Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии презентация

двух параметров:
mx - математического ожидания
σx. - среднеквадратического отклонения (СКО)
Оно является симметричным, т.е. для него коэффициент асимметрии равен нулю (Cs = 0). При таком распределении СВ ее мода, медиана и мат. ожидание совпадают. Интервал изменения СВ от - ∞ до + ∞.

Рассматривается нормированная случайная величина – СВt , чтобы не публиковать различные значения для различных значений mx и σx.

где z – переменная интегрирования

mx)/σx

Квантили нормированной нормально распределенной СВ

коэффициентов используется формула kp = tpCv + 1

Перевод от нормированных значений СВ к исходным осуществляется по формуле xp = tp σx + mx

Нормальный закона
и гидрологические процессы

Расходы воды всегда положительны, а область значений СВ при нормальном распределении изменяется от - ∞ до + ∞

Для нормального распределения Cs = 0, а для многих гидрологических характеристик Cs >0.

ни одному значению СВ Х не отдается предпочтение

Дифференциальная функция распределения закона равномерной плотности

Закон равномерной плотности определяется двумя параметрами: началом – а и концом – b интервала изменения СВ Х.

Плотность вероятности равна:

распределения СВ:
- Медиана равна МО.
- Закон равномерной плотности не имеет Моды
Этот закон используется в гидрологии при моделировании искусственных гидрологических рядов.

нормального распределения, так как:
многие из них больше нуля или какой-то величины
верхний предел не ограничен
Поэтому многие гидрологические характеристики имеют положительную асимметрию, которую можно привести к виду нормального распределения путем замены СВ на ее логарифм
СВ Х называется распределенной логарифмически нормально, если ее логарифм Z = ln (X) распределен по нормальному закону.

Дифференциальная (а) и интегральная (b) функции распределения логнормального закона при mz=1 и σz = 0.5

распределения

Дифференциальная функция логнормального распределения

где u = (z- mz)/σz z = ln(x) s – переменная интегрирования

σz
Величина mz – это МО, а σz – это СКО
Дисперсия, СКО и МО связаны соотношениями

случается при Cs/Cv = 3 – 3,5
Мода и медиана для СВ Х, имеющего логнормальное распределение, определяются равенствами:

Ординаты кривой обеспеченности логнормального распределения определяются по таблице стандартного нормального закона распределения, с учетом того, что Z = ln (X)

Cs = 3•Cv + Cv3

где Cv = σ/mx

Коэффициент асимметрии логнормального распределения определяется по формуле

логнормальном распределении

Так как на практике мы не знаем истинное распределение СВ Х, то допускается два варианта расчета:
оценка mz и σz производится по ряду значений СВ Z
по ряду значений СВ Х производится оценка mx и σx, а затем по формулам

определяется mz и σz

формуле zi = lnQi


По ряду значений СВ Z приближенно определяем mz и σz (методика расчета будет изложена в последующих лекциях)


Вычисляем вероятность непревышения F(n%)=100 – P(n%)


По таблице квантилей для нормированной нормально распределенной СВt определяем F(n%) квантиль


по формуле xp=tpσp + mx определяем zp(n%) = tp(n%)σz + mz


Так как zp(n%) = ln Qp(n%), то Qp(n%) = exp (zp(n%)

mx и σx
Вычисляем mz и σz по формулам

Дальнейший расчет проводится аналогично первому варианту

ln(X) используется преобразование Z = ln (X-a), где a – дополнительный третий параметр
Параметр a связан с коэффициентом асимметрии соотношением

где k0 – минимальный модульный коэффициент, k0 = a/mx. При k0 = 0, это выражение превращается в выражение

Этот тип распределения рекомендуется использовать при

расчетов СВ, связанных с экстремальными случаями (максимальные суточные расходы ….)
Функция обеспеченностей закона Гумбеля выглядит так

где у – безразмерная величина, связанная с х выражением
y = α(x – q)

где q - мода СВ Х, которая определяется в зависимости от среднего значения и СКО исходного ряда по формуле

а величину α можно выразить как

при его решении относительно х

Значение ур можно получить из выражения

после двух- кратного логарифмирования

где р - расчетная обеспеченность в процентах. Для основных опорных обеспеченностей значения ур приводятся в таблице

→∞

Для конечных выборок Гумбель предложил формулы

и

Параметры

и σy определяются в зависимости от длины

анализируемого ряда

имеет вид

Из выражения видно, что для распределения Гумбуля область возможных значений СВ Х находится в интервале (-∞, +∞). Распределение двухпараметрическру т.е. определяется параметрами

и σx.

распределение Гумбеля используется, в основном, при расчете дождевых паводков.