Дифференциальное исчисление презентация

Дифференциальное исчисление

Задача 2. Пусть γ(t) есть количество вещества прореагировавшего за время t. В момент времени t+Δt количество вещества будет γ(t+Δt), т.е. за промежуток времени (t, t+Δt) количество прореагировавшего вещества
Δγ = γ (t + Δt) – γ (t).
Средняя скорость химической реакции за интервал времени Δt будет равна Δγ /Δt. Чтобы найти скорость химической реакции в данный момент времени t надо устремить Δt к нулю, то есть


Таким образом, производная от количества прореагировавшего вещества определяет скорость химической реакции.

0

0

y

x

x

f (x)

y=f (x)

x + Δx

Δ x

f (x + Δx)

Δy

Производная функции

Определение. Если существует предел отношения приращения функции Δf(x) к приращению аргумента Δx, при стремлении приращения аргумента к нулю, то он называется производной функции в точке x
.

Обозначения: y′, f ′(x) или , .

Определение. Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, называется дифференцируемой в промежутке, если она дифференцируема в каждой точке этого промежутка.

Физический смысл производной
Производная характеризует скорость изменения функции в зависимости от изменения аргумента (скорость процесса в любой момент времени).

С геометрической точки зрения дифференциру-емость означает, что к графику функции в данной точке можно провести единственную невертикальную касательную.

Геометрический смысл производной

Касательная и нормаль

Определение. Касательной к графику функции в точке М0(x0, y0 ) назовем предельное положение секущей М0М, когда точка М, двигаясь вдоль кривой, стремиться к совпадению с точкой М0.
Уравнение касательной к графику функции в точке М0(x0, y0): .

Прямая, проведенная через точку касания, перпендикулярно касательной к графику функции, называется нормалью.
Уравнение нормали к графику функции в точке М0(x0, y0):

Односторонние производные

Определение. Если функция y = f (x) определена в левосторонней (правосторонней) окрестности точки x0 и существует


то он называется производной от функции в точке x0 слева, а


производной в той же точке справа.

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условие существования производной в точке)
Функция y = f (x) имеет производную в точке тогда и только тогда когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции слева и справа, причем

.
Теорема 2. (Связь между дифференцируемостью функции в точке и ее непрерывностью в этой точке)
Если функция y = f (x) имеет производную в точке x0 , то она в этой точке непрерывна.

Правила дифференцирования

Теорема 3. Пусть f (x) и g (x) − дифференцируемые функции и с − константа, тогда справедливы соотношения
1. [c ⋅ f (x)]′ = c⋅ f ′(x) .
2. [ f (x) ± g (x) ]′ = f ′(x) ± g′ (x) .
3. [ f (x) ⋅ g (x) ]′ = f ′(x) ⋅ g (x) + f (x) ⋅ g′ (x) .
4.  .