Презентация на тему Степенные ряды. Радиус сходимости ряда. Разложение функций в ряд Тейлора, ряд Маклорена. (Лекция 14)

Презентация на тему Степенные ряды. Радиус сходимости ряда. Разложение функций в ряд Тейлора, ряд Маклорена. (Лекция 14), предмет презентации: Математика. Этот материал содержит 35 слайдов. Красочные слайды и илюстрации помогут Вам заинтересовать свою аудиторию. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций ThePresentation.ru в закладки!

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Текст слайда:

Лекция 14

Степенные ряды. Радиус сходимости ряда. Разложение функций в ряд Тейлора, ряд Маклорена. Применение степенных рядов для приближенного вычисления значений функций и интегралов.


Слайд 2
Текст слайда:

Определение
Степенным рядом называется функциональный ряд
элементы которого произведения
постоянных на степенные функции с целыми показателями
степеней от разности
- коэффициенты степенного ряда (обычно действительные функции).
В частности, если ,то мы будем иметь степенной ряд, расположенный по
степеням x

В дальнейшем рассматриваем именно такие ряды (замена )
Для удобства n-м элементом степенного ряда называют элемент
(хотя он стоит на n+1 месте). Свободный элемент считается нулевым
элементом ряда.
Рассмотрим ряд
(*)
и докажем очень важную теорему, на которой будет основано изучение таких
рядов.







Слайд 3
Текст слайда:

Теорема Абеля
Если степенной ряд (*) сходится в точке , то он сходится и притом
абсолютно, в интервале , т. е. при всяком x , удовлетворяющем
условию .
Доказательство:
Заметим, что вследствие сходимости ряда его общий
элемент . Поэтому все элементы этого ряда ограничены в
совокупности, т.е. существует М>0, такое, что при всяком n .

Запишем ряд (*) так и составим ряд
их абсолютных величин элементов этого ряда:


В силу установленного неравенства каждый элемент здесь меньше
соответствующего элемента геометрической прогрессии со знаменателем :









Слайд 4
Текст слайда:

Если , то и прогрессия сходится, поэтому сходится ряд из
абсолютных величин, а значит, абсолютно сходится сам ряд (*). Теорема
доказана.
Несмотря на то, что нельзя сразу воспользоваться признаком
сравнения, поскольку в условиях теоремы не сказано, что ряд в самой точке
сходится абсолютно.
Следствие
Если степенной ряд (*) расходится при , то он расходится и при всяком
х, большем по абсолютной величине , то есть при
Область сходимости степенного ряда
Здесь возможны три случая:
Область сходимости состоит только из одной точки х=0, то есть ряд
расходится для всех значений х, кроме х=0. Пример
Если х фиксировано и х не равно 0,то, начиная с достаточно большого n, будет
, откуда вытекает неравенство , означающее, что общий
элемент ряда не стремится к нулю.




Слайд 5
Текст слайда:

2) Область сходимости состоит из всех точек оси ОХ, то есть ряд сходится
при всех значениях х. Пример
Для любого х, начиная с достаточно большого n, будет , так как
и т.д.

Начиная с номера n, элементы ряда по абсолютной величине будут меньше
элементов сходящейся геометрической прогрессии. Следовательно, при
любом х ряд сходится.
3) Область сходимости состоит более чем из одной точки оси ОХ, причем
есть точки оси, не принадлежащие области сходимости.
Пример
Это геометрическая прогрессия со знаменателем х. Ряд сходится при |x|<1 и
расходится при .
В этом случае на числовой оси наряду с точками сходимости ряда имеются и
точки его расходимости.




Слайд 6
Текст слайда:

В этом случае на числовой оси наряду с точками сходимости ряда имеются и
точки его расходимости.
Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает, что все точки сходимости
расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек
расходимости. Точки сходимости будут целиком заполнять некоторый
интервал с центром в начале координат.
Таким образом
Для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости , так и точки
расходимости, существует такое положительное число R, что для всех х по
модулю меньшим R ( ), ряд абсолютно сходится, а для всех |x|>R ряд
расходится. При x=R и x=-R различные варианты:
А) ряд сходится в обеих точках.
Б) ряд сходится в одной из точек.
В) ряд расходится в обеих точках.
Определение
Радиусом сходимости степенного ряда (*) называется такое число R, что для
любых х, |x|R, расходится.
Интервал (-R,R) называется интервалом сходимости.


Слайд 7
Текст слайда:

Считаем, что если ряд расходится для любого х, кроме х=0, R=0.
Если ряд сходится при всех х, то считаем или .
Для ряда центр интервала сходимости в
точке ( а не х=0) и интервал сходимости .
Способ отыскания радиуса сходимости степенного ряда
Отметим, что для нахождения радиуса сходимости можно исследовать ряд,
составленный из абсолютных величин элементов исходного ряда, то есть
(**) так как интервалы сходимости ряда (*) и ряда
(**) совпадают. К ряду (**) применим признак Даламбера. будет
содержать |x| или степень |x|.
Для тех значений х, при которых получаемый предел меньше 1, ряд сходится, а
для тех, при которых x>1, ряд расходится. Отсюда следует, что значения |x|,
при которых этот предел равен 1, и будет являться радиусом сходимости ряда.
Может случиться, что найденный предел при всех х будет равен 0. Это
означает, что ряд (*) сходится при всех х и .
Наоборот, если для любых х кроме х=0 предел равен бесконечности, то ряд
будет везде расходиться, кроме х=0, то есть R=0.







Слайд 8
Текст слайда:

Примеры
Найти радиус сходимости ряда
, то есть для всякого х ряд сходится .
2) Найти радиус сходимости ряда


Если |x|<1 - ряд сходится
Если |x|>1 – ряд расходится
При х=1 получаем гармонический ряд, который расходится.
При х=-1 ряд сходится условно.
3) Найти радиус сходимости ряда

, то есть R=1

При |x|<1 – ряд сходится
При |x|>1 – ряд расходится
При |x|=1 – ряд сходится абсолютно.


Слайд 9
Текст слайда:

4) Найти радиус сходимости ряда



Если ряд сходится, то есть при -2сходимости (-1,3) с центром х=1.
Свойства степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд (*), имеющий радиус сходимости R (конечный или
бесконечный).
Сумма ряда S(x) – есть функция, определенная внутри интервала сходимости,
а также в том из концов интервала, где ряд сходится. Предварительно
рассмотрим леммы.
Лемма 1
Степенной ряд правильно сходится в любом отрезке [-b,b], целиком лежащем
в интервале сходимости (-R,R)
Доказательство




Слайд 10
Текст слайда:

Доказательство
Выберем точку , так чтобы было
__________(____[______________]______)_______ X
-R -b b R
Она лежит в интервале сходимости и по теореме Абеля числовой ряд
сходится. Для всех точек имеем , и
следовательно . Последнее неравенство и означает, что ряд
(*) правильно сходится в отрезке [-b,b].
Лемма 2
Степенной ряд, составленный из производных элементов ряда (*) имеет тот
же радиус сходимости, что и данный ряд.
Доказательство
Ряд из производных имеет вид (**)
Предположим, что предел отношения существует, и применим для
отыскания радиусов сходимости признак Даламбера:
для (*)


Слайд 11
Текст слайда:


Равенство пределов отношения последующего элемента к предыдущему для
обоих рядов, показывает, что их радиусы сходимости равны.
Следует отметить, что на конце интервала сходимости ряд (**) может
расходиться и тогда, когда ряд (*) сходится.
Например
Ряд при ряд
сходится.
Ряд производных
при х=1 – гармонический ряд, который расходится.
Если теперь составить ряд из производных ряда (**), то он опять будет иметь
тот же радиус сходимости и т.д. Таким образом, все степенные ряды,
получающиеся последовательным дифференцированием ряда (*) имеют один
и тот же радиус сходимости и по лемме 1 правильно сходятся в любом
интервале, целиком принадлежащем интервалу сходимости.



Слайд 12
Текст слайда:

Свойство 1
Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости
ряда:
Заметим, что в том конце интервала, где степенной ряд сходится, его сумма
S(x) остается односторонне непрерывной (изнутри интервала сходимости).
Замечание
Следует учитывать одно обстоятельство, которое может иногда привести к
недоразумению.
Возьмем геометрическую прогрессию, сходящуюся при |x|<1.
; определена всюду,
кроме точки x=1.
Тем не менее, следует твердо помнить, что S(x) является суммой ряда только
при |x|<1; При |x|>1 ряд расходится и о его сумме говорить нельзя.
Свойство 2
Степенной ряд можно поэлементно интегрировать в интервале сходимости


Получившийся степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и данный.





Слайд 13
Текст слайда:

Свойство 3
Степенной ряд можно поэлементно дифференцировать в интервале
Сходимости
Далее и так далее.
Итак, степенной ряд в интервале его сходимости можно поэлементно
дифференцировать любое число раз, при этом радиусы сходимости
получающихся рядов остаются прежними.
Разложение функции в степенные ряды
Известно, что сумма степенного ряда в интервале сходимости этого ряда
является непрерывной и бесконечное число раз дифференцируемой.
Обратный вопрос?
Когда можно утверждать, что заданная функция f(x) является суммой
некоторого степенного ряда?
Из свойств степенных рядов следует, что эта функция должна быть
бесконечное число раз дифференцируема (но это условие не достаточное).
Остается вопрос установить, какие функции и в каких интервалах можно
представить в виде суммы степенных рядов.



Слайд 14
Текст слайда:

Важность такого разложения очевидна, так как, получаем возможность
приближенно заменить функцию суммой нескольких первых элементов
степенного ряда, то есть многочленом. Вычисление значений многочленов –
простейшие арифметические операции. Важно, что можно оценить точность
получаемых приближенных значений.
Замена функции таким простым выражением, как многочлен, оказывается
очень удобной в различных вопросах мат. анализа: при вычислении
интегралов, решении дифференциальных уравнений и т.д.
Итак, предположим, что функция f(x) бесконечное число раз
дифференцируема в окрестности некоторой точки . Допустим, что ее
можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в каком-то
интервале, содержащем точку .
, где - пока
неопределенные коэффициенты. Покажем, как пользуясь свойствами
степенных рядов можно найти эти коэффициенты по известным значениям
функции f(x) и ее производных в точке .


Слайд 15
Текст слайда:

Положим (*) . Получаем . Продифференцируем степенной
ряд и снова положим .
Получим .
Последующее дифференцирование дает
При , то есть
Таким образом, находятся последовательно все коэффициенты разложения
(*). Подставляя найденные выражения в равенство (*) получим ряд
Такой ряд
называется рядом Тейлора функции f(x).
Определение
Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки называется степенной ряд
(**) относительно разности , коэффициенты которого выражаются
через функцию f(x) и ее производные в точке . Эти коэффициенты
называются коэффициентами Тейлора функции f(x) в точке .
Установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по
степеням разности , то этот ряд обязательно является рядом Тейлора
этой функции.





Слайд 16
Текст слайда:

Замечание
Все рассуждения сделаны в предположении, что функция f(x) может быть
разложена в степенной ряд. Если этого не предполагать, а просто считать
функцию f(x) бесконечное число раз дифференцируемой и составить для нее
ряд Тейлора, то ниоткуда не следует, что этот ряд сходится при значениях х,
отличных от .
Условие разложимости функций в ряд Тейлора.
Перейдем теперь к выяснению условий, при которых можно утверждать, что
ряд Тейлора, составленный для функции f(x)

действительно сходится в некотором интервале и что его сумма в точности
равна f(x).
Обозначения:
многочлен n-ой степени, представляющий n-ую частичную сумму ряда
Тейлора





Слайд 17
Текст слайда:

Сходимость ряда Тейлора к функции f(x) в точке х означает, что
или, что то же самое,
Величина дает при этом как раз ту ошибку, которую мы делаем, заменяя
функцию f(x) многочленом .
Для оценки величины остаточного члена, служит теорема, которую докажем
позднее.
Частный случай
Предположим, что функция f(x) сама есть многочлен n-ой степени. Тогда при
последовательном дифференцировании функции f(x) будем каждый раз
получать многочлен степени на единицу меньше. После n-го
дифференцирования получаем постоянную величину и все последующие
производные равны 0. Таким образом, от ряда Тейлора для многочлена f(x)
останутся только первые n+1 слагаемых, то есть опять-таки многочлен n-ой
степени. Полученное тождество


называется формулой Тейлора для многочлена.


Слайд 18
Текст слайда:

Пример
Разложить многочлен по степеням x-1.
Решение:
Здесь ;
Таким образом
Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора.
Пусть f(x) – функция, относительно которой хотим выяснить, допускает она
разложение в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки или нет.
Запишем ее в следующем виде
, где
- остаточный член ряда Тейлора.
Рассмотрим теорему относительно структуры , которая в дальнейшем
позволит устанавливать, стремится ли к нулю при неограниченном
возрастании n или нет, то есть можно ли представить функцию в виде ряда
Тейлора или нет.
Теорема



Слайд 19
Текст слайда:

Теорема
Если функция f(x) во всех точках некоторого интервала, содержащего точку
, имеет (n+1) производную , то остаточный член для любой
точки этого интервала имеет вид , где заключено
между x и
В соответствии с такой записью формула (*) имеет вид


В таком виде эту формулу называют формулой Тейлора n-го порядка для
функции f(x) в точке . Последний член в этой формуле отличается от
общего члена суммы только тем, что значение соответствующей производной
берется не в точке , а в некоторой точке , лежащей между точками и х.
Некоторые частные случаи этой формулы:
Пусть n=0, тогда . Это формула Лагранжа.
Пусть n=1, тогда . Если в этой
формуле отбросить остаточный член, то получим приближенное значение
функции, основанное на применении дифференциала.




Слайд 20
Текст слайда:

При этом f(x) заменяется линейной функцией.
Само по себе выражение для остаточного члена не дает возможности
вычислять его величину, так как неизвестна точка , в которой берется (n+1)
производная.
Поэтому в дальнейшем ограничимся оценкой величины .
Это делается на основании следующего замечания:
Пусть в интервале, в котором справедлива формула Тейлора, по
абсолютной величине не превосходит числа :
, тогда для любого х из этого интервала остаточный
член удовлетворяет неравенству (***)
Действительно, согласно доказанной теоремы


Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена
Разложение заданной функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки
распадается на два этапа:



Слайд 21
Текст слайда:

Сначала вычисляются значения функции f(x) и ее производных в точке
и составляется ряд Тейлора для функции f(x). При этом предполагается, что
функция f(x) бесконечное число раз дифференцируема.
2) Находится интервал, в котором составленный ряд Тейлора сходится к
функции f(x), то есть устанавливается для каких значений х остаточный член
ряда будет стремиться к нулю при . При этом можно
воспользоваться следующей теоремой.
Теорема
Если в некотором интервале, окружающем точку , абсолютные величины
всех производных функции f(x) ограничены одним и тем же числом, то
функция в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.
Доказательство
Нужно установить, что для всех точек интервала при
По условию теоремы во всех точках интервала , где M –
постоянная, не зависящая от n. Тогда в силу неравенства (***)
Но отношение при , то есть радиус сходимости


Слайд 22
Текст слайда:

Следовательно, для всех точек х, рассматриваемого
интервала, что и требовалось доказать.
Особенно часто используется разложение функции в ряд по степеням х.
Полагая получаем ряд
Такой ряд называется рядом Маклорена.
Разложение в ряды элементарных функций
Показательная функция
Разложим эту функцию в ряд Маклорена. Все производные функции равны
и обращаются в 1 при х=0. По формуле Тейлора
Рассмотрим интервал [-N,N], где N – любое фиксированное число. Для всех
значений х из этого интервала .
Следовательно, все производные в этом интервале ограничены одним и тем
же числом и по доказанной теореме .
По предположению N – любое число, следовательно, функция разлагается в
ряд Маклорена при всех значениях х, то есть на всей числовой оси.
Итак





Слайд 23
Текст слайда:

В частности при х=1 находим ряд для числа е
2) Тригонометрические функции sinx и cosx
Разложим в ряд Маклорена функцию sinx. Для этого последовательно
находим значения ее производных в точке х=0




и т. д.
Значения производных повторяются и образуют периодическую
последовательность 0,1,0,-1,0,1,0,-1,...
Любая производная функции sinx (то есть следовательно ряд
функции sinx сходится к ней на всей числовой оси.
Итак

Аналогично для функции cosx



Слайд 24
Текст слайда:

3) Биноминальный ряд
Рассмотрим функцию , где m – любое число. Разложим
функцию в ряд Маклорена.



поэтому

Следовательно, ряд запишется в виде:
согласно признака
Даламбера ряд сходится, если |x|<1 и расходится, если |x}>1.
Исследуем , ограничившись случаем, когда 0для всех n>m-1 имеем и поэтому


Воспользуемся неравенством (***)


Слайд 25
Текст слайда:

Правая часть неравенства есть абсолютная величина (n+1)-го члена
степенного ряда, сходящегося при |x|<1. Следовательно, .
Соответствующее доказательство для интервала (-1,0) более сложное и оно не
приводится.
Таким образом, биноминальный ряд представляет функцию
в интервале (-1,1)
Если m – целое положительное число, то ряд справа содержит всего (m+1)
слагаемых и превращается в форму бинома Ньютона. Заметим, что ряд
сходится к функции во всем замкнутом интервале [-1,1].
Приведем биноминальные ряды, соответствующие значениям m=-1, m=1/2,
m=-1/2.
(это геометрическая прогрессия)






Слайд 26
Текст слайда:

Замечание
Разложение отдельных функций в ряды могут быть получены из уже
известных разложений с помощью свойств степенных рядов.
4) Функции ln(1+x) и arctgx
Для разложения в ряд Маклорена функции f(x)=ln(1+x) воспользуемся
формулой для суммы геометрической прогрессии
Применим теорему об интегрировании степенных рядов и проинтегрируем
ряд в пределах от 0 до х. Поскольку то интегрируя

поэлементно ряд, получим
Совершенно аналогично получается разложение функции arctg x в ряд
Маклорена. Для этого, заменим в формуле для суммы элементов
геометрической прогрессии x на .
Получим
Проинтегрируем ряд в пределах от 0 до х. Считая, что |x|<1 получаем



Слайд 27
Текст слайда:

Замечание
Разложения (1)-(6) могут быть использованы для разложения в ряды других
функций.
Примеры:
Разложим в ряд Маклорена гиперболические функции chx и shx
Для ряда (1) заменим на получим

Далее, по правилу сложения и вычитания рядов находим искомое разложение



2) Разложим в ряд Маклорена функцию
Возьмем разложение функции и вместо , подставим
получим

3) Разложим в ряд Маклорена функцию


Слайд 28
Текст слайда:

Воспользуемся разложением биноминального ряда, где m=-1/2 и, для
заменим x на , получим
(*) Умножим обе части на


4) Разложим в ряд Маклорена функцию .
Так как , то разложение arcsinx получается
интегрированием ряда (*)


5)Разложим в ряд Маклорена функцию
Так как ряды для и sinx сходятся абсолютно, то, перемножая их по
правилу, рассмотренному ранее получим искомое разложение
(первые коэффициенты, так как закон

подметить трудно).





Слайд 29
Текст слайда:

Некоторые применения рядов Тейлора
Приближенное вычисление значений функции
Допустим, что нам известны значения самой функции f(x) и ее
последовательных производных в некоторой точке и f(x) в окрестности
этой точки разлагается в ряд Тейлора. Тогда точное значение функции f(x) в
любой точке этой окрестности может быть вычислено по ряду Тейлора,
приближенное ее значение по частичной сумме этого ряда.
Возникающую при этом ошибку можно оценивать либо опираясь на теорему
об оценке остаточного члена, либо непосредственно оценивая остаток ряда.
Если, например, получающийся числовой ряд знакочередующийся, то это
делается при помощи теоремы Лейбница; в случае знакоположительного ряда
стараются подобрать другой ряд (обычно геометрическую прогрессию),
элементы
которого больше элементов остатка и, сумму которых мы можем найти.
На практике оценка остатка ряда оказывается более удобной, так как оценка
остаточного члена предполагает знание производной нужного нам порядка во
всем рассматриваемом интервале. Часто можно получить разложение
функций в ряды, вообще не отыскивая производных, а комбинируя известные
нам ряды.



Слайд 30
Текст слайда:

Рассмотрим примеры
Имеем
Производя вычисления по этой формуле в интервале [0,M], где М – любое
число и учитывая, что по теореме об оценке остаточного
члена получим
Оценка неудобна тем, что сюда входит величина . Кроме того, она может
оказаться слишком завышенной, так как установлена для всего интервала.
При М=1 получим
Подсчитаем, например, сколько нужно взять элементов ряда, чтобы получить
число е с точностью до 0,00001.
Здесь x=1 и должно быть Неравенство справедливо при n=8
Чтобы получить число е с этой точностью надо в сумме

все слагаемые брать с точностью 0,00001 во
избежание накопления ошибок при арифметических действиях. В результате
нашли число е с шестью верными знаками.










Слайд 31
Текст слайда:

Покажем теперь, как можно оценивать ошибку пользуясь всем рядом
для .




Итак мы получили оценку ошибки , то есть почти в три раза более
точную, чем найденную выше .
2) Вычислить значение функций sinx и cosx при помощи их разложений в
ряды.
Приближенные формулы отличаются здесь очень высокой точностью, а
ошибка легко оценивается с помощью теоремы Лейбница.
Положим в разложении функции sinx последовательно n=1,2,3. Считая
х>0 получим
;




Слайд 32
Текст слайда:

(1) и (3) дают значение функции с избытком, а (2) - с недостатком.
Замечание
Для получения значений sinx с точностью 0,00001 следует пользоваться
(1) в интервале (0(2) в интервале (0,08(3) в интервале (0,4На следующем рисунке представлены графики функций

Аналогично получаем приближенные формулы для cosx
;


(1) и (3) дают значение функции с избытком, а (2) - с недостатком.
На следующем рисунке представлены графики функций


 


Слайд 33
Текст слайда:

1. Интегрирование функций
Допустим, что нужно найти интеграл , причем известно
разложение функции f(x) в ряд Тейлора, а пределы интегрирования лежат
внутри интервала сходимости ряда. Тогда можно интегрировать ряд
поэлементно. В результате получаем ряд Тейлора для функции F(x), имеющей
тот же радиус сходимости, что и ряд для f(x).
Если выражается через элементарную функцию F(x), то тем самым
находим ее разложение в ряд Тейлора.
Если же в элементарных функциях не выражается, то найденный
ряд может служить выражением неэлементарной функции F(x) через самые
простые элементарные функции – степенные, но уже бесконечным
выражением.
Замечание Зная оценку остаточного члена ряда для f(x) можно на основании
теоремы об оценке интеграла можно оценить и остаточный член ряда для
интеграла F(x).
Примеры:



Слайд 34
Текст слайда:

Примеры:
Пусть дан интеграл
Раскладывая sinx в ряд и деля на x, получаем
интервал сходимости .

Интегрируем
Этот ряд не сходится ни к одной элементарной функции; он является
аналитическим заданием новой функции, посредством бесконечного числа
операций.
Функция (интегральный синус) встречается в теоретической
физике. С помощью приведенного ряда составлены подробные таблицы.
2) При изучении теории вероятностей важную роль играет функция
функция Лапласа или интеграл вероятностей. Этот
интеграл не выражается в элементарных функциях.
Раскладываем функцию , заменяя x на . Получаем разложение


Слайд 35
Текст слайда:

тогда для функции
Интеграл сходится быстро при
|x|<1.
3) Вычислить интеграл В общем случае неопределенный интеграл
выражается в элементарных функциях. Однако это выражение очень сложно
и неудобно для вычислений.


В то же время, разложив подынтегральную функцию в ряд
получаем

Если ограничиться двумя первыми элементами ряда
(при этом ошибка не превосходит ,
то


Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика