Векторы в пространстве презентация

Содержание

Содержание I. Понятие вектора в пространстве II. Коллинеарные векторы III. Компланарные векторы IV. Действия с векторами V. Разложение вектора VI. Базисные задачи Проверь себя Об авторе Помощь в управлении презентацией Выход

Слайд 1Векторы в пространстве
вход

Слайд 2Содержание
I. Понятие вектора в пространстве
II. Коллинеарные векторы
III. Компланарные векторы
IV. Действия с векторами
V. Разложение вектора
VI. Базисные задачи

Проверь

себя
Об авторе
Помощь в управлении презентацией

Выход

Слайд 3Понятие вектора в пространстве
Вектор(направленный отрезок) –
отрезок, для которого указано какой

из его концов считается началом, а какой – концом.



Длина вектора – длина отрезка AB.

А

В










M



Слайд 4Коллинеарные векторы
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной


прямой или параллельных прямых.

Среди коллинеарных различают:
Сонаправленные векторы
Противоположно направленные векторы


Слайд 5Сонаправленные векторы
Сонаправленные векторы - векторы, лежащие
по одну сторону от прямой,

проходящей через их начала.


Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором.
Равные векторы



Слайд 6Равные векторы
Равные векторы - сонаправленные векторы,
длины которых равны.
От любой точки

можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один.




Слайд 7Противоположно направленные векторы
Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны

от прямой, проходящей через их начала.

Противоположные векторы



Слайд 8Противоположные векторы
Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны.





Вектором, противоположным

нулевому,
считается нулевой вектор.





Слайд 9Признак коллинеарности



Доказательство

Слайд 10Доказательство признака коллинеарности

Слайд 11
Определение компланарных векторов
Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной

и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости.
Пример:


B

А

C

D

A1

B1

C1

D1



Слайд 12
О компланарных векторах
Любые два вектора всегда компланарны.




Три вектора, среди которых имеются

два коллинеарных, компланарны.


α


если


Слайд 13Признак компланарности
Доказательство

Задачи



Слайд 14Задачи на компланарность
Компланарны ли векторы:
а)
б)

Справка Решение
Известно, что векторы ,

и компланарны. Компланарны ли векторы:
а)
б)

Справка Решение



Слайд 15Решение

Слайд 16Решение

Слайд 17Решение

Слайд 18Доказательство признака компланарности

С
O
A1
B1

B
A

Слайд 19Свойство компланарных векторов


Слайд 20Действия с векторами
Сложение
Вычитание
Умножение вектора на число
Скалярное произведение

Слайд 21Сложение векторов

Правило треугольника
Правило параллелограмма
Правило многоугольника
Правило параллелепипеда
Свойства сложения


Слайд 22Правило треугольника
А
B
C



Слайд 23Правило треугольника
А
B
C

Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:





Слайд 24Правило параллелограмма
А
B
C


Слайд 25Свойства сложения


Слайд 26Правило многоугольника
Сумма векторов равна вектору, проведенному
из начала первого в конец последнего(при

последовательном откладывании).

B

A

C

D

E





Пример



Слайд 27Пример

C
A
B
D
A1
B1
C1
D1

Слайд 28
Правило параллелепипеда
B
А
C
D
A1
B1
C1
D1
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из

той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.



Слайд 29Свойства

B
А
C
D
A1
B1
C1
D1



Слайд 30Вычитание векторов
Вычитание
Сложение с противоположным


Слайд 31Вычитание
Разностью векторов и называется такой
вектор, сумма которого

с вектором равна
вектору .




Слайд 32Вычитание
B
A
Правило трех точек
C



Слайд 33Правило трех точек
Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных

из одной точки.


А

B

K




Слайд 34Сложение с противоположным
Разность векторов и

можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору .

А

B

O



Слайд 35Умножение вектора на число



Слайд 36Свойства
Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение любого вектора

на число нуль есть нулевой вектор.





Слайд 37Свойства



Слайд 38Скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус

угла между ними.

Справедливые утверждения
Вычисление скалярного произведения в координатах
Свойства скалярного произведения



Слайд 39Справедливые утверждения
скалярное произведение ненулевых векторов
равно нулю тогда и только

тогда, когда эти векторы перпендикулярны

скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату
его длины



Слайд 40Вычисление скалярного произведения в координатах

Доказательство


Слайд 41Доказательство формулы скалярного произведения

O
A
B

α
O
B
A
O
B
A

Слайд 42Доказательство формулы скалярного произведения


Слайд 43Свойства скалярного произведения


10.
20.
30.
40.
(переместительный закон)
(распределительный закон)
(сочетательный закон)


Слайд 44Разложение вектора
По двум неколлинеарным векторам
По трем некомпланарным векторам

Слайд 45Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Теорема.
Любой вектор можно разложить по

двум
данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство



Слайд 46Доказательство теоремы
O
A
A1
B
P

Пусть коллинеарен .
Тогда

, где y – некоторое число. Следовательно,

т.е. разложен по векторам и .



Слайд 47 не коллинеарен ни вектору , ни вектору

.
Отметим О – произвольную точку.


Доказательство теоремы




Слайд 48Доказательство теоремы
Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Допустим:
Тогда:



-

Слайд 49Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Если вектор p представлен в виде

где

x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор
разложен по векторам , и .
Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.

Теорема
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство



Слайд 50Доказательство теоремы


С
O
A
B
P1
P2
P

Слайд 51Доказательство теоремы
Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Допустим:
Тогда:

-


Слайд 52Базисные задачи
Вектор, проведенный в середину отрезка
Вектор, проведенный в точку отрезка
Вектор, соединяющий

середины двух отрезков

Вектор, проведенный в центроид треугольника

Вектор, проведенный в точку пересечения
диагоналей параллелограмма

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда


Слайд 53Вектор, проведенный в середину отрезка,
Доказательство
равен полусумме векторов, проведенных из той же

точки в его концы.



Слайд 54Доказательство
С
A
B
O

Слайд 55Вектор, проведенный в точку отрезка
С
A
B
O
m
n
Доказательство
Точка С делит отрезок АВ в отношении

т : п.



Слайд 56Доказательство
С
A
B
O
m
n

Слайд 57Вектор, соединяющий середины двух отрезков,
С
A
B
D
M
N
С
A
B
D
M
N
Доказательство
равен полусумме векторов, соединяющих их концы.


Слайд 58Доказательство
С
A
B
D
M
N

Слайд 59Вектор, проведенный в центроид треугольника,
Центроид – точка пересечения медиан треугольника.
С
O
A
B
M
Доказательство
равен одной

трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника.



Слайд 60Доказательство
С
O
A
B
M
K

Слайд 61Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,
A
B
C
D
O
M
Доказательство
равен одной четверти суммы векторов,

проведенных из этой точки в вершины параллелограмма.



Слайд 62Доказательство
A
B
C
D
O
M

Слайд 63Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,

C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
Доказательство
равен сумме векторов, лежащих на трех его

ребрах, исходящих из одной вершины.



Слайд 64Доказательство

C
A
B
D
A1
B1
C1
D1

Слайд 65Помощь в управлении презентацией
управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши
переход

от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку
завершение презентации при нажатии кнопки выход
переход к следующему слайду
возврат к содержанию
возврат к подтеме
возврат с гиперссылок






Слайд 66Проверь себя
Устные вопросы
Задача 1. Задача на доказательство
Задача 2. Разложение векторов
Задача 3.

Сложение и вычитание векторов
Задача 4. Скалярное произведение


Слайд 67Устные вопросы
Справедливо ли утверждение:
а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны?
б) любые

два коллинеарных вектора сонаправлены?
в) любые два равных вектора коллинеарны?
г) любые два сонаправленных вектора равны?
д)
е) существуют векторы , и такие, что
и не коллинеарны, и не коллинеарны, а
и коллинеарны?

Ответы



Слайд 68Ответы
а) ДА
б) НЕТ (могут быть и противоположно направленными)
в) ДА
г) НЕТ (могут

иметь разную длину)
д) ДА
е) ДА


Слайд 69Задача 1. Задача на доказательство

B
А
C
D
A1
B1
C1
D1


M1
M2
Решение


Слайд 70Решение


B
А
C
D
A1
B1
C1
D1


M1
M2

Слайд 71Задача 2. Разложение векторов
Разложите вектор по ,

и :






а)
б)
в)
г)
Решение

A

B

C

D

N



Слайд 72Решение
а)
б)
в)
г)

Слайд 73Задача 3. Сложение и вычитание
Упростите выражения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)

Решение


Слайд 74Решение
а)
б)
в)
г)
д)


е)

Слайд 75Задача 4. Скалярное произведение
Вычислить скалярное произведение векторов:

C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
Решение



Слайд 76Задача 4. Скалярное произведение

C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
O1
Вычислить скалярное произведение векторов:

Решение


Слайд 77Решение

Слайд 78Решение


Слайд 79Решение

C
A
B
D
A1
B1
C1
D1
O1


Похожие презентации

Экономико-математическое моделирование 297
reshenie uravneniy 269
Алгебра высказываний. Решение логических задач 584
Введение в асимптотические методы. Лекция 4. Интегралы: нелокальные вклады 402
Основные типы задач на дроби. 5 класс 959
Побудова перерізів многогранників. Метод слідів. Метод трьох площин 545

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика