Тема : Непрерывно-стохастические МОДЕЛИ (Q-СХЕМЫ)план: 1. Основы теории массового обслуживания2. Понятие случайного процесса 3. Марковский случайный процесс4. Потоки событий5. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. 6. Финальные вероятности презентация

случайного процесса 3. Марковский случайный процесс 4. Потоки событий 5. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. 6. Финальные вероятности состояний

схем систем массового обслуживания (англ. queueing system), которые будем называть Q-схемами. Системы массового обслуживания представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания [1,2]. Системы массового обслуживания - это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т. е. стохастический характер процесса их функционирования. Остановимся на основных понятиях массового обслуживания, необходимых для использования Q-схем, как при аналитическом, так и при имитационном. В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно изобразить в виде некоторого i-го прибора обслуживания Пi (рис. 1.1), состоящего из накопителя заявок Hi в котором может одновременно находиться li =емкость i-го накопителя, и канала обслуживания заявок (или просто канала) Ki. На каждый
элемент прибора обслуживания Пi поступают потоки событий: в накопитель Hi — поток заявок wi, на канал Ki —- поток обслуживаний ui.

случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Поток событий называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью .
{tn} = { ... ... 0 t1≤ t2≤ …≤ tn≤ …}, где tn — момент наступления n-го события — неотрицательное вещественное число. Однородный поток событий также может быть задан в виде последовательности промежутков времени между n-м и (n-1)-м событиями {τn}, которая однозначно связана с последовательностью вызывающих моментов {tn}, где
τn = tn-tn - tn-1 ≥1, to = 0, т. е. .τ1 = t1.
Потоком неоднородных событий называется последовательность (tn, fn), где tn - вызывающие моменты;
fn — набор признаков события. Например, применительно к процессу обслуживания для неоднородного потока заявок могут быть заданы принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т. п.

являются случайными величинами. Пусть интервалы τ1,τ2… независимы между собой. Тогда поток событий называется потоком с ограниченным последействием. Пример потока событий приведен на рис. 1.2, где обозначено Tj — интервал между событиями (случайная величина); TH — время наблюдения, Tс — момент совершения события.

Рис. 2. Схема потока событий

— число событий, произошедших за время наблюдения TH. Если Tj=const или определено какой-либо формулой Tj=f(Tj-1), то поток называется детерминированным. Иначе поток называется случайным. Случайные потоки бывают:
- ординарными, когда вероятность одновременного появления 2-х и более событий равна нулю;
- стационарными, когда частота появления событий постоянная;
- без последействия, когда вероятность не зависит от момента совершения предыдущих событий.
Поток событий называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени Δt , примыкающий к моменту времени t, попадает больше одного события Р>1 (t,Δt ), пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью того, что на этот же интервал времени Δt попадает ровно одно событие Р1 (t, Δt ), т. е. Р1 (t, Δt ) >> Р>1 (t, Δt ). Если для любого интервала Δt событие Р0 (t, Δt ) +Р1 (t, Δt ) + Р>1 (t, Δt )=1 (3.2) как сумма вероятностей событий, образующих полную группу и несовместных, то для ординарного потока событий Р0 (t, Δt ) +Р1 (t, Δt ) ≈ 1, Р>1 (t, Δt )=0(Δt ), где 0(Δt ) - величина, порядок малости которой выше, чем Δt , т. е. lim [0(Δt )/ Δt ]=0.

иного числа событий на интервале времени τ зависит лишь от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени 0t взят этот участок. Рассмотрим на оси времени t ординарный поток событий и найдем среднее число событий, наступающих на интервале времени Δt , примыкающем к моменту времени t. Получим
0*Р0 (t, Δt ) +1*Р1 (t, Δt )= Р1 (t, Δt ) (3.3)
Тогда среднее число событий, наступающих на участке времени Δt в единицу времени,
составит [Р1 (t, Δt )]/ Δt . Рассмотрим предел этого выражения при Δt →0. Если этот предел
существует, то он называется интенсивностью (плотностью) ординарного потока событий
lim [Р1 (t, Δt )]/ Δt =λ(t). Интенсивность потока может быть любой неотрицательной функцией
времени, имеющей размерность, обратную размерности времени. Для стационарного потока его интенсивность не зависит от времени и представляет собой постоянное значение, равное
среднему числу событий, наступающих в единицу времени λ(t)= λ=const.