Выпуклый анализ. Выпуклые функции.. Лекция 13 презентация

Содержание

1. Выпуклый анализ. Выпуклые функции.. Лекция 13
2. 3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 3.5. Критерии выпуклости гладких функций
3. 3.5. Критерии
6. Теорема 9. (Второй критерий
7. Достаточность. Таким образом следует доказать. что
8. Для всех последовательно
9. Тогда в силу (4) находим Таким образом,
10. Обозначим
11. Заметим, что При этом Аналогично, обозначим
12. Заметим, что Кроме того При этом
13. Из (8) в силу
14. Теорема 10. (Критерий выпуклости
15. Сокращая
16. Тогда из условия (10)
18. Упражнение. Решение.

3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 3.5. Критерии выпуклости гладких функций

Главная
Математика
Выпуклый анализ. Выпуклые функции.. Лекция 13

Слайд 1ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ
ЛЕКЦИЯ 13

3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ )

Слайд 2
3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ

3.5. Критерии выпуклости гладких функций

Слайд 3

3.5. Критерии выпуклости гладких функций.
Теорема 8. (Первый критерий выпуклости дифференцируемой

функции).

необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Необходимость.

Слайд 4

В результате получим (1)
Необходимость доказана.
Достаточность.
Положим
Из (1)
находим
и сложим их

почленно.

Имеем

Слайд 5

Таким образом,
и теорема доказана.

Слайд 6

Теорема 9. (Второй критерий выпуклости дифференцируемой функции).

необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Необходимость.

Сложим эти неравенства почленно

по первому критерию выпуклости

справедливы неравенства

(теорема 8)

следует,

Необходимость доказана.

Слайд 7Достаточность.

Таким образом следует доказать. что

Слайд 8

Для всех

последовательно вычисляем выражения

Тогда в силу (4) и (5) выводим
имеет место

формула конечных приращений

Слайд 9

Тогда в силу (4)

находим
Таким образом,

Слайд 10

Обозначим

Слайд 11

Заметим, что
При этом
Аналогично, обозначим

Слайд 12

Заметим, что

Кроме того
При этом

Слайд 13

Из (8)
в силу (9)
Тогда для этих точек выполнено условие (3)
имеем
Теорема доказана.
Следовательно

Слайд 14

Теорема 10. (Критерий выпуклости дважды дифференцируемой функции).

то это условие является

необходимым.

Доказательство. Необходимость.

достаточно, чтобы

выводим

Слайд 15

Сокращая в неравенстве (11)

По доказанному выше будет выполняться

Необходимость доказана.
Достаточность.

найдется

последовательность

получим (10).

В силу второго критерия выпуклости достаточно доказать неравенство

Имеем

Слайд 16

Тогда из условия (10)
Где обозначено
Теорема доказана.
следовательно, она выпукла.
Пример 10.
Определить значения

параметров,

определенная равенством

Слайд 17

По теореме 10 для ее выпуклости требуется положительность матрицы
Вычислим ее

главные миноры и выясним,

Решение.

Слайд 18

Упражнение.
Решение.

Слайд 19

Скачать презентацию

Выпуклый анализ. Выпуклые функции.. Лекция 13 презентация

Содержание

Слайд 1ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ
ЛЕКЦИЯ 13

3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ )

Слайд 2
3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ

3.5. Критерии выпуклости гладких функций

Слайд 3

3.5. Критерии выпуклости гладких функций.
Теорема 8. (Первый критерий выпуклости дифференцируемой

Слайд 4

В результате получим (1)
Необходимость доказана.
Достаточность.
Положим
Из (1)
находим
и сложим их

Слайд 5

Таким образом,
и теорема доказана.

Слайд 6

Теорема 9. (Второй критерий выпуклости дифференцируемой функции).

необходимо и достаточно, чтобы

Слайд 7Достаточность.

Таким образом следует доказать. что

Слайд 8

Для всех

последовательно вычисляем выражения

Тогда в силу (4) и (5) выводим
имеет место

Слайд 9

Тогда в силу (4)

находим
Таким образом,

Слайд 10

Обозначим

Слайд 11

Заметим, что
При этом
Аналогично, обозначим

Слайд 12

Заметим, что

Кроме того
При этом

Слайд 13

Из (8)
в силу (9)
Тогда для этих точек выполнено условие (3)
имеем
Теорема доказана.
Следовательно

Слайд 14

Теорема 10. (Критерий выпуклости дважды дифференцируемой функции).

то это условие является

Слайд 15

Сокращая в неравенстве (11)

По доказанному выше будет выполняться

Необходимость доказана.
Достаточность.

найдется

Слайд 16

Тогда из условия (10)
Где обозначено
Теорема доказана.
следовательно, она выпукла.
Пример 10.
Определить значения

Слайд 17

По теореме 10 для ее выпуклости требуется положительность матрицы
Вычислим ее

Слайд 18

Упражнение.
Решение.

Слайд 19

Обратная связь

Что такое ThePresentation.ru?

Выпуклый анализ. Выпуклые функции.. Лекция 13 презентация

Содержание

Слайд 1ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗЛЕКЦИЯ 133. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ )

Слайд 23. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ3.5. Критерии выпуклости гладких функций

Слайд 33.5. Критерии выпуклости гладких функций. Теорема 8. (Первый критерий выпуклости дифференцируемой

Слайд 4В результате получим (1) Необходимость доказана.Достаточность. Положим Из (1)находими сложим их

Слайд 5Таким образом, и теорема доказана.

Слайд 6Теорема 9. (Второй критерий выпуклости дифференцируемой функции). необходимо и достаточно, чтобы

Слайд 7Достаточность. Таким образом следует доказать. что

Слайд 8Для всехпоследовательно вычисляем выраженияТогда в силу (4) и (5) выводимимеет место

Слайд 9Тогда в силу (4) находимТаким образом,

Слайд 10Обозначим

Слайд 11Заметим, чтоПри этомАналогично, обозначим

Слайд 12Заметим, чтоКроме того При этом

Слайд 13Из (8)в силу (9)Тогда для этих точек выполнено условие (3)имеемТеорема доказана.Следовательно

Слайд 14Теорема 10. (Критерий выпуклости дважды дифференцируемой функции). то это условие является

Слайд 15Сокращая в неравенстве (11)По доказанному выше будет выполнятьсяНеобходимость доказана. Достаточность. найдется

Слайд 16Тогда из условия (10)Где обозначеноТеорема доказана.следовательно, она выпукла.Пример 10. Определить значения

Слайд 17По теореме 10 для ее выпуклости требуется положительность матрицы Вычислим ее

Слайд 18Упражнение.Решение.

Слайд 19

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое ThePresentation.ru?

Слайд 1ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ
ЛЕКЦИЯ 13

3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ )

Слайд 2
3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ

3.5. Критерии выпуклости гладких функций

Слайд 3

3.5. Критерии выпуклости гладких функций.
Теорема 8. (Первый критерий выпуклости дифференцируемой

Слайд 4

В результате получим (1)
Необходимость доказана.
Достаточность.
Положим
Из (1)
находим
и сложим их

Слайд 5

Таким образом,
и теорема доказана.

Слайд 6

Теорема 9. (Второй критерий выпуклости дифференцируемой функции).

необходимо и достаточно, чтобы

Слайд 7Достаточность.

Таким образом следует доказать. что

Слайд 8

Для всех

последовательно вычисляем выражения

Тогда в силу (4) и (5) выводим
имеет место

Слайд 9

Тогда в силу (4)

находим
Таким образом,

Слайд 10

Обозначим

Слайд 11

Заметим, что
При этом
Аналогично, обозначим

Слайд 12

Заметим, что

Кроме того
При этом

Слайд 13

Из (8)
в силу (9)
Тогда для этих точек выполнено условие (3)
имеем
Теорема доказана.
Следовательно

Слайд 14

Теорема 10. (Критерий выпуклости дважды дифференцируемой функции).

то это условие является

Слайд 15

Сокращая в неравенстве (11)

По доказанному выше будет выполняться

Необходимость доказана.
Достаточность.

найдется

Слайд 16

Тогда из условия (10)
Где обозначено
Теорема доказана.
следовательно, она выпукла.
Пример 10.
Определить значения

Слайд 17

По теореме 10 для ее выпуклости требуется положительность матрицы
Вычислим ее

Слайд 18

Упражнение.
Решение.