Вероятность. Вычисление вероятности презентация

критического?
Какие виды отказов подразумевают значительный ущерб для окружающей среды?
Насколько глубоко следует анализировать редкий некритический отказ?

диаграммы Эйлера-Венна?
Приведите определение и пример пересекающихся множеств.
Приведите определение и пример ситуации, когда множество В является подмножеством А.

пересечение? объединение?
Перечислите операции над множествами.

разность множеств?
Что такое дополнение множества?

событие?
Что такое совместные события?
Что такое несовместные события?
Какие события называются противоположными?
Что такое полная группа событий?
Что такое группа гипотез?
В каком случае гипотезы называются равно-возможными?

1; P(U) = 1; P(V) = 0
3. Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

На основе этих аксиом строится вся теория вероятности.
Из аксиомы 3 следует: Р(А) = 1 – Р(А)

есть «до опыта»).

2. На основе опыта (апостериорные вероятности, то есть «после опыта»).

группы равновозможных гипотез (исходов), то вероятность события А равна:

Р(А) = m/n,

где m – число исходов, благоприятствующих событию А;
n – общее число всех возможных исходов.

m/n
n → ∞

где m – количество появлений события А;
n – количество испытаний при достаточно большом их числе

произошло событие В.
Такие события называются зависимыми.
Такая вероятность называется условной:
Р(А|В) - вероятность А при условии В
или
РВ(А)

Формула для вычисления условной вероятности:
Р(А|В) = Р(АВ) / Р(В)

вероятности второго.
То есть, когда:
Р(А|В) = Р(А)

Р(А2) ∙ … ∙ Р(Аn)

б) Зависимые события
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(B|A)
Р(А1А2…Аn) = Р(А1) ∙ Р(А2|A1) ∙ Р(А3|A1A2) ∙ …

Р(В) – Р(АВ)

Р(А + В + С) =
= Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(ВС) – Р(АС) + Р(АВС)

Р(А + В + С + D) =
= Р(А) + Р(В) + Р(С) + Р(D) – – Р(АВ) – Р(AС) – Р(AD) – Р(BC) – Р(BD) – Р(СD) + + Р(АВС) + Р(АВD) + Р(AСD) + Р(ВСD) – P(ABCD)

Р(В) – Р(А) ∙ Р(В|А)

А2 + … + Аn) = Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn)

Р(Н2) + … + Р(Нn) = 1

событие А может наступить лишь при условии появления одной из гипотез.
Тогда вероятность события А равна:
Р(А) = Р(Н1)∙Р(А|Н1) + Р(Н2)∙Р(А|Н2) +…+Р(Нn)∙Р(А|Нn)

+ Р(Н4)∙Р(А|Н4)

А может наступить лишь при условии появления одной из гипотез.
Проведён опыт, в результате которого появилось событие А.
Тогда вероятность того, что событие А произошло в результате определённой гипотезы Нi , равна:

вообще Нi, то есть до опыта);
Р(A|Нi) – вероятность события А при истинности гипотезы Нi.

Найти:
Р(Нi|A) – апостериорная вероятность гипотезы Нi (насколько вероятна причина Нi с учетом факта происшедшего события А, то есть после опыта);

Итак, формула Байеса позволяет переставить причину и следствие, то есть
по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано конкретной заданной причиной.

с вероятностями 0,6 и 0,4.
Если посылается сигнал 1, то с вероятностями 0,9 и 0,1 принимаются сигналы 1 и 0.
Если посылается сигнал 0, то с вероятностями 0,3 и 0,7 принимаются сигналы 1 и 0.
Какова условная вероятность того, что посылается сигнал 1 при условии, что принимается сигнал 1?

сигнал 0; Р(Н2) = 0,4
Рассматриваем зависимые события:
А|Н1 – принят сигнал 1 при условии, что послан сигнал 1; Р(А|Н1) = 0,9
А|Н2 – принят сигнал 1 при условии, что послан сигнал 0; Р(А|Н2) = 0,3
Н1|А – послан сигнал 1 при условии, что принят сигнал 1; Р(Н1|А) = ?
По формуле Байеса: