Презентация на тему Алгебра: Матрицы. Действия с матрицами. Определитель. Его вычисление и основные свойства

Презентация на тему Алгебра: Матрицы. Действия с матрицами. Определитель. Его вычисление и основные свойства, предмет презентации: Математика. Этот материал содержит 51 слайдов. Красочные слайды и илюстрации помогут Вам заинтересовать свою аудиторию. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций ThePresentation.ru в закладки!

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Текст слайда:

Лекция №1

Алгебра:
Матрицы. Действия с матрицами.
Определитель. Его вычисление и основные свойства. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Методы решения СЛАУ.

1


Слайд 2
Текст слайда:

Матрицы.

Определение: Матрица размерности mxn – это таблица чисел расположенных в m строках и n столбцах вида

2

Матрицы бывают квадратные:

Прямоугольные: или


Слайд 3
Текст слайда:

Матрицы.

3

Нулевая матрица

Побочная диагональ

Главная диагональ

Единичная матрица

Матрица столбец

Матрица строка


Слайд 4
Текст слайда:

Действия над матрицами.

Сложение матриц:

4

Вычитание матриц:

Умножение матрицы на число:


Слайд 5
Текст слайда:

Действия над матрицами

Умножение матриц:

5


Слайд 6
Текст слайда:

Пример умножения матриц.

6


Слайд 7
Текст слайда:

Действия над матрицами.

Операции сложения и умножения матриц обладают следующими свойствами:
Сложения:
А+В=В+А (переместительный закон)
А+(В+С)=(А+В)+С (сочетательный закон)
А+0=А
(α·β)·А= α·(β·А)
(α+β)·А= α·А+β·А (распределительный
(А+В)·α=α·А+α·В закон)
Умножения:
1. А·В≠В·А
2. А·(В·С)= (А·В)·С
3. А·(В+С)= А·В+А·С
(А+В)·С= А·С+В·С
4. А·Е= Е·А=А

7


Слайд 8
Текст слайда:

Определитель матрицы.


Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы.

Обозначается: det|A| или ||A|| или |A|

8


Слайд 9
Текст слайда:

Вычисление определителя.

Для матрицы размера 2х2, определитель вычисляется по следующей формуле:

9

Для вычисления определителя матрицы размера 3х3 (nxn), введем понятие миноров и алгебраических дополнений.


Слайд 10
Текст слайда:

Вычисление определителя.

Будем называть минором (Mkl) определитель матрицы полученной из исходной после вычеркивания из нее k-ой строки и l-го столбца.

10


Слайд 11
Текст слайда:

Вычисление определителя.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы с индексами k, l называется число , полученное умножением минора (Mkl) на (-1) в степени (k+l).

11


Слайд 12
Текст слайда:

Вычисление определителя.

Определитель матрицы размера более чем 3х3, вычисляется путем разложения этой матрицы по строке или столбцу, следующим образом:

12


Слайд 13
Текст слайда:

Вычисление определителя.

Для вычисления определителя матрицы 3х3 можно использовать следующую формулу:

13


Слайд 14
Текст слайда:

Пример вычисление определителя.

14


Слайд 15
Текст слайда:

Пример вычисление определителя.

15


Слайд 16
Текст слайда:

Пример вычисление определителя.

16


Слайд 17
Текст слайда:

Свойства определителей.

17

Свойство 1. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак.
Свойство 2. Общий множитель какой-либо строки или столбца можно выносить за знак определителя.
Свойство 3. Если в определителе две строки (или два столбца) пропорциональны (в частности, равны), то определитель равен нулю.
Свойство 4. При замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами величина его не изменится.


Слайд 18
Текст слайда:

Свойства определителей.

18

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) нули, то определитель равен нулю.
Свойство 6. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.
Свойство 7. Сумма парных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю.


Слайд 19
Текст слайда:

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Система вида:



где матрица системы,

- вектор неизвестных, - вектор правой части уравнения,
называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

19


Слайд 20
Текст слайда:

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Если обозначим:

20

То нашу систему можно записать в виде:

Тогда решение будет иметь вид:

где обратная матрица системы.


Слайд 21
Текст слайда:

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

21

Обратная матрица – это такая матрица при умножении на которую самой матрицы получается единичная матрица.


Слайд 22
Текст слайда:

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Геометрически, каждое уравнение нашей системы является уравнением плоскости. Возможны следующие варианты взаимного расположения трех плоскостей:

22

1.Пересечение в одной точке:


Слайд 23
Текст слайда:

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

23

2.Пересечение по прямой:

3.Нет общих точек пересечения:


Слайд 24
Текст слайда:

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

В первом случае определитель нашей системы НЕ равен нулю, а значит решение существует и единственно.
Найти решение такой системы мы можем двумя методами: 1. Методом Крамера, 2. Методом обратной матрицы.
Во втором случае решений системы бесконечно много, и решить эту системы мы можем при помощи метода Гаусса.
В третьем случае система не имеет решения, проверить это можно также методом Гаусса.

24


Слайд 25
Текст слайда:

Метод Крамера.

Данный метод сводиться к нахождению четырех определителей:

25


Слайд 26
Текст слайда:

Метод Крамера.

В результате получим решение СЛАУ:

26


Слайд 27
Текст слайда:

Метод Крамера. Пример.

Решить систему уравнений:

27


Слайд 28
Текст слайда:

Метод Крамера. Пример.

Вычислим определитель системы:

28


Слайд 29
Текст слайда:

Метод Крамера. Пример.

29


Слайд 30
Текст слайда:

Метод Крамера. Пример.

30


Слайд 31
Текст слайда:

Метод Крамера. Пример.

31


Слайд 32
Текст слайда:

Метод Крамера. Пример.

В результате мы получили: D=5, D1=0, D2=0, D3=10.

32


Слайд 33
Текст слайда:

Метод Крамера. Пример.

33


Слайд 34
Текст слайда:

Решение СЛАУ методом обратной матрицы.

34


Слайд 35
Текст слайда:

Решение СЛАУ методом обратной матрицы.

35


Слайд 36
Текст слайда:

Решение СЛАУ методом обратной матрицы.

36


Слайд 37
Текст слайда:

Решение СЛАУ методом обратной матрицы.

37


Слайд 38
Текст слайда:

Метод Гаусса

Расширенной матрицей системы

38

будем называть матрицу вида


Слайд 39
Текст слайда:

Метод Гаусса

Ранг матрицы – это размер наибольшего ненулевого минора этой матрицы.

Ранг матрицы с ненулевым определителем равен размеру этой матрицы.

39


Слайд 40
Текст слайда:

Метод Гаусса

Для того, чтобы СЛАУ была совместна ранг матрицы системы должен быть равен рангу расширенной матрицы.
Заметим:
Если ранг матрицы системы равен размерности самой матрицы, то система имеет единственное решение.
2. Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, но меньше размерности самой матрицы системы, то система имеет бесконечное множество решений.
3. Если ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система несовместна и решений не существует.

40


Слайд 41
Текст слайда:

Метод Гаусса

Сам метод Гаусса состоит в том, чтобы преобразованием строк получить нули под главной диагональю расширенной матрицы системы.

41


Слайд 42
Текст слайда:

Метод Гаусса

42


Слайд 43
Текст слайда:

Метод Гаусса

43

Вычитаем из 3 строки первую строку


Добавим к 3 строке вторую умноженную на 2


Слайд 44
Текст слайда:

Метод Гаусса

44

Теперь из расширенной матрицы запишем получившуюся систему:


Слайд 45
Текст слайда:

Метод Гаусса

Осталось только решить нашу систему. Из последнего уравнения получаем z=2, подставляем это значение z во второе уравнение и получаем y=0, теперь подставляем значение y в первое уравнение и получаем x=0.

45


Слайд 46
Текст слайда:

Метод Гаусса

Исследовать СЛАУ на совместность:

46

Запишем расширенную матрицу системы:


Слайд 47
Текст слайда:

Метод Гаусса

47

Вычитаем из 2 строки первую

Вычитаем из 3 строки первую умноженную на 3


Вычитаем из 3 строки вторую


Слайд 48
Текст слайда:

Метод Гаусса

Заметим, что наибольший ненулевой минор имеет размерность 2, а количество неизвестных системы равно 3, т.е. ранг системы совпадает с рангом расширенной матрицы, но он меньше чем количество неизвестных системы – это означает, что наша система имеет бесконечное множество решений.

48


Слайд 49
Текст слайда:

Метод Гаусса

Исследовать СЛАУ на совместность:

49

Запишем расширенную матрицу системы:


Слайд 50
Текст слайда:

Метод Гаусса

50

Вычитаем из 2 строки первую

Вычитаем из 3 строки первую умноженную на 3

Вычитаем из 3 строки вторую


Слайд 51
Текст слайда:

Метод Гаусса

Заметим, что наибольший ненулевой минор имеет размерность 3.

51


Заметим, что ран матрицы самой системы равен 2 – это означает, что наша система не имеет решения, т.к. ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы.


Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика