- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Элементы дифференциального исчисления презентация
Содержание
- 1. Элементы дифференциального исчисления
- 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Производные
- 3. Производная. Задача о касательной
- 4. Производная. Задача о касательной Обозначим
- 5. Производная. Определение Пусть функция у
- 6. Производная. Определение Если существует конечный
- 7. Примеры Ясно, что угловой коэффициент
- 8. Уравнение касательной Касательную как прямую,
- 9. Теоремы о производных
- 10. Теоремы о производных
- 11. Теоремы о производных
- 12. Теоремы о производных Например: y' не существует в точке
- 13. Примеры
- 14. Примеры
- 15. Производная обратной функции Теорема. Пусть
- 16. Примеры Для функции y=arcsinx обратной
- 17. Примеры Итак, Аналогично можно получить
- 18. Теорема о производной сложной функции
- 19. Производная степенной функции Справедливо тождество Тогда
- 20. Производные гиперболических функций Гиперболическими называют функции
- 21. Производные гиперболических функций Поэтому
- 22. Таблица производных
- 23. Таблица производных 13.
- 24. Дифференцируемая функция
- 25. Дифференциал функции
- 26. Определение дифференциала Пусть приращение функции
- 27. Определение дифференциала Тогда главная линейная
- 28. Дифференциал функции
- 29. Дифференциал функции
- 30. Дифференциал функции
- 31. Инвариантность дифференциала По правилу дифференцирования
- 32. Производные высших порядков
- 33. Дифференциалы высшего порядка Дифференциал от
- 34. Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть
- 35. Пример Найти производную функции Имеем
- 36. Производные неявных функций Пусть значения
- 37. Пример Продифференцируем функцию
- 38. Продолжение Найдем вторую производную.
- 39. Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1. Производные 2. Таблица производных 3. Дифференциал 4. Производные и дифференциалы высших порядков 5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях 6.Применение производных к исследованию функций 7. Общая
Слайд 2Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1. Производные
2. Таблица производных
3. Дифференциал
4. Производные и
дифференциалы высших порядков
5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
6.Применение производных к исследованию функций
7. Общая схема исследования функции и построение графика
5. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
6.Применение производных к исследованию функций
7. Общая схема исследования функции и построение графика
Слайд 3Производная. Задача о касательной
Определение. Если существует предельное положение
секущей
при стремлении вдоль по кривой, то оно называется касательной к графику функции в точке .
Слайд 4Производная. Задача о касательной
Обозначим угол наклона касательной к графику
функции в точке
Очевидно, при а
стремится к
.
Тогда угловой коэффициент касательной равен .
Очевидно, при а
стремится к
.
Тогда угловой коэффициент касательной равен .
Слайд 5Производная. Определение
Пусть функция у = определена
в интервале и пусть точка
Рассмотрим далее точку
В обеих точках вычислим значения функции и разность .
Эту разность будем называть приращением функции в фиксированной точке .
Рассмотрим далее точку
В обеих точках вычислим значения функции и разность .
Эту разность будем называть приращением функции в фиксированной точке .
Слайд 6Производная. Определение
Если существует конечный (или бесконечный)
= ,
то он называется конечной (или бесконечной) производной функции в точке и обозначается
символами или , т.е.
Слайд 7Примеры
Ясно, что угловой коэффициент касательной равен производной в точке
касания. Приведем примеры.
Слайд 8Уравнение касательной
Касательную как прямую, проходящую через точку касания
, задают уравнением . Например, уравнение касательной к кривой в точке (1;2) имеет вид у-2=2(х-1) или 2х-у=0.
Слайд 15Производная обратной функции
Теорема. Пусть функция х=f(y) монотонна и дифференцируема
в некотором интервале (a,b) и имеет в точке у этого интервала не равную нулю производную . Тогда в соответствующей точке х обратная функция имеет производную
или .
или .
Слайд 16Примеры
Для функции y=arcsinx обратной является функция x=siny , которая
в интервале (-π/2;π/2) монотонна и дифференцируема. Ее производная в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому
Слайд 26Определение дифференциала
Пусть приращение функции в точке может быть представлено
в виде
, где -приращение аргумента, А-величина, не зависящая от , -бесконечно малая более высокого порядка ,
чем при
, где -приращение аргумента, А-величина, не зависящая от , -бесконечно малая более высокого порядка ,
чем при
Слайд 27Определение дифференциала
Тогда главная линейная относительно
часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке и обозначается .
Итак, по определению .
Теорема. Для того чтобы в точке х функция имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную.
Итак, по определению .
Теорема. Для того чтобы в точке х функция имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную.
Слайд 31Инвариантность дифференциала
По правилу дифференцирования сложной функции
Здесь форма
дифференциала остается неизменной, но под дифференциалом аргумента понимается не приращение этого аргумента, а его дифференциал.
Слайд 33Дифференциалы высшего порядка
Дифференциал от дифференциала данной функции называется ее
дифференциалом второго порядка и обозначается . По определению
Итак, и т.д.
Итак, и т.д.
Слайд 34Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция у от х задана
параметрическими уравнениями
И пусть эти функции дифференцируемы. Тогда Если существует вторая производная, то
И пусть эти функции дифференцируемы. Тогда Если существует вторая производная, то
Слайд 36Производные неявных функций
Пусть значения х и у связаны уравнением
F(x,y)=0. Если функция у=f(х), определенная на некотором промежутке, при подстановке ее вместо у в уравнение F(x,y)=0 обращает это уравнение в тождество, то говорят, что это уравнение задает функцию у=f(х) неявно.
Слайд 39Логарифмическое дифференцирование
Найти производную функции
Прологарифмируем обе части:
Теперь берем производную
Окончательно
Окончательно
