Векторы на плоскости и в пространстве. Основные понятия презентация

Содержание

1. Векторы на плоскости и в пространстве. Основные понятия
2. Понятие вектора в пространстве Вектор(направленный отрезок) –
3. Нулевым вектором называется вектор, начало и
4. Коллинеарные векторы Среди коллинеарных различают: Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы
5. Равные векторы Равные векторы - сонаправленные векторы,
6. Противоположные векторы Противоположные векторы – противоположно направленные
7. Признак коллинеарности
8. Действия с векторами Сложение Вычитание Умножение вектора на число
9. Сложение векторов Правило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Правило параллелепипеда
10. Правило треугольника А B C
11. Правило треугольника А B C Для
12. Правило параллелограмма А B C
13. Правило многоугольника Сумма векторов равна вектору, проведенному
14. Пример C A B D A1 B1 C1 D1
15. Правило параллелепипеда B А C D
16. Свойства B А C D A1 B1 C1 D1
17. Вычитание Разностью векторов и
18. Вычитание B A Правило трех точек C
19. Умножение вектора на число
20. Свойства
21. Определение компланарных векторов Компланарные векторы –
22. О компланарных векторах Любые два вектора
23. Признак компланарности
24. Разложение вектора По двум неколлинеарным векторам По трем некомпланарным векторам
25. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Теорема.
26. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам Если
27. Доказательство теоремы С O A B P1 P2 P
28. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух
29. Следствие 1. Косинус угла между векторами
30. Базисные задачи
31. Вектор, проведенный в середину отрезка, Доказательство равен
32. Доказательство С A B O
33. Вектор, соединяющий середины двух отрезков, С A
34. Доказательство С A B D M N
35. Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,
36. Доказательство A B C D O M
37. Задача 1. Разложение векторов Разложите вектор по
38. Решение а) б) в) г)
39. Задача 2. Сложение и вычитание Упростите выражения: а) б) в) г) д) е) Решение
40. Решение а) б) в) г) д) е)

Понятие вектора в пространстве Вектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом. Длина вектора

Главная
Математика
Векторы на плоскости и в пространстве. Основные понятия

Слайд 1Векторы на плоскости и в пространстве. Основные понятия.

Слайд 2Понятие вектора в пространстве
Вектор(направленный отрезок) –
отрезок, для которого указано какой

из его концов считается началом, а какой – концом.

Длина вектора – длина отрезка AB.

Слайд 3
Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают.

Единичным вектором называется

вектор, длина которого равна единице.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Слайд 4Коллинеарные векторы
Среди коллинеарных различают:
Сонаправленные векторы
Противоположно направленные векторы

Слайд 5Равные векторы
Равные векторы - сонаправленные векторы,
длины которых равны.
От любой точки

можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один.

Слайд 6Противоположные векторы
Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны.

Вектором, противоположным

нулевому,
считается нулевой вектор.

Слайд 7Признак коллинеарности

Слайд 8Действия с векторами
Сложение
Вычитание
Умножение вектора на число

Слайд 9Сложение векторов

Правило треугольника
Правило параллелограмма
Правило многоугольника
Правило параллелепипеда

Слайд 10Правило треугольника
А
B
C

Слайд 11Правило треугольника
А
B
C

Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:

Слайд 12Правило параллелограмма
А
B
C

Слайд 13Правило многоугольника
Сумма векторов равна вектору, проведенному
из начала первого в конец последнего(при

последовательном откладывании).

Пример

Слайд 14Пример

C
A
B
D
A1
B1
C1
D1

Слайд 15
Правило параллелепипеда
B
А
C
D
A1
B1
C1
D1
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из

той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.

Слайд 16Свойства

B
А
C
D
A1
B1
C1
D1

Слайд 17Вычитание
Разностью векторов и называется такой
вектор, сумма которого

с вектором равна
вектору .

Слайд 18Вычитание
B
A
Правило трех точек
C

Слайд 19Умножение вектора на число

Слайд 20Свойства

Слайд 21
Определение компланарных векторов
Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной

и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости.
Пример:

Слайд 22
О компланарных векторах
Любые два вектора всегда компланарны.

Три вектора, среди которых имеются

два коллинеарных, компланарны.

если

Слайд 23Признак компланарности

Слайд 24Разложение вектора
По двум неколлинеарным векторам
По трем некомпланарным векторам

Слайд 25Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Теорема.
Любой вектор можно разложить по

двум
данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Слайд 26Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Если вектор p представлен в виде

где

x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор
разложен по векторам , и .
Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.

Теорема
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Слайд 27Доказательство теоремы

С
O
A
B
P1
P2
P

Слайд 28Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число

Замечание. Если два вектора

являются перпендикулярными, то их скалярное произведение равно нулю, и наоборот.

Теорема. Скалярное произведение двух векторов

вычисляется по формуле

Слайд 29Следствие 1. Косинус угла между векторами

вычисляется по формуле

Следствие 2. Необходимое и

достаточное условие перпендикулярности двух векторов выражается равенством

Слайд 30Базисные задачи

Слайд 31Вектор, проведенный в середину отрезка,
Доказательство
равен полусумме векторов, проведенных из той же

точки в его концы.

Слайд 32Доказательство
С
A
B
O

Слайд 33Вектор, соединяющий середины двух отрезков,
С
A
B
D
M
N
С
A
B
D
M
N
Доказательство
равен полусумме векторов, соединяющих их концы.

Слайд 34Доказательство
С
A
B
D
M
N

Слайд 35Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,
A
B
C
D
O
M
Доказательство
равен одной четверти суммы векторов,

проведенных из этой точки в вершины параллелограмма.

Слайд 36Доказательство
A
B
C
D
O
M

Слайд 37Задача 1. Разложение векторов
Разложите вектор по ,

и :

а)
б)
в)
г)
Решение

Слайд 38Решение
а)
б)
в)
г)

Слайд 39Задача 2. Сложение и вычитание
Упростите выражения:
а)
б)
в)
г)
д)
е)

Решение

Слайд 40Решение
а)
б)
в)
г)
д)

е)

Скачать презентацию

Векторы на плоскости и в пространстве. Основные понятия презентация

Содержание

Слайд 1Векторы на плоскости и в пространстве. Основные понятия.

Слайд 2Понятие вектора в пространствеВектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой

Слайд 3Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают.Единичным вектором называется

Слайд 4Коллинеарные векторыСреди коллинеарных различают: Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы

Слайд 5Равные векторыРавные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны.От любой точки

Слайд 6Противоположные векторыПротивоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны.Вектором, противоположным

Слайд 7Признак коллинеарности

Слайд 8Действия с векторамиСложениеВычитаниеУмножение вектора на число

Слайд 9Сложение векторовПравило треугольникаПравило параллелограммаПравило многоугольникаПравило параллелепипеда

Слайд 10Правило треугольникаАBC

Слайд 11Правило треугольникаАBCДля любых трех точек А, В и С справедливо равенство:

Слайд 12Правило параллелограммаАBC

Слайд 13Правило многоугольникаСумма векторов равна вектору, проведенномуиз начала первого в конец последнего(при

Слайд 14ПримерCABDA1B1C1D1

Слайд 15Правило параллелепипедаBАCDA1B1C1D1Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из

Слайд 16СвойстваBАCDA1B1C1D1

Слайд 17ВычитаниеРазностью векторов и называется такойвектор, сумма которого

Слайд 18ВычитаниеBAПравило трех точек C

Слайд 19Умножение вектора на число

Слайд 20Свойства

Слайд 21Определение компланарных векторовКомпланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной

Слайд 22О компланарных векторахЛюбые два вектора всегда компланарны.Три вектора, среди которых имеются

Слайд 23Признак компланарности

Слайд 24Разложение вектораПо двум неколлинеарным векторамПо трем некомпланарным векторам

Слайд 25Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамТеорема. Любой вектор можно разложить по

Слайд 26Разложение вектора по трем некомпланарным векторамЕсли вектор p представлен в видегде

Слайд 27Доказательство теоремыСOABP1P2P

Слайд 28Скалярное произведение векторовСкалярным произведением двух векторов называется числоЗамечание. Если два вектора

Слайд 29Следствие 1. Косинус угла между векторами вычисляется по формулеСледствие 2. Необходимое и