Дифференциальное уравнение энергии трехмерной нестационарной теплопроводности твердых тел презентация

dF твердого тела конечных размеров, необходимо интегрировать уравнение Фурье (1) по площади F и времени τ, т.е. знать температурное поле внутри рассматриваемого тела.




Для решения этой задачи выводится дифференциальное уравнение теплопроводности при следующих допущениях:
тело однородно;
изотропно;
физические параметры его постоянны.

(1)

– закон Фурье

dF твердого тела конечных размеров, необходимо интегрировать уравнение Фурье (1) по площади F и времени τ, т.е. знать температурное поле внутри рассматриваемого тела.




Для решения этой задачи выводится дифференциальное уравнение теплопроводности при следующих допущениях:
тело однородно;
изотропно;
физические параметры его постоянны.

(1)

– закон Фурье

элементарный объем тела извне за время dτ путем теплопроводности, плюс количество теплоты, выделяемое внутренними источниками dQT2, равно изменению внутренней энергии вещества dQT = dU:

(2)

Для определения членов этого уравнения в декартовой системе координат выделим элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz.

Подводимая теплота – dQx, dQy, dQz;
отводимая теплота – dQx+dx, dQy+dy, dQz+dz.

величин представляет собой количество теплоты, оставшейся в параллелепипеде:

телу и оставшейся в нем, находим из уравнения:

(3)

единицу времени (мощность внутренних источников теплоты), Вт/м3, то можно записать


Изменение внутренней энергии тела за время dτ



Подставим выражения (3), (4) и (5) в уравнение (2), после преобразований получим следующее выражение:

(4)

(5)

называется коэффициентом

температуропроводности.

Общее дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье в декартовой системе координат




где дифференциальный оператор Лапласа равен

(6)

(7)

любой точке тела, в которой происходит процесс теплопроводности.