вычисления собственных частот для различных схем дискретизации массы – С целью исследования влияния схемы дискретизации массы рассмотрим для одной и той же балки длиной L = 3а, a = 1 м, погонный вес G1 = 21 кгс/м (206 Н/м), момент инерции поперечного сечения I = 1840 см4 = 1.84⋅10-5 м4, модуль упругости E = 2⋅106 кгс/см2, несколько схем:
1. С одной точечной массой – балка заменяется одной, расположенной посредине, сосредоточенной массой, равной массе балки.
3а
m =M
Воспользуемся обратной формой:
Матрицы имеют первый порядок и
представляют собой один всего лишь элемент:
Элемент матрицы податливости определим как перемещение от единичной силы с помощью интеграла
Мора, используя для его вычисления правило Верещагина:
Произведение элементов матриц жесткости и податливости:
Обратная
величина:
Собственная частота
колебаний (рад/c):
Точное решение
(низшая частота колебаний):
Ошибка аппроксимации составляет 29.8%. Такая большая ошибка связана с тем, что вся масса балки сосредотачивается в точке максимального прогиба. Вполне логично разбить балку на три части: средняя часть – половина массы балки прикладывается в средней точке, две части – две четверти массы прикладываются в опорных точках и тем самым не участвуют в колебаниях. Таким образом, остается одна точечная масса, равная половине массы балки:
Ошибка аппроксимации составляет теперь всего 0.73%. И это очень хороший результат.
2. С двумя точечными массами – балка заменяется двумя, расположенными по третям длины балки,
сосредоточенными массами, равными половине массы балки.
Матрицы имеют второй порядок:
Матрица
податливости:
Произведение матриц
жесткости и податливости:
Обратная матрица:
Собственные
числа:
Собственные частоты
колебаний (рад/c):
Ошибка аппроксимации по нижней частоте 18.4%. Вновь, если принять массу каждого из двух точечных масс, равной одной трети от массы балки
при той же геометрии расположения, считая, что оставшаяся треть массы приходится на опоры, то ошибка по нижней частоте снижается до 0.101%.
Это не означает, что такая высокая точность получается для высших частот.
Для получения достаточной точности по этим частотам приходится увеличивать степень дискретизации (количество точечных масс).