Лента Мёбиуса презентация

Проект по теме:

Выполнила: Митик Мария, 9 класс
Руководитель проекта: Бозиева Ф.С.
высшая квалификационная категория.

Задачи:
Сделать ленту Мёбиуса.
Узнать свойства ленты Мёбиуса.
Придумать математические развлечения с лентой Мёбиуса.
Узнать об использовании ленты Мебиуса в искусстве и жизни.
Узнать о свойствах бутылки Клейна

- 1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие прославленные математики. В те времена занятия матема­тикой не встречали поддержки, а астрономия была прибыльным делом и давала возможность заниматься проблемами других научных областей. И Мёбиус стал одни из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие ленты, которая бала названа его Именем. Идея пришла Мёбиусу в голову, когда служанка не правильно сшила ленту.

только для него.
Непрерывность - с топологической точки зрения круг неот­личим от квадрата, потому что их легко преобразовать один в дру­гой, не нарушая непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет - не­прерывность полная.
Связность - Связность принято оценивать числом Бетти, или иногда пользуются эйлеровой характеристикой, лента Мебиуса двухсвязна.
4. Ориентированность — свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.
5. «Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

и ножницы.
Модель ленты Мёбиуса можно легко сделать. Для этого надо взять вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них.
Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства.

становится увлекательным занятием.
Зададимся вопросом:
сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите? Давайте проверим: попробуйте закрасить это кольцо с одной стороны. Красим, не отрываемся, на другую сторону не переходим. Красим... Закрасили? А где же вторая, чистая сторона? Ее нет.
Вывод:
Начали красить лист Мёбиуса,  не переворачивая. Лист Мёбиуса закрасился полностью. « Если кто - нибудь вздумает раскрасить только одну сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро с краской», - пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в книге «Что такое математика?»

Линия проведена «с двух сторон». Линия вернулась в точку начала.

по всей длине? Получилось два кольца?
Вывод: Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот – «Афганская лента» (так называют ее фокусники).

две ленты, намотанные друг на друга.

от края.
Вывод: Получили два сцепленных друг с другом кольца: первое - ширина 3 см. лист Мёбиуса длина равна длине исходного. Второе - ширина 1 см. длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота.

из них пополам вдоль. Что у Вас получилось?
Вывод: Получились три кольца, намотанные друг на друга. 2 – простые кольца равные по длине первоначальным, 3 – «Афганская лента».

полосы
( как показано на рисунке) А теперь попробуйте продолжить разрез вдоль всей ленты. Что у вас получилось, если не секрет:

Вывод: Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже,
перекручено на 1 полный оборот – «Афганская лента».

в то же место откуда начала движение, но в перевернутом виде.

два раза (то есть на 360 градусов)?
Вывод:
Если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одина­ковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом.
Можно теперь рвать эти кольца по очереди, и всякий раз оставшиеся будут по- прежнему сцеплены вместе.

точки А и Е; В и F
C и G; D и H.
Вывод: Получили две непересекающиеся ленты Мебиуса, соединенных между собой.

небольшую окружность с направлением против часовой стрелки, если смотреть из конца нормали.
Начнем перемещать точку вместе с нормалью и направленной окружностью по листу Мёбиуса. Когда точка обойдёт весь лист и вернётся в исходное положение (зрительно она будет на другой стороне листа, но в геометрии поверхность толщины не имеет), направление нормали изменится на обратное, а направление окружности — на противоположное.
Выводы: Полный обход вокруг листа изменяет направление окружности на противоположное. Это говорит о том, что поверхность листа Мёбиуса неориентируема.

- топологический объект, не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не склеивают её отдельные куски.
Поверхность листа Мёбиуса неориентируема.

Бутылку построил в 1882 году немецкий математик Феликс Клейн. Обычная бутылка имеет наружную и внутреннюю стороны. В отличие от обычной бутылки бутылка Клейна не имеет края, а ее поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную.

равным 2 и хроматическим числом, равным 6.

медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка.

де Форесту, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон – это лента Мёбиуса.

В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свиде­тельство № 236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предло­жил натянуть сделанную из специального материала лен­ту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной.

Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной дефектоскопии
(им выдано авторское свидетельство № 259449).

равномерно изнашивается с двух сторон.
В 1963 году патентное ведомство США зарегистрировало изобретение Джакобса, который поставил свои знания топологии на служ­бу химчистки — он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «рабо­тая» при этом обеими своими сторонами.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. тоже применил фильтр в виде листа Мёбиуса.
Система записи на непрерывную плёнку – лист Мёбиуса.

использования.

Международный символ переработки – лист Мёбиуса.

В метро ручка эскалатора, не что иное, как лента Мёбиуса, это позволяет равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.

Любят ленту Мёбиуса художники, писатели – фантасты.

рассказывается о бостонском метро, линии которого причудливым образом разрослись и превратились в ленту Мебиуса. Целые составы стали исчезать и возвращались через месяц….

- символ математики, Что служит высшей мудрости венцом… Он полон неосознанной романтики: В нем бесконечность свернута кольцом».
( «Лист Мёбиуса» Наталья Юрьевна Иванова)

Лента Мёбиуса широко используется фокусниками

(1898 – 1972 годы)  множество его работ посвящены листу Мебиуса. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же.

Мебиуса

– лист Мёбиуса.
Он обладает удивительными свойствами.
Лента Мёбиуса (лист Мебиуса) используется в жизни.
Она волнует литераторов и художников.
Зная свойства Ленты Мёбиуса, можно придумать различные фокусы и развлечения и изготовить полезные и нужные вещи.

бутылки Клейна (смотри схему).
Вязаный шарф в форме листа Мебиуса.





Схема вязания шапочки в форме бутылки Клейна