Алгебра: Матрицы. Действия с матрицами. Определитель. Его вычисление и основные свойства презентация

Содержание

Матрицы. Определение: Матрица размерности mxn – это таблица чисел расположенных в m строках и n столбцах вида 2 Матрицы бывают квадратные: Прямоугольные: или

Слайд 1Лекция №1
Алгебра:
Матрицы. Действия с матрицами.
Определитель. Его вычисление и основные свойства. Система

линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Методы решения СЛАУ.

1

Слайд 2Матрицы.
Определение: Матрица размерности mxn – это таблица чисел расположенных в m

строках и n столбцах вида

2

Матрицы бывают квадратные:

Прямоугольные: или

Слайд 3Матрицы.
3
Нулевая матрица
Побочная диагональ
Главная диагональ
Единичная матрица
Матрица столбец
Матрица строка

Слайд 4Действия над матрицами.
Сложение матриц:
4
Вычитание матриц:
Умножение матрицы на число:

Слайд 5Действия над матрицами
Умножение матриц:
5

Слайд 6Пример умножения матриц.
6

Слайд 7Действия над матрицами.
Операции сложения и умножения матриц обладают следующими свойствами:
Сложения:
А+В=В+А (переместительный

закон)
А+(В+С)=(А+В)+С (сочетательный закон)
А+0=А
(α·β)·А= α·(β·А)
(α+β)·А= α·А+β·А (распределительный
(А+В)·α=α·А+α·В закон)
Умножения:
1. А·В≠В·А
2. А·(В·С)= (А·В)·С
3. А·(В+С)= А·В+А·С
(А+В)·С= А·С+В·С
4. А·Е= Е·А=А

7

Слайд 8Определитель матрицы.

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы.

Обозначается:

det|A| или ||A|| или |A|

8

Слайд 9Вычисление определителя.
Для матрицы размера 2х2, определитель вычисляется по следующей формуле:
9
Для вычисления

определителя матрицы размера 3х3 (nxn), введем понятие миноров и алгебраических дополнений.

Слайд 10Вычисление определителя.
Будем называть минором (Mkl) определитель матрицы полученной из исходной после

вычеркивания из нее k-ой строки и l-го столбца.

10

Слайд 11Вычисление определителя.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы с индексами k, l называется число

, полученное умножением минора (Mkl) на (-1) в степени (k+l).

11

Слайд 12Вычисление определителя.
Определитель матрицы размера более чем 3х3, вычисляется путем разложения этой

матрицы по строке или столбцу, следующим образом:

12

Слайд 13Вычисление определителя.
Для вычисления определителя матрицы 3х3 можно использовать следующую формулу:
13

Слайд 14Пример вычисление определителя.
14

Слайд 15Пример вычисление определителя.
15

Слайд 16Пример вычисление определителя.
16

Слайд 17Свойства определителей.
17
Свойство 1. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет

знак.
Свойство 2. Общий множитель какой-либо строки или столбца можно выносить за знак определителя.
Свойство 3. Если в определителе две строки (или два столбца) пропорциональны (в частности, равны), то определитель равен нулю.
Свойство 4. При замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами величина его не изменится.

Слайд 18Свойства определителей.
18
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) нули, то

определитель равен нулю.
Свойство 6. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.
Свойство 7. Сумма парных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю.

Слайд 19Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Система вида:



где матрица системы,

- вектор неизвестных,

- вектор правой части уравнения,
называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

19

Слайд 20Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Если обозначим:
20
То нашу систему можно записать в

виде:

Тогда решение будет иметь вид:

где обратная матрица системы.

Слайд 21Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
21
Обратная матрица – это такая матрица при

умножении на которую самой матрицы получается единичная матрица.

Слайд 22Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Геометрически, каждое уравнение нашей системы является уравнением

плоскости. Возможны следующие варианты взаимного расположения трех плоскостей:

22

1.Пересечение в одной точке:

Слайд 23Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
23
2.Пересечение по прямой:
3.Нет общих точек пересечения:

Слайд 24Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
В первом случае определитель нашей системы НЕ

равен нулю, а значит решение существует и единственно.
Найти решение такой системы мы можем двумя методами: 1. Методом Крамера, 2. Методом обратной матрицы.
Во втором случае решений системы бесконечно много, и решить эту системы мы можем при помощи метода Гаусса.
В третьем случае система не имеет решения, проверить это можно также методом Гаусса.

24

Слайд 25Метод Крамера.
Данный метод сводиться к нахождению четырех определителей:
25

Слайд 26Метод Крамера.
В результате получим решение СЛАУ:
26

Слайд 27Метод Крамера. Пример.
Решить систему уравнений:
27

Слайд 28Метод Крамера. Пример.
Вычислим определитель системы:
28

Слайд 29Метод Крамера. Пример.
29

Слайд 30Метод Крамера. Пример.
30

Слайд 31Метод Крамера. Пример.
31

Слайд 32Метод Крамера. Пример.
В результате мы получили: D=5, D1=0, D2=0, D3=10.
32

Слайд 33Метод Крамера. Пример.
33

Слайд 34Решение СЛАУ методом обратной матрицы.
34

Слайд 35Решение СЛАУ методом обратной матрицы.
35

Слайд 36Решение СЛАУ методом обратной матрицы.
36

Слайд 37Решение СЛАУ методом обратной матрицы.
37

Слайд 38Метод Гаусса
Расширенной матрицей системы
38
будем называть матрицу вида

Слайд 39Метод Гаусса
Ранг матрицы – это размер наибольшего ненулевого минора этой матрицы.

Ранг

матрицы с ненулевым определителем равен размеру этой матрицы.

39

Слайд 40Метод Гаусса
Для того, чтобы СЛАУ была совместна ранг матрицы системы должен

быть равен рангу расширенной матрицы.
Заметим:
Если ранг матрицы системы равен размерности самой матрицы, то система имеет единственное решение.
2. Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, но меньше размерности самой матрицы системы, то система имеет бесконечное множество решений.
3. Если ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система несовместна и решений не существует.

40

Слайд 41Метод Гаусса
Сам метод Гаусса состоит в том, чтобы преобразованием строк получить

нули под главной диагональю расширенной матрицы системы.

41

Слайд 42Метод Гаусса
42

Слайд 43Метод Гаусса
43
Вычитаем из 3 строки первую строку


Добавим к 3 строке

вторую умноженную на 2

Слайд 44Метод Гаусса
44
Теперь из расширенной матрицы запишем получившуюся систему:

Слайд 45Метод Гаусса
Осталось только решить нашу систему. Из последнего уравнения получаем z=2,

подставляем это значение z во второе уравнение и получаем y=0, теперь подставляем значение y в первое уравнение и получаем x=0.

45

Слайд 46Метод Гаусса
Исследовать СЛАУ на совместность:
46
Запишем расширенную матрицу системы:

Слайд 47Метод Гаусса
47
Вычитаем из 2 строки первую

Вычитаем из 3 строки первую умноженную

на 3


Вычитаем из 3 строки вторую

Слайд 48Метод Гаусса
Заметим, что наибольший ненулевой минор имеет размерность 2, а количество

неизвестных системы равно 3, т.е. ранг системы совпадает с рангом расширенной матрицы, но он меньше чем количество неизвестных системы – это означает, что наша система имеет бесконечное множество решений.

48

Слайд 49Метод Гаусса
Исследовать СЛАУ на совместность:
49
Запишем расширенную матрицу системы:

Слайд 50Метод Гаусса
50
Вычитаем из 2 строки первую

Вычитаем из 3 строки первую умноженную

на 3

Вычитаем из 3 строки вторую

Слайд 51Метод Гаусса
Заметим, что наибольший ненулевой минор имеет размерность 3.
51

Заметим, что

ран матрицы самой системы равен 2 – это означает, что наша система не имеет решения, т.к. ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы.

Похожие презентации

Методические особенности построения курса геометрии в основной школе 324
Презентация по использованию дидактических и гр и логических задач в развитии интеллекта старших дошкольникова 246
Применение подобия для решения задач 568
Нелинейное программирование 293
Элективный курс. Решение задач с параметрами 356
Использование многофакторных моделей на основе главных компонент для прогнозирования состояния социально-экономических систем 355

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика