты реті шексіз симметрия осіне ие болады.

Бірақ аксиал вектордың полярлық векторға қарағанда ∞ осіне параллель симметрия жазықтықтары болмайды.

Бұл жағдайда оң координат жүйесі солға өзгереді және бағыттаушы косинустар матрицасы келесі түрде жазылады

Біздің орнықтыруда g1 = g2 = 0. Сондықтан тек g3 компонентасының түрленуін зерттейміз. (7) формула бойынша

g3´ = –g3.

Сонымен Х3Х1 жазықтығы симметрия жазықтығы болмайды және ∞ осінен өтетін ешқандай жазықтық симметрия жазықтығы болмайды.

Х1Х2 жазықтығы симметрия жазықтығы бола ма? Мұндай түрлендіру нәтижесінде оң координат жүйесі солға өзгереді. g1 = g2 = 0 болғандықтан тек g3 компонентасын қарастырамыз. Бағыттауыш косинустар матрицасының бұл жағдайдағы түрі

(7) теңдеуін қолданып, келесіні аламыз

g3´ = g3

б.а. Х1Х2 жазықтығы аксиал вектордың симметрия жазықтығы болады.

Демек, оның симметриясы ∞/m нүктелік шекті топпен сипатталады. Бұл топ аксиал вектордың геометриялық бейнесі болатын түзу кесіндісі мен оны айнала қоршайтын бағытшамен жақсы сипатталады.

Екі полярлық вектордың скалярлық көбейтідісін қарастырайық:

а = pq = pqcos(pq), (8)

мұндағы а – р және q векторларының абсолют мәндерінің көбейтіндісі олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтілген бағытсыз скаляр шама. Скалярдың таңбасы оң болу үшін cos(pq) > 0, ал теріс болу үшін cos(pq) < 0 болу керек, және егер cos(pq) = 0, яғни р және q векторлары өзара перпендикуляр болса, онда нольге тең болады.

(8)-ден полярлық векторлардың скалярлық көбейтіндісі вектор компоненттері арқылы келесі түрде жазылады:

а = p1q1 + p2q2 + p3q3. (9)

Скаляр полярлық векторлардың сызықты комбинациясы болғандықтан координат жүйесінің кез келген өзгеруінде оның таңбасы өзгермейтіні осы теңдеуден көрінеді.

Мұндай түрлендірудің бағыттаушы косинустар матрицасы келесі түрде жазылады:

Сәйкесінше косинустарды (9) теңдеуіне қойып келесіні аламыз

а´ = p1´q1´ + p2´q2´ + p3´q3´ = (cp1 + sp2) (cq1 + sq2) + (cp2 – sp1) (cq2 – sq1) + p3q3 = p1q1(c2 + s2) + p2q2(c2 + s2) + p3q3 = p1q1 + p2q2 + p3q3 = а.

Бұл теңдеуден скаляр Х3 осінің бойымен өтетін реті шексіз симметрия осіне ие болатыны көрінеді. Бірақ скаляр бағытсыз шама болғандықтан ∞ осі кез келген бағыттан өтеді деп болжауға болады, яғни скаляр ∞ осьтердің шексіз санына ие болады.

Бағыттаушы косинустар матрицасы келесі түрде жазылады

Осы матрицаны (9) теңдеуіне қойсақ, келесіні аламыз

а´ = p1´q1´ + p2´q2´ + p3´q3´ = (1)p1(1)q1 + (–1)p2(–1)q2 + (1)p3(1)q3 =
= p1q1 + p2q2 + p3q3 = а

б.а. бұл жазықтық расында симметрия жазықтығы болады.

Сол сияқты симметрия жазықтықтары барлық ∞ осьтеріне параллель өте алады, ал мұндай осьтер саны шексіз және олар барлық бағыттар бойымен бағытталған болғандықтан мұндай симметрия жазықтықтары шексіз көп болады.

Сонымен скаляр келесі симметрия элементтеріне ие болады: реті шексіз симметрия осьтерінің шексіз санына және симметрия жазықтықтарының шексіз санына. Олай болса скалярдың симметрия формуласы – ∞∞m∞, ал оның нүктелік шекті симметрия тобы – ∞/∞m. Мұндай скалярдың геометриялық бейнесі материалдық фигура - сфера болады.

а* шамасы псевдоскаляр деп аталады. Оның абсолют шамасы скаляр шамасы сияқты (9) теңдеуден анықталады. Бұл теңдеу координат жүйесі өзгерген кезде псевдоскалярдың түрлендіру ережесін табуға мүмкіндік береді.

Псевдоскаляр а* оң немесе сол координат жүйесінде берілген болсын. Егер координат жүйесі оңнан оңға немесе солдан солға өзгерсе, онда жоғарыда скаляр үшін алынған қорытындылардың барлығы орындалады, өйткені мұндай жағдайда полярлық және аксиалдық векторлар компоненттерінің түрлендіру формулалары бірдей болады:

а'* = а*.

Координат жүйесі оңнан (солдан) солға (оңға) өзгерген кезде псевдоскаляр қалай өзгереді?

(4) және (7) түрлендіру формулаларын қолданып, келесіні аламыз

а´* = p1´g1´ + p2´g2´ + p3´g3´ = (c11p1 + c12p2 + c13p3)(–c11g1 – c12g2 – c13g3) + (c21p1 + c22p2 + c23p3)(–c21g1 – c22g2 – c23g3) + (c31p1 + c32p2 + c33p3)(–c31g1 – c32g2 – c33g3) = –p1q1 – p2q2 – p3q3 = –а*

Псевдоскалярдың жалпы түрлендіру формуласын келесі түрде жазуға болады:

а'* = ±а*
а* = ±а'* (11)

егер координат жүйесі оңнан оңға немесе солдан солға өзгерсе «+» таңбасы жазылады, ал егер координат жүйесі оңнан солға немесе солдан оңға өзгерсе «–» таңбасы жазылады.

Псевдоскаляр ∞ осьтерінің шексіз санына ие болады, өйткені бұл жағдайда симметриялық түрлендірулер скаляр үшін алынған түрлендірулермен бірдей. Симметрия жазықтықтары бар болса, координат жүйесі оңнан солға немесе керісінше өзгереді. Олай болса (11) формуласында теріс таңбасын жазу керек, бірақ вектор компоненттері бірдей болмайды.

Сондықтан псевдоскаляр симметрия жазықтықтарына ие болмайды. Оның толық симметриясы ∞∞, шекті тобы – ∞/∞. Псевдоскалярдың геометриялық бейнесі – сфера, себебі сфераның барлық диаметрлері бұралған және симметрия жазықтықтары жоқ.

Егер олардың арасындағы байланыс сызықтық болса

p = Tq,

онда бұл векторлардың компоненттері өзара сызықтық қатынастармен байланысқан болады:

Tij шамаларының жиынты-ғын 2-ші рангті полярлық тензор деп атайды және оны келесі түрде жазуға болады

немесе матрица түрінде

p1 = T11q1 + T12q2 + T13q3
p2 = T21q1 + T22q2 + T23q3
p3 = T31q1 + T32q2 + T33q3

р векторын q векторына түрлендіретін шаманы анықтама бойынша тензор деп қарастыруға болады. Әрбір Tij шаманы осы тензордың компоненттері деп есептейді.

Полярлық векторлардың бірі, мысалы q векторы Х3 осін бойлай бағытталған, ал р векторы оған тәуелсіз бағытталған болсын.

Онда

Бұл жерден

p1 = T13q3
p2 = T23q3
p3 = T33q3

Бірақ

T13 = p1/q3 = cos90° = 0
T23 = p2/q3 = cos90° = 0
T33 = p3/q3 = cos0° = 1

сондықтан бұл тензордың матрицасы келесі түрде жазылады

Арнайы тензор түрлерін қарастырайық.

Онда

Бұл жерден

p1 = T13q3

Бірақ

T13 = p1/q3 = cos90° = 0

сонда бұл тензор матрицасы келесі түрде жазылады

Мұндай тензор 2- ші рангті нольдік тензор деп аталады.

T21 = p2/q1 = cos90° = 0
T22 = p2/q2 = cos0° = 1
T23 = p2/q3 = cos90° = 0

T31 = p3/q1 = cos90° = 0
T32 = p3/q2 = cos90° = 0
T33 = p3/q3 = cos0° = 1

Тензор матрицасы келесі түрде жазылады

Мұндай тензор 2-ші рангті бірлік полярлық тензор деп аталады.

Енді екі полярлық вектор бағыттас және кеңістікте кез келген бағытта болсын.

Онда

p1 = q1 p2 = q2 p3 = q3

pi = Tijqj (12)

Жаңа координат жүйесінде (оң немесе сол) бұл тензор компоненттері келесі түрде жазылады

p'l = T'lmq'm (13)

Полярлық вектор компоненттері келесі ереже бойынша түрленеді

p'l = clipi

Бұл теңдеуді (12) формулаға қойсақ

clipi = T'lmq'm (14)

Енді (12) теңдеуін (14) теңдеуіне қойып, келесіні аламыз

cliTijqj = T'lmq'm (15)

Бұл теңдеуде qj векторының компоненттері келесі түрде түрленеді:

qj = cmjq'm (16)

Бұл теңдеуде q'm қысқартып, келесіні аламыз

T'lm = clicmjTij (18)

Кері түрлендіру келесі түрде жазылады

Tij = clicmjT'lm (19)

Мысал ретінде тензордың T'13 компоненті үшін толық түрінде жазылуын көрсетейік

T'13 = c11c31T11 + c11c32T12 + c11c33T13 + c12c31T21 + c12c32T22 + c12c33T23 + c13c31T31 + c13c32T32 + c13c33T33.

Бағыттаушы косинустар индекстері келесі ереже бойынша жазылады: бірінші орынға жаңа тензордың компоненттер индекстері , ал екінші орынға ескі тензордың компоненттер индекстері.

Жаңа координаттарға ауысқанда тензордың өзі өзгермейді, тек оның компоненттері өзгереді.

Тензор компоненттерін түрлендіру формуласына екі бағыттаушы косинустың көбейтіндісі, вектор компоненттерін түрлендіру формуласына бір бағыттаушы косинус кіреді, ал скалярды түрлендіру формуласына бағытаушы косинус кірмейді. Осыған сәйкесті тензор - 2-ші рангті тензор, вектор – 1-ші рангті тензор, ал скаляр – 0-ші рангті тензор деп аталады.

2. Тензордың скалярға көбейтіндісі 2-ші рангті тензор болады және оның компоненттері бастапқы тензор мен скаляр компоненттерінің көбейтінділеріне тең болады.

3. Қатарлары бағана және керісінше болатын тензор берілген тензорға түйіндес деп аталады.

4. Tij = Tji тең болатын тензор симметриялық деп аталады. Оның алты компоненті болады:

5. Симметриялық тензорға түйіндес болатын тензор оған тең болады.

6. Tij = – Tji тең болатын, ал диагонал мүшелері нольге тең болатын тензор антисимметриялық деп аталады. Оның үш компоненті болады

Кез келген 2-ші рангті тензорды жалғыз әдіспен екі тензордың қосындысына жіктеуге болады және олардың бірі симметриялық, ал екіншісі антисимметриялық болады:

Tij = Tij sym + Tij ant (20)

(20) теңдеудің екі бөлігінен түйіндес тензорлар алайық

Но

Бұл өрнектерді (21) теңдеуге қойып, келесіні аламыз

(20) және (22) теңдеулерді қосып, келесіні аламыз

(20) теңдеуден (22) азайтқанда, келесіні аламыз

(24)

Енді (23) және (24) теңдеулерді қосып, келесіні аламыз

Tij = Tij sym + Tij ant

Tij = Tij sym + Tij ant (20)

2-ші рангті антисимметриялық тензор дегеніміз аксиал вектор болады.

Антисимметриялық тензор берілген болсын

Координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) өзгергенде бұл тензордың компоненттері қалай түрленеді?

Ұқсас мүшелерді біріктірсек:

Бағыттаушы косинустардың 4-ші қасиеті бойынша жақшадағы бағыттаушы косинустар қос көбейтінділерінің айырмасын сәйкесті бағыттаушы косинустарға ауыстырып келесіні аламыз

T'21 = c31T32 + c32T13 + c33T21
T'13 = c21T32 + c22T13 + c23T21
T'32 = c11T32 + c12T13 + c13T21

Сонымен 2-ші рангті антисимметриялық полярлық тензор компоненттері координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) өзгергенде вектор компоненттері сияқты түрленеді. Бірақ ол қандай (полярлық немесе аксиалдық) вектор болады деген сұрақ қалады. Координат жүйесі оңнан (солдан) солға (оңға) өзгергенде антисимметриялық тензор компоненттерінің түрленуін қарастырайық.

(25) жүйесіне оралсақ

Координат жүйесі таңбасының өзгеруін ескере отырып бағыттаушы косинустар қос көбейтіділерінің айырмасын ауыстырайық (бағытаушы косинус-тардың 4-ші қасиетті):

T'21 = –c31T32 – c32T13 – c33T21
T'13 = –c21T32 – c22T13 – c23T21
T'32 = –c11T32 – c12T13 – c13T21

g'i = cijgj (26)

координат жүйесі өзгергенде 2-ші рангті антисимметриялық полярлық тензор компоненттері аксиал вектор компоненттері сияқты түрленетіні көрінеді.

Х1Х2Х3 координат жүйесінде берілген 2-ші рангті симметриялық тензорды қарастырайық:

5 сур. 2-ші рангті полярлық тензорды диагоналдық түрге келтіру

Координат жүйесі суретте көрсетілгендей өзгерген болсын.Симметриялық тензордың түрі қалай өзгереді?

Координат жүйесінің мұндай өзгеруі келесі бағаттаушы косинустар матрицасымен бейнеленеді:

Сонымен координат жүйесін сәйкесінше таңдай отырып 2-ші рангті тензорды диагоналдық түрге келтіруге болады:

Жеке жағдайларда келесі тензорларды аламыз

Симметриялық тензорды диагоналдық түрге келтіретін координат жүйесі бас координат жүйесі деп аталады.

Антисимметриялық тензор аксиал вектор сияқты түрленеді сондықтан оған қоршаған бағытшасы бар түзудің кесіндісі тәрізді геометриялық бейне сәйкес болады. Симметриялық тензорлар да геометриялық бейнеге ие болады.

2-ші рангті полярлық тензордың геометриялық бейнесі реті екінші орталық жазықтық болады.

Кездейсоқ алынған X'1X'2X'3 координат жүйесінде реті екінші орталық жазықтық теңдеуі келесі түрде болады:

a'11x'12 + a'22x'22 + a'33x'32 + 2a'23x'2x'3 + 2a'31x'1x'3 + 2a'12x'1x'2 = 1 (28)

бұл жерде a'ij – тұрақты коэффициенттер.

Бас координат жүйесіне X1X2X3 ауысқан кезде жазықтық нүктесінің координаттары радиус-вектор компоненттері болады, яғни келесі заң бойынша түрленеді

x'i = cijxj

a'ij = cilcjkalk

бұл 2-ші рангті тензор компоненттерінің түрлену заңына сай.

Сондықтан реті екінші орталық жазықтықтар 2-ші рангті тензорлардың сипаттаушы жазықтықтары деп есептеуге болады.

Бас координат жүйесінде (28) теңдеу, aij-ды Tij-ға ауыстырғанда келесі түрге келеді

T11x12 + T22x22 + T33x32 = 1 (29)

Егер T11 ≠ T22 ≠ T33 > 0, онда реті екінші бет жалпы эллипсоид болады (8 а сур.). Оның симметриясы mmm нүктелік тобына жатады.

Егер T11 = T22 ≠ T33 > 0, онда бет айналу эллипсоиды болады. Оның симметриясы ∞/mm шекті тобына жатады.

Егер T11 = T22 = T33 > 0, онда бет сфера және оның нүктелік тобы ∞/∞m болады.

Егер T11 < 0, T22 және T33 > 0 болса, онда сипаттаушы бет – бірқуыстық гиперболоид, және оның симметриясы ∞/mm шекті тобымен сипатталады.

Егер T11 және T22 < 0, а T33 > 0 болса, онда сипаттаушы бет – екіқуыстық гиперболоид, оның симметриясы да ∞/mm тобына жатады.

(29) теңдеуін канондық

T11x12 + T22x22 + T33x32 = 1 (29)

түрге келтіргенде:

(30)

Эллипсоидтың бас жартылай осьтері симметриялық тензор компоненттерімен келесі түрде байланысқан болады:

Кездейсоқ бағыттағы радиусы

Мұндай жағдайда басты жартылай осьтері симметриялық тензор компоненттеріне пропорционал болатын эллипсоидтерді қарастырады. Мұндай беттерді көрсеткіштік деп атайды.

Көрсеткіштік эллипсоид теңдеуі келесі түрде жазылады:

(29) және (31) теңдеулерімен бейнеленетін сипаттаушы және көрсеткіштік эллипсоидтар арасындағы қатынастар қималары келтірілген эллипсоидтардың жазық схемасынан көрінеді.

Сипаттушы беттер сияқты егер T11 = T22 ≠ T33 болса көрсеткіштік бет айналу эллипсоиды болады, ал егер T11 = T22 = T33 болса онда сфера болады.

Овалоидтарды аналитикалық түрде сипаттау үшін полярлық координат жүйесін қолданады (10 сур.). Олардың төрт айнымалысы бар: r – координаттың бастапқы нүктесінен беттің кез келген нүктесіне жүргізілген радиус-вектор; с1, с2 және с3 – радиус-вектордың тікбұрышты координат жүйесінің осьтерімен жасайтын α1, α2 және α3 бұрыштарының бағыттаушы косинустары.

r радиус-вектор ұшының x1, x2 және x3 координаттары мен полярлық координаттар арасында арақатынасы келесі түрде болады:

x1 = rc1, x2 = rc2, x3 = rc3

Егер T11 = T22 = T33, онда овалоид оң компоненттері үшін ақ түсті, және теріс компоненттері үшін қара түсті сфера болады және оның симметриясы ∞/∞m шекті тобына сай болады.

Егер T11 = T22 ≠ T33, онда овалоид теңдеуінің түрі:

және түрі тензор компоненттерінің таңбасына тәуелді болады. Егер T33 > T11, онда тензордың оң компоненттері үшін овалоид созылған ақ, егер теріс компоненттері үшін қара болады. Мұндай овалоидтың симметриясы ∞/mm шекті тобымен сипатталады.

Тензор компоненттерінің таңбасы әртүрлі болған жағдайда овалоидтар күрделірек болады.

Егер T33 > 0, ал T11 < 0, онда (33) теңдеудің түрі төмендегідей болады

овалоид екі бөліктен: екі ақ жұмыртқатәрізді беттер және оларға перпендикуляр тортәрізді беттен тұратын күрделі фигура болады. Егер тензор компоненттерінің таңбалары керісінше болса онда жұмыртқатәрізді беттер қара, ал тортәрізді бет ақ болады. Бұл беттер ∞/mm шекті тобымен сипатталады.

Егер (33) теңдеуде T11 = 0 болса, онда

онда бет екі жанасатын жұмыртқа тәрізді T33 таңбасына байланысты ақ немесе қара болады. Мұндай беттің симметриясы ∞/mm.

(32) теңдеуінде T11 = – T22 және T33 = 0 болғанда овалоидтың тағы бір қызықты түрі пайда болады. Онда

Бұл жағдайдағы бет төрт өлшемі мен пішіні бірдей жұмыртқа тәрізді фигуралардан тұрады: екеуі ақ, басқа екеуі қара. Мұндай овалоид mmm тобымен сипатталады.

Егер тензордың үш компоненттері тең емес болса, онда овалоидтың теңдеуі мынадай болады:

Осы теңдеумен бейнеленетін овалоидтардың түрі тензор компоненттерінің таңбасына байланысты әртүрлі болады.

Егер бір біріне тең емес үш компоненттің бірі, мысалы T33, қалған екеуімен салыстырғанда басқа таңбаға ие болса, онда (34) түрі мынадай болады

Мұндай бет екі қара жұмыртқа тәрізді (T33 таңбасы теріс) ұштары шектесетін ауданнан және ақ пішіні созылған сақина тәрізді ауданнан тұрады. Мұндай бет mmm симметрия тобымен сипатталады.

Сәйкес болатын овалоид суретте көрсетілген. Онда екі шұңқыртәрізді ұштары шектесетін ор бар.

Тензор компоненттерінің таңбасына байланысты бет ақ немесе қара болады. Мұндай беттің симметриясы mmm.

T33 компонентасы нольге тең болғанда, қалған екі бір біріне тең емес компонентасының таңбасы әртүрлі болса (34) теңдеу мынадай болады:

Сәйкес болатын бет бір нүктеде шектесетін төрт жұмыртқа тәрізді ауданнан тұрады.

Екеуі өзара тең және ақ болады, қалған екеуі бір біріне тең, бірақ алдыңғы екеуіне тең емес және қара болады. Мұндай овалоидтың симметриясы да mmm болады.

Овалоидтардың симметриясы тензор компоненттерінің арасындағы қатынастарға тәуелді дәл эллипсоидтардың симметриясына ұқсайды.

Бірақ 2-ші рангті полярлық тензордың барлық мүмкін симметрия топтарын мұндай әрекет жасамай табуға болады.

Жоғарыда көрсетілгендей кез келген 2-ші рангті полярлық тензорды симметриялық және антисимметриялық бөліктерге жіктеуге болады.

Симметриялық тензор бас координат жүйеде симметриясы жоғарыда анықталған эллипсоид немесе овалоидтармен сипатталады. Әртүрлі тензорларды сипаттайтын эллипсоид пен овалоидтардың симметрия топтары осы тензорлардың да симметрия топтары болатыны анық.

Тензор нольге тең емес компоненттердің саны мен таңбаларына байланысты әртүрлі болады. Мұндай тензорлардың симметриясы да әртүрлі болады.

Сондықтан тензордың нақты түрінің симметрия тобын табу үшін осы тензор компоненттерінің симметриялық түрлендірулерге қатысты инварианттығын зерттеу қажет.

2-ші рангті антисимметриялық тензор аксиал векторға ұқсас болады, яғни ∞/m нүктелік тобымен сипатталады.

2-ші рангті полярлық тензордың нүктелік симметрия топтары осы тензордың симметриялық және антисимметриялық бөліктерінің нүктелік топтарының суперпозициясы болады.

Симметрия топтарының суперпозициясы табылатын ережені келесі геометриялық мысалдан қарастырайық.

Симметриясы m3m нүктелік тобымен сипатталатын кубты қарастырайық. Оның ішіне симметриясы ∞m тобымен сипатталатын және ∞ осі кубтың кеңістік диагоналімен сәйкес келетін конус енгізілген болсын.

Осылай алынған фигураның симметриясы 3m тобымен сипатталады. Берілген екі топ симметрия элементтерінің берілген орналасуы үшін бұл топ жоғарғы жалпы топшасы болады, яғни нүктелік топтардың суперпозициясы бұл топтардың берілген бағдардағы симметриясының жалпы элементтерін таңдау болып табылады.

mmm тобынан бастайық. Оған ∞/m тобын ∞ осі [100], [010] және [001] бағыттарымен сәйкес болатындай қосқанда 2/m бұл топтардың жалпы жоғарғы топшасы болады.

Егер ∞ осі кез келген [hkl] бағытты бойлайтын болса, онда қорытынды топ 1 болады.

Дәл осындай жолмен келесіні аламыз

∞/mm + ∞/m [001] бойынша = ∞/m,
∞/mm + ∞/m [010] және [100] бойынша = 2/m,
∞/mm + ∞/m [hkl] бойынша = 1,
∞/∞m + ∞/m [hkl] бойынша = ∞/m.

Сонымен 2-ші рангті полярлық тензордың жалпы түрдегі нүктелік симметриясы келесі үш топпен сипатталады: 1, 2/m и ∞/m.

Бұл топтардың барлығында симметрия центрі бар, яғни 2-ші рангті полярлық тензорлармен сипатталатын барлық физикалық қасиеттер центрлік симметрияға ие болады.

2-ші рангті полярлық тензор жалпы түрде берілген болсын

Бұл тензордың реті екінші симметрия осі бар және ол кристаллофизикалық координат жүйесінің Х2 осімен сәйкес келеді. Координат жүйесі өзгергенде бұл тензор қалай өзгереді?

Х2 осін 180° айналдыру операциясына жауапты бағыттаушы косинустар матрицасы мынадай болады

T11, T13, T31, T22 және T33 компоненттері 180° бұрылу нәтижесінде қайта өз қалпына келеді, ал қалған компоненттері өз қалпына теріс таңбамен түрленеді.

Осыдан (35) тензор реті 2 симметрия осіне ие болуға тиісті емес, бірақ T12, T21, T23, T32 компоненттері нольге тең болған жағдайда ол осындай симметрияға ие болатыны анық.

Осыдан, егер Х2 реті 2-ші ось болса, онда тензор келесідей түрде болуы тиіс:

(36)

Алынған тензорға Х1Х2 бойлық симметрия жазықтығы қосылған болсын. Бұл операция келесі косинустар матрицасымен сипатталады

T'lm = clicmjTij (18)

Косинустардың осы мәндерін (18) түрлендіру формуласына қойып

T13 және T31 компоненттері теріс таңбамен өз қалпына түрленетіні, яғни бұл компоненттер нольге тең болатыны көрінеді.

T11, T22 және T33 компоненттері Х1Х2 жазықты-ғынан шағылғанда таңбасын өзгертпейді. Ақырында (36) тензор келесі тензорға түрленеді

(37)

2-ші осьті бойлайтын Х1Х2 жазықтығы екінші Х1Х3 жазықтығын тудырады және (37) тензордың толық симметриясы mmm болады.

Бұл жағдайда бағыттаушы косинустар матрицасы келесі түрде жазылады

Осы шамаларды T'11 және T'33 компоненттерін түрлендіру формуласына қойсақ келесіні аламыз

T'11 = c2T11 + csT12 + csT21 + s2T22, T'33 = T33

Тензордың осы компоненттері өз қалпына түрленеді деп болжаймыз. Онда штрихтарды алып тастап және күрделі емес түрлендірулерді жасаған соң бірінші теңдеуді келесі түрге келтіруге болады

(T12 + T21)/(T11 – T22) = tgα.

Бұл теңдік тек бөлшектің алымы мен бөлімі нольге тең болған шартта α бұрышының барлық мәндері үшін шын болады, б.а. егер

T21 = – T12, T11 = T22

Мұндай шартта тензордың ақырғы түрі

Полярлық тензордың симметрия центрі бар болғандықтан ∞ осіне перпендикуляр симметрия жазықтығы пайда болуы тиіс. Ақырында (38) тензорда ∞/m симметриясына ие болуы тиіс.

Дәл сол стандарттық әдіспен келесіні табамыз

T'12 = – T12 = 0, T'21 = – T21 = 0,

Тензордың ақырғы түрі келесідей жазылады:

(39)

∞ осіне бір бойлық симметрия жазықтығын қосу осындай бойлық жазықтықтардың шексіз санын тудырады және (39) тензордың симметриясы ∞/mm нүктелік тобымен сипатталады.

Мұндай жаңа симметрия элементі ∞ осіне перпендикуляр және Х1 осін бойлайтын 4-ші ось болсын. Сәйкесті симметриялық түрлендіру келесі косинустар матрицасымен сипатталады:

Осы косинустарды (39) тензор компоненттерін түрлендіру формуласына қойып келесіні аламыз

T'33 = c23c23T22 = T22 = T11

Онда тензордың түрі мынадай болады

және оның симметриясы ∞/∞m тобымен сипатталады.

Жалпы түрдегі (35) тензордың симметрия центрінен басқа ешқандай симметрия элементтері жоқ.

Бағынатын топтарға назар аударайық. Олар кристалдарды морфологиялық симметриясымен сипаттайтын кристалло-графиялық топтар болады. Берілген симметрия тобы бар түрі белгілі тензор бағынатын кристаллографиялық топтардың қасиеттерін де сипаттайтыны анық.

Мысалы mmm симметриясы бар тензор mmm, mm2 және 222 топтары үшін де сондай болады.

немесе компоненттер
бойынша

p1 = T11g1 + T12g2 + T13gq3
p2 = T21g1 + T22g2 + T23g3
p3 = T31g1 + T32g2 + T33g3,

немесе

pi = Tijgj (40)

Tij тоғыз шаманың жиынтығы 2-ші рангті аксиалдық тензоры деп аталады.

Аксиалдық тензор компоненттерін түрлендіру ережесі полярлық тензор компоненттері бағынатын ережеден өзгеше болатыны анық.

Егер оң (сол) координат жүйесі оңға (солға) өзгерсе, онда аксиалдық тензор компоненттерін түрлендіру формуласы полярлық тензор үшін ережеден айырмашылығы болмайды, өйткені координат жүйесінің мұндай өзгерісінде аксиалдық вектордың компоненттері полярлық вектор компоненттері сияқты түрленеді.

Сонымен, аксиалдық тензор компоненттерін түрлендіру формуласы келесі түрде жазылады

T'ij = ±cikcjlTkl, Tkl = ±ckicljT'ij, (41)

мұндағы “+” таңбасы бағыттаушы косинустар көбейтіндісінің алдына координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) өзгерген жағдайда қойылады және “–” таңбасы егер координат жүйесі оңнан (солдан) солға (оңға) өзгерсе қойылады.

2-ші рангті аксиалдық тензор полярлық тензор сияқты симметриялық және антисимметриялық бөліктерге жіктеледі. Полярлық тензордағы сияқты аксиалдық тензордың симметриялық бөлігі бас координат жүйесінде жалпы жағдайда үш тең емес диагоналдық компоненттері бар қарапайым түрге келтірілуі мүмкін.

Антисимметриялық полярлық тензор жағдайындағыдай оның координат жүйесі өзгергендегі түрленуін зерттейік.

Егер координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) өзгерсе нәтиже полярлық тензор үшін алынған нәтижемен бірдей болады – антисимметриялық аксиалдық тензор компоненттері полярлық вектор компоненттері сияқты түрленеді.

Егер координат жүйесі оңнан (солдан) солға (оңға) өзгерсе, онда (41) аксиалдық тензор компоненттерін түрлендіру формуласы бойынша (25) теңдеу келесі түрде өзгереді:

T'21 = –(c23c12 – c22c13)T32 – (c21c13 – c23c11)T13 – (c22c11 – c21c12)T21
T'13 = – (c13c32 – c12c33)T32 – (c11c33 – c13c31)T13 – (c12c31 – c11c32)T21 (42)
T'32 = – (c33c22 – c32c23)T32 – (c31c23 – c33c21)T13 – (c32c21 – c21c22)T21

T'21 = c31T32 + c32T13 + c33T21
T'13 = c21T32 + c22T13 + c23T21
T'32 = c11T32 + c12T13 + c13T21

Белгілеулер енгіземіз

T12 = p3, T13 = p2, T32 = p1,

немесе

p'i = cijpj

Сонымен координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) өзгергенде антисимметриялық аксиалдық тензор компоненттері полярлық вектор компоненттері сияқты өзгереді. Сол себептен антисимметриялық аксиалдық тензордың симметриясы ∞/m тобының симметриясына сай болады.

Оның себебі – біз анықтаған аксиалдың тензордың “құрамына” аксиалдық вектор кіреді. Сондықтан бұл беттердің барлық радиус-векторлары бұралған, б.а. симметрия жазықтықтары жоқ деп есептелу керек.

Бас координат жүйесінде симметриялық аксиалдық тензор симметриялық полярлық тензорға тән овалоидтермен сипатталады.

Симметриясы ∞/∞m болатын сфера тәрізді овалоид симметрия жазықтықтарын жоғалтып ∞/∞ тобымен сипатталады.

Полярлық тензор mmm симметриясы бар, T11 = T22 ≠ T33 шарты орындалатын жағдайда сілтеуіш беттерді бейнелейтін айналу овалоидтері, енді ∞/2 тобымен сипатталады.

Б.а. аксиалдық тензордың барлық нүктелік симметрия топтарында симметрия центрі жоқ, сондықтан осы тензормен сипатталатын барлық физикалық қасиеттер центрлік симметриясыз болады.

Аксиалдық тензордың жалпы түрінің барлық нүктелік топтарын табу үшін полярлық тензордың симметрия топтарын табу үшін қолданған әдісті қолданамыз, симметриялық және антисимметриялық аксиалдық тензорлардың симметриясын сипаттайтын нүктелік топтардың суперпозициясын қарастырамыз.

Табылған әр симметрия тобы үшін тензор түрін табу, оның барлық нольге тең емес компоненттерін анықтау керек. Оны тек симметриялық түрлендірулердің көмегін жасауға болады.

Тензорлардың симметрия топтары

Қалған үш аксиалдық тензордың түрлерін толық қарастыру қажет.

Мұндай симметриялық түрлендіру келесі косинустар матрицасымен бейнеленеді:

Бұл түрлендірудің нәтижесінде оң координат жүйесі сол жүйеге ауысады және (41) формулада “–” таңбасын алу керек. Барлық компоненттері үшін түрлендірулерді жасап келесіні аламыз

T11 = T12 = T21 = T22= T33= 0

Тензордың қалған компоненттері өз қалпына түрленеді.

Олай болса тензор келесідей жазылады:

(43)

Егер тензор mm2 тобының симметриясына ие болса онда 2-ші ось Х3 осіне түйескен жағдайда тензордың түрі (43) және (44) тензорлардың суперпозициясы болады

(44)

және оның симметриясы 2-ші ось Х3 осінде орналасқан жағдайда 2-ші топпен сипатталады.

(43) және (44) тензорлардың нольге тең емес компоненттерін теріп келесіні аламыз

(45)

аламыз.

Қарастырып отырған тензордың түрі
мынадай болады

(46)

Одан :

Ол үшін координат жүйесін Х3 айналдыра белгілі α бұрышына бұру жеткілікті болады. Осы бұрышты анықтайық.

Кез келген бұрышқа бұрылу операциясы келесі матрицамен бейнеленеді

(41) түрлендіру формуласын «+» таңбасымен және осы косинустар схемасын қолданып келесіні аламыз

Шарт бойынша T'12 нольге айналу тиіс. Олай болса

(с2 – s2)T12 = 2csT12

Одан

Сонымен тензордың шеткі компонентті Т12 = Т21 нольге айналу үшін координат жүйесін келесі қатынастан анықталатын α бұрышына бұру керек:

T'11 = (с2 – s2)T11 + 2csT12, T'22 = – (с2 – s2)T11 – 2csT12 = – T11,
T'13 = 0, T'33 = 0

Сонымен бас координат жүйесінде тензор келесі түрде жазылады:

2 кесте
2-ші рангті аксиалдық тензорлар

Енгізілген математикалық шамаларды атап өтейік.

Скаляр а. Координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) және оңнан (солдан) солға (оңға) өзгерген кезде оның түрлену ережесі:

а = а.

Псевдоскаляр а*. Дәл сондай өзгерістер кезінде түрлену ережесі:

а* = ±а*,

бұл жерде “+” таңбасы координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) және «–» таңбасы оңнан (солдан) солға (оңға) өзгерген кезде алынады.

Аксиалдық вектор g. Оның түрлену ережесі

мұндағы “+” таңбасы координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) және «–» таңбасы оңнан (солдан) солға (оңға) өзгерген кезде алынады.

gi´ = ±cijgj

2-ші рангті полярлық тензор Tij. Оның түрлену ережесі

T'ij = cilcjmTlm

бұл жерде екі жағдайда да плюс таңбасы алынады.

2-ші рангті аксиалдық тензор Tij. Оның түрлену ережесі

T'ij = ±cilcjmTlm

мұндағы “+” таңбасы координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) және «–» таңбасы оңнан (солдан) солға (оңға) өзгерген кезде алынады.

Осы шамалар жоғарғы рангті тензорларды құрастыру үшін жеткілікті болады. Тензордың рангі түрлену формуласына кіретін бағытаушы косинустар санымен анықталады.

Векторлар мен 2-ші рангті тензорлар полярлық және аксиалдық болғандықтан 3-ші рангті тензорларды құрастыру үшін 4 вариант бар

Бастапқы реті болып полярлық вектор мен 2-ші рангті полярлық тензор табылады:

pi = TijkTjk (48)

Tijk тензоры 3-ші рангті полярлық тензор деп аталады.

Оның түрлену формуласы полярлық вектор мен 2-ші рангті тензор формулаларының комбинациясы (қиыстыруы) болады және келесі түрде жазылады:

T'ijk = cilcjnckmTlnm, Tlnm = cilcjnckmT'ijk (49)

(49) түрлендіру формулаларында бағыттаушы косинустар алдында координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) немесе оңнан (солдан) солға (оңға) ауысқанына қарамай ылғи “+” таңбасы алынады.

Tijk да 3-ші рангті полярлық тензор болады, өйткені координат жүйесі оңнан (солдан) солға (оңға) өзгергенде аксиалдық вектор мен тензордың теріс таңбалары бір бірін жояды. Оның түрленуі (49) формуламен сипатталады.

Бастапқы реті болып полярлық вектор мен 2-ші рангті аксиалдық тензор табылады :

pi = TijkTjk

Tijk 3-ші рангті аксиалдық тензор деп аталады. Оның түрлену формуласы полярлық вектор мен 2-ші рангті аксиалдық тензор формулаларының комбинациясы (қиыстыруы) болады және келесі түрде жазылады:

T'ijk = ±cilcjnckmTlnm, Tlnm = ±cilcjnckmT'ijk (51)

(51) түрлендіру формулаларында координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) ауысқанда “+”, ал оңнан (солдан) солға (оңға) ауысқанда “–” таңбасы алынады.

Tijk да 3-ші рантгі аксиалдық тензор және (51) оның түрлену формулалары болады.

gi = TijkTjk.

3-ші рангті полярлық және аксиалдық тензорлардың жалпы 27 компоненттері бар:

Егер 2-ші рангті тензор симметриялық болса б.а. Tij = Tji онда (52) тензор компоненттерінің саны азаяды.

(52)

Олай болса матрица белгілеулерін қолдануға болады:

T111 = T11, T222 = T22, T333 = T33,
2T122 = T12, 2T133 = T13, 2T123 = T14,
2T131 = T15, 2T112 = T16

и т.д.

3-ші рангті полярлық және аксиалдық тензорлар үшін де барлық нүктелік симметрия топтарын және әр топ үшін лайықты тензор түрін табуға болады.

Бұл тензорлардың нақты матрицалары, симметрия топтары және бағынатын топтары осы тензорлармен сипатталатын кристалдың физикалық қасиеттері қарастырылған кезде келтіріледі.

pi = TijklTkl (54)

Tijkl 4-ші рангті полярлық тензор деп аталады және координат жүйесі оңнан (солдан) оңға (солға) және оңнан (солдан) солға (оңға) ауысқанда келесі формула бойынша түрленеді

T'ijkl = cincjmckoclpTnmop,
Tnmop = cincjmckoclp T'ijkl

(55)

4-ші рангті полярлық тензорды екі 2-ші рангті полярлық тензорларды қолданып енгізуге де болады

Tij = TijklTkl (56)

4-ші рангті полярлық тензорды аксиалдық вектор мен 3-ші рангті аксиалдық тензорды немесе екі 2-ші рангті аксиалдық тензорларды қолданып енгізуге болады.

Мұндай 4-ші рангті полярлық тензорладың барлығы (55) формуласы бойынша түрленеді.

полярлық вектор мен 3-ші рангті аксиалдық тензор;

аксиалдық вектор мен 3-ші рангті полярлық тензор;

2-ші рангті аксиалдық және полярлық тензорлар.

Оның түрлендіру формулаларындағы таңбалар 2-ші рангті аксиалдық тензордың формуласына ұқсас алынады.

(55) Формуласына сай берілген 4-ші рангті полярлық тензорды қарастырайық. Жалпы жағдайда мұндай тензордың 81 компонентті болады:

T1111 = T11, T1122 = T12, T1123 = T1132 = T14,
T2322 = T42, T2323 = T44,

и т.д.

Онда 4-ші рангті симметриялық полярлық тензордың матрицасы келесі түрде жазылады

Бұл тензорларды да лайықты физикалық қасиеттерді зерттеген кезде толығырақ қарастырады.

Ол электр және магнит өрістерін қарастыра отырып неге оң және теріс электр зарядтары бөлінеді, ал солтүстік және оңтүстік полюстер бөлінбейді деген сұрақтарды шешу барысында қосымша симметриялық аргументтерді (дәлелдерді) келтірді.

Магнит өрісінің бағытына перпендикуляр жазықтықта айналатын электр тоғы магнит өрісін тудырады, яғни магнит өрісінің кернеулігі аксиалдық вектор болады, оның симметриясы ∞/m тобына сай болады. Бұл топта көлденең симметрия жазықтығы болады, ал бойлық жазықтықтар болмайды. Магниттің солтүстік және оңтүстік полюстерінде электр токтары бірдей бағытта ағады, ол бағыт магнитке солтүстік немесе оңтүстік полюсі жағынан қарағанға байланысты сағат тіліне бағыттас немесе сағат тіліне қарсы болуы мүмкін.

Электр өрісінің кернеулігі полярлық вектор болады және оның симметриясы ∞m тобына сай болады. Бұл топта тек ∞ осін бойлай өтетін симметрия жазықтықтары болады, сол себептен осьтың оң және теріс ұштары ешқандай симметрия операцияларымен бір біріне келтірілмейді.

Кюри басқа да мысалдар бойынша физикалық құбылыстарды нүктелік симметрия топтарымен сипаттауға болатынын көрсетті:

дененің бір бағыттағы деформациясын ∞/mm шекті тобымен сипаттауға болады;

поляризация жазықтығының айналуын – ∞/2 тобымен;

гидростатикалық қысымды – ∞/∞m тобымен және т.б.

«Физикалық құбылыстың сипаттамалық симметриясы дегеніміз құбылыстың болуымен үйлесетін ортаның максимал симметриясы».

Қарапайым мысалды қарастырайық

Турмалин (симметриясы 3m), литий сульфаты (симметриясы 2) немесе барий нитриды (симметриясы 6) сияқты бірқатар кристалдар қыздырған кезде электрленеді, б.а. олардың жалғыз осінің ұштарында таңбалары қарама қарсы электр зарядтары пайда болады. Бұл физикалық құбылыс пироэлектрлік эффект деп аталады.

Пироэлектрлік эффектінің симметриясы қандай болады? Ол 3m немесе 2 және 6 топтарының симметриясына сәйкес келеді ме?

Пироэлектрлік эффектінің симметрия тобы максимал және бұл құбылыстың болуымен үйлесетін болу керек, ал турмалин, литий сульфаты және барий нитриды кристалдарының топтары ондай емес.

Аталған кристалл топтары (3m, 2, 6) оның топшалары болады, сондықтан ∞m тобы максимал пироэлектрлік эффектісін сипаттайтын топ болады.

∞m топша болып кіретін басқа шекті топтар, атап айтқанда ∞/mm немесе ∞/∞m, электрлік поляризацияның болуымен үйлеспейді. Сонымен пироэлектрлік эффект атты физикалық құбылыстың симметриясы ∞m тобына сай болады.

Пироэлектрлік эффектінің себебі – поляризация – полярлық вектор болып табылады, яғни физикалық құбылыстың симметриясы бұл жағдайда және жалпы осы құбылысты сипаттайтын математикалық шаманың симметриясы болып табылады.

Аксиалдық вектор көмегімен сипатталатын физикалық құбылыстардың (магниттелу, магнит моменті және т.б.) ∞/m симметриясына ие болады.

Скалярмен сипатталатын физикалық құбылыстар (көлем, тығыздық, жылусиымдылық және т.б.) ∞/∞m симметриясына ие болады.

2-ші рангті аксиалдық тензорлармен сипатталатын физикалық құбылыстар (жарықтың поляризация жазықтығының айналуы) 1, 2, 222, ∞, ∞/2, ∞/∞, m, mm2 және 42m симметриясына ие болады.

Физикалық құбылыстың симметриясы (сипаттамалық симметриясы) осы құбылыстың болуымен үйлесетін ортаның максимал симметриясы болады. Орта – ол морфологиялық симметрияның әртүрлі топтарымен сипатталатын кристалл болады. Сондықтан осындай әр топ үшін белгілі бір физикалық құбылысты сипаттағанда топшасы кристалдың морфологиялық симметриясы болатын жоғарғы топты табу керек.

Физикалық құбылыстың қандай симметриясы оның морфологиялық симметриясымен үйлеседі?

m тобы 2-ші рангті полярлық тензордың симметрия топтарының 1 тобынан басқа барлығы үшін топша болады (2/m, mmm, ∞/m, ∞/mm и ∞/∞m).

Бірақ 2/m тобы ең жақын жоғарғы топ болады, сондықтан ол осы морфологиялық топта берілген физикалық құбылысты сипаттайды.

Физикалық құбылыстың симметриясын сипаттайтын топ сәйкесті тензордың ең жақын орналасатын жоғарғы симметрия тобы және кристалдың морфологиялық симметриясының тобы оның топшасы болады.

Кристалдың морфологиялық симметриясы физикалық құбылыстың симметриясымен қалай байланысады?

XIX ғасырдың ортасында неміс физигі Ф. Нейман кристалдардың физикалық қасиеттері туралы тәжірибелік және теориялық мәліметтерді жалпылай отырып келесі принципті ұсынды:

«Материал физикалық қасиетіне қатысты оның кристаллографиялық пішіні сияқты симметрияны білдіреді».

Қазіргі уақытта бұл принциптің бірнеше анықтамасы белгілі.

«Кез келген физикалық құбылыстың симметрия тобына кристалдың морфологиялық симметриясы нүктелік тобының барлық элементтері кіру қажет» немесе «Кристалдың морфологиялық симметриясының тобы физикалық құбылыстың симметрия тобына топша болады».

Скалярдың және 2-ші рангті полярлық тензордың симметриясына сәйкес келетін физикалық қасиеттер кез келген кристалда жүзеге асуы мүмкін, өйткені кристалдың барлық 32 нүктелік симметрия топтары ∞/∞m тобына жататын топшалар болады.

Егер физикалық құбылыстар 2-ші рангті аксиалдық немесе 3-ші рангті полярлық тензорлармен бейнеленетін болса, онда олар симметрия центрі жоқ кристалдарда жүзеге асуы мүмкін.

Симметриясы mm2 болатын кристалл скаляр, полярлық вектор, 2-ші рангті полярлық тензор, 3-ші рангті полярлық тензор және 4-ші рангті полярлық тензормен сипатталатын физикалық қасиеттерге ие бола алады, бірақ псевдоскаляр мен 2-ші рангті аксиалдық тензормен сипатталатын физикалық қасиеттерге ие болмайды.

Мысал

Симметриясы mm2 нүктелік тобымен сипатталатын кристалда полярлық вектормен бейнеленетін қасиет болуы мүмкін, мысалы, спонтандық поляризация. Бірақ ол қасиет болмауы да мүмкін.

Басқа жағынан оның теріс жағдайларда жеткілікті күші болуы мүмкін.

Мысалы mm2 симметриясы бар кристалдың спонтандық магниттенуі болмауы мүмкін, яғни ферромагнетик болмауы.

Кристалдың симметрия тобы барлық физикалық құбылыстарды сипаттайтын топтың топшасы болу керек, сондықтан:

Кристалдың морфологиялық симметриясы физикалық құбылыстарының симметрия тобының жалпы жоғарғы топшасы болып табылады, егерде ол топтардың симметрия элементтері берілген түрде орналасқан болса.

Бұл қағида Кюри-Шубников заңы деп аталады.

Нейман принципінің үлкен болжау қабілеті бар және кристаллофизикада кеңінен қолданылады. Оның арқасында макроскопиялық кристаллофизика толық реттілікке ие болды.

Бұл кристалдың 3-ші рангті полярлық тензормен сипатталатын және ∞/2 симметриясына ие болатын пьезоэлектрлік қасиетті бар. ∞ осі дәл солай Х3 осінің бойымен бағытталған.

Сонымен қоса бұл кристалдың 4-ші рангті полярлық тензормен сипатталатын және 4/mmm симметриясына ие болатын серпімді қасиеттері бар. 4-ші осі Х3 осін бойлай бағытталған

Енді ойша осы симметрия элементтерінің барлығын біріктіріп олардың ішінен жалпысын таңдайық.

Ол 4-ші және оған перпендикуляр және өзара перпендикуляр екі 2-ші осьтер болу керек. Сонымен кристалдың іздестіріп отырған симметрия тобы 422 болады.

Кристалда сыртқы әсерлерден пайда болатын физикалық құбылыстар. Мысалы, температура, сыртқы электр өрісі немесе механикалық деформация салдарынан пайда болатын, поляризация, серпімділік, жылулық кеңею, электроптикалық және пьезооптикалық эффекттер және т.б.

Кюри сыртқы әсерден болатын кристалл сииметриясының өзгерістері қандай да заңдылықтарға бағынатыны туралы мәселені қарастырған.

Олар қазіргі уақытта Кюри принципі деп аталатын қатаң заңға бағынатыны анықталған.

Кюри принципін келесі схеманың көмегімен бейнелеуге болады.

Егер әсерге дейінгі кристалдың симметрия тобы G, ал физикалық әсердің тобы G1 болса, онда олардың g, р, s, u шекарасы бойынша қиылысуы бір жақты болатын С тобын береді (а сур.).

Бірақ кристалдың әсерге дейінгі G симметрия тобы және әсерден кейінгі С симметрия тобы белгілі болса, онда Кюри принципі бойынша физикалық әсердің симметрия тобын анықтау мүмкін емес (б сур.). Ол G2 немесе G3 тобы болуы мүмкін.

Физикалық құбылыстарды материалдық фигуралармен бейнелеуге болады, яғни ол Кюри принципінің растығын мақұлдайды.

Мысал

Симметриясы m3 тобымен сипатталатын кубтық кристалл болсын.

Оған [001] бағыты бойынша ∞/mm симметриясы бар механикалық кернеу әсер етеді.

Жалпы симметрия элементтерін теріп mmm тобын аламыз.

[001]

∞/mm

[001]

∞/m

Бірақ симметриясы mmm және mm2 топтарымен сипатталатын кристалдардың физикалық қасиеттері енді Нейман принципіне бағынатын болады.

mmm және mm2 топтары өзара жалпы жоғарғы топшалар болады. Басқа топшалар, мысалы, m немесе 2, кристалдың әсерден кейінгі симметриясын сипаттамайды, өйткені біржақты таңдауға мүмкіндік қалдырмайды.

Қарастырылған мысалда m3 симметриясы бар кубтық кристалл центрлік симметриялық болады және онда пьезоэлектрлік қасиет болмайды.

Электр өрісінің әсерінен оның симметриясы mm2 тобына дейін төмендейді және ол симметрия центрін жоғалтады.

Енді деформацияланған кристалл пьезоэлектрлік қасиетке ие бола алады.

Кристалда морфиялық («morphe» – пішін грек сөзінен) деп аталатын жаңа физикалық қасиет пайда болады, яғни пішіннің өзгеру салдарынан (әсердің салдарынан өзгерген пішін әңгімеленеді).

Егер бұл жаңа физикалық қасиет пайда болса, онда морфиялық эффектінің шамасы сыртқы әсердің шамасына тәуелді болады – әсер неғұрлым күшті болса, соғұрлым морфиялық эффект көбірек болады.