Математика в компьютерной графике презентация

Содержание

Базовые понятия свободные векторы, радиус векторы, операции с векторами, скалярное и векторное произведение векторов (vector dot & cross production) базис, координаты, декартова система координат матрицы, операции с матрицами, обращение

Слайд 1URL: http://www.school30.spb.ru/cgsg/cgc/
E-mail: CGSG@yandex.ru


Математика в
компьютерной графике
URL: http://www.school30.spb.ru/cgsg/cgc/
E-mail: CGSG@yandex.ru

Слайд 2Базовые понятия
свободные векторы, радиус векторы, операции с векторами, скалярное и векторное

произведение векторов (vector dot & cross production)

базис, координаты, декартова система координат

матрицы, операции с матрицами, обращение матриц

Слайд 3Преобразования (transformations)

Аффинные


Перспективные


Билинейные

Слайд 4Аффинные преобразования
Параллельный перенос (translation)

Слайд 5Аффинные преобразования
Масштабирование (scaling)

Слайд 6Аффинные преобразования
Сдвиг (shearing)

Слайд 7Аффинные преобразования
Масштабирование (scaling)

Слайд 8Аффинные преобразования
Поворот относительно начала координат (rotation)
r

Слайд 9Матричная запись аффинных преобразований
Перепишем в матричном виде общую запись аффинных преобразований:

Слайд 10Однородные координаты (homogeneous)
представим координаты на плоскости (2D) трехкомпонентной вектор - строкой:


будем

полагать w = 1


перепишем преобразование в общем виде:

Слайд 11Матричный вид аффинных преобразований

~ translation
~ translation
~ shear by x
~ shear by

y

~ rotation

~ scaling

Слайд 12Композиция преобразований
подвергнем точку последовательным преобразованиям системы координат:




перепишем:


в силу ассоциативности:

Слайд 13Обратные аффинные преобразования

Слайд 14Преобразование точек, векторов и нормалей
точка (радиус-вектор) (p):

вектор (v) и нормаль (n)

(только направление):

преобразования:

Слайд 15Преобразование нормалей

Слайд 16Нотации записи: столбец или строка
Одно преобразование:
Композиция преобразований:

Слайд 17Пример: привязка систем координат
заданы точки соответствия






найти «матрицу перехода»

Слайд 18Пример: привязка систем координат

Слайд 19Пример: преобразование изображений

Поворот и
масштабирование
=> Прямое отображение (direct mapping) =>

(inverse mapping) <=





Слайд 20Пример: warping (1)

Слайд 21Пример: warping (2)

Аффинные
преобразования
Билинейные
преобразования
Перспективные
преобразования

Слайд 22Пример: warping (3)

Аффинные
преобразования
Билинейные
преобразования
Перспективные
преобразования

Слайд 23Пример: morphing

morphing = warping + интерполяция цвета

Слайд 24Перспективные преобразования

Слайд 25Привязка с перспективным преобразованием (1)
общая формула:




прямое отображение:




полагаем w=1, итоговая формула для

координат:

Слайд 26Привязка с перспективным преобразованием (2)
получаем матрицу обратного отображения
определитель присутствует и в

числителе и в знаменателе – вычислять не нужно:






находим присоединенную матрицу:

Слайд 27Привязка с перспективным преобразованием (3)
Задача привязки: по 4 точкам соответствия определить

матрицу перехода:

Слайд 28Привязка с перспективным преобразованием (4)
запишем зависимость (выразим координаты x и y):



выпишем

в матричной форме 8 уравнений:

Слайд 29Привязка с перспективным преобразованием (5)
для упрощения задачи переход ищем из единичного

квадрата:




получаем:

Слайд 30Привязка с перспективным преобразованием (6)
обозначаем:



и находим решение:

Слайд 31Аффинные преобразования в пространстве
Аналогично случаю 2D вводим однородные координаты:



и преобразования в

общем случае:

Слайд 32Матрицы 3D преобразований (перенос, масштаб)

~ translation
~ scaling

Слайд 33Матрицы 3D преобразований (поворот вокруг осей)

~ rotation

Слайд 34Матрицы 3D преобразований (поворот вокруг оси)
Поворот вокруг произвольной оси, проходящей через

начало координат. Ось задается нормированным радиус вектором. Вывод через кватернионы (самостоятельно).

~ rotation

Слайд 35Пример: построение матрицы камеры (1)
камера задается: позиция С и векторы направление

«вверх» V, «враво» U и вперед N.
ищем преобразование в виде «перенос+поворот»: где

Слайд 36Пример: построение матрицы камеры (2)
после преобразования вектора отобразятся:
т.е.

Слайд 37Пример: построение матрицы камеры (3)
зная находим

Слайд 38
Практические задания
Реализовать warping изображения (срок – 6.11.2011):
все изображение трансформируется билинейным преобразованием

(один элемент соответствия)
Изображение разделяется на треугольники – зоны соответствия. Искажение получается в соответствии с изменением сетки треугольников.

Похожие презентации

Шкалы. Основные понятия 350
Делители и кратные. 6 класс 450
Быстрый счет без калькулятора 1036
Решение матричных игр в смешанных стратегиях 2xn и mx2 279
Тела примитивы. Матрица смежности 296
Непрерывность функции одной переменной. Точки разрыва функции и их классификация 533

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика