Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности. Основные теоремы. (Лекция 2) презентация

последовательность имеет только один предел.
Доказательство
Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности . Используя формулу (2) можно записать и , где , - бесконечно малые последовательности. Вычитая, получим Так как, все элементы последовательности имеют одно и тоже значение b-a, то по теореме 5 (см. ранее) b-a=0 и b=a. Теорема доказана.
Теорема 2
Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство
Пусть последовательность сходящаяся и а – ее предел. Имеет место формула
, - бесконечно малая последовательность. Так как бесконечно малая последовательность - ограничена (теорема 3), то справедливо
. Поэтому для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности .
Замечание
Ограниченная последовательность может быть и не сходящейся.
Например
1,-1,1,-1,… - ограничена, но не сходящаяся. Если бы последовательность сходилась, то
и - бесконечно малые последовательности и
была бы бесконечно малой последовательностью, но

,

есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей и
.
Доказательство
Пусть и . Тогда и , соответственно . Таким образом, последовательность
- бесконечно малая, и поэтому последовательность сходится и имеет своим пределом a+b.
Теорема 4
Разность сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей
и . Доказательство аналогичное.
Теорема 5
Произведение сходящихся последовательностей и есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .
Доказательство

Пусть

и

. Тогда

и

, соответственно

. Но в силу теоремы 4 (для бесконечно

малых последовательностей, следствия из него и теоремы 1)

сходится и ее предел - ab.

- бесконечно малая последовательность. То есть

Лемма
Если последовательность

сходится, то есть

, то, начиная с

ограниченной.
Доказательство
Пусть . Так как . Пусть N – номер, соответствующий этому ,

начиная с которого выполняется неравенство . Из этого

неравенства следует, что при выполняется неравенство . Действительно



Поэтому, при имеем . Следовательно, начиная с этого номера N,

можно рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.
Теорема 6
Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности отличен от 0, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .
Доказательство
Из леммы следует, что, начиная с некоторого номера N элементы не равны 0 и
последовательность - ограничена. Начиная с этого номера, рассмотрим

последовательность .

Пусть

и

.

последовательность - бесконечно малая, то

последовательность - бесконечно малая, то есть

. Теорема доказана.

Предельный переход в неравенствах

Неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.
Имеют место теоремы.
Теорема 1
Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел а этой последовательности
удовлетворяет неравенству

Докажем, что

- бесконечно малая последовательность. Так как

и

, то

и , начиная с некоторого номера удовлетворяют неравенству Покажем, что . Предположим обратное, то есть aСледствие 1
Если элементы сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то .
Следствие 2
Если элементы сходящейся последовательности находятся на сегменте [a,b], то и

Теорема 2
Пусть и . Пусть также начиная с некоторого номера элементы последовательности удовлетворяют неравенству , тогда


Монотонные последовательности
Определение
Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если для всех номеров n справедливо неравенство
Общее название – монотонные последовательности.
Если для всех n - возрастающая.
Если для всех n - убывающая.
Общее название – строго монотонные.
Монотонные последовательности ограничены либо сверху, либо снизу.

сторон, если она ограничена снизу.
Неубывающая последовательность ограничена с двух сторон, если она ограничена сверху
Примеры.

1. невозрастающая, ограничена сверху 1, снизу – 0.

2. неубывающая, ограничена снизу - 1.

3. возрастающая, ограничена снизу , сверху – 1.


Признак сходимости монотонной последовательности.
Теорема
Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится (основная теорема).
Другая формулировка
Если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, то она сходится.

Доказательство
Последовательность

- ограничена, то

и

- точные верхняя и нижняя грани.

последовательность невозрастающая, то - ее предел;
Ограничимся случаем неубывающей последовательности.
Поскольку - верхняя грань множества элементов последовательности, то
, такой, что и . Сопоставляя неравенства, получаем . Так как - неубывающая последовательность, то при
справедливо неравенство . Выше было
неравенство , тогда или . Таким образом, - предел .
Замечание 1
Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие ее сходимости.
Замечание 2
Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например - сходящаяся, так как . Но она не монотонная.

Свойства числовых последовательностей и числовых множеств

Подпоследовательности числовых последовательностей
Пусть - некоторая числовая последовательность. Рассмотрим последовательность . Выбираем из элементы с
номерами , то есть - это подпоследовательность
последовательности .
Свойство 1
Если для , то любая подпоследовательность этой
последовательности имеет своим пределом число а.

сходятся, то пределы этих подпоследовательностей равны одному и тому же числу а; в частности, к этому же числу сходится и последовательность .
Свойство 2
Каждая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также будет бесконечно большой.
Свойство 3
Из каждой сходящейся последовательности можно выделить монотонную сходящуюся подпоследовательность.

Предельные точки последовательности
Определение 1
Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если любой - окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов последовательности .
Лемма 1
Если х – предельная точка последовательности , то из этой последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к числу х.
Доказательство
Пусть х – предельная точка . Рассмотрим систему - окрестностей точки х:
Выберем и так далее.

Это процесс можно продолжить бесконечно, так как в - окрестности точки х имеется бесконечно много элементов последовательности .

к х, так как
. Теорема доказана.

Замечание
Справедливо обратное утверждение: Если из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к числу х, то х является предельной точкой и для .
Определение 2
Точка х называется предельной точкой последовательности , если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к х.
Лемма 2
Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности.
Доказательство
Отметим, что предел а сходящейся последовательности является предельной точкой этой последовательности, поскольку в - окрестности точки а содержатся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Убедимся, что у нет других предельных точек. Действительно, пусть b - предельная точка сходящейся последовательности. В силу леммы 1 из можно выделить подпоследовательность
, сходящуюся к b. Но любая подпоследовательность сходящейся последовательности имеет предел а (на основании определения предельной точки) и поэтому b=a.

Существование предельной точки у ограниченной последовательности

предельная точка последовательности называется верхним пределом этой последовательности.
Обозначение последовательности
У всякой ограниченной последовательности существует верхний предел.
Определение 2
Наименьшая предельная точка последовательности называется нижним пределом этой последовательности.
Обозначение последовательности
У всякой ограниченной последовательности существует нижний предел.
Окончательно
У всякой ограниченной последовательности существует верхний и нижний пределы.
Следствие 1
Если (a,b) – интервал, вне которого лежит лишь конечное число элементов ограниченной последовательности , а и - верхний и нижний пределы этой последовательности, то интервал ) содержится в интервале (a,b) и поэтому
.
Следствие 2
Для интервал ) содержит все элементы последовательности , начиная с некоторого номера.
Замечание
Ограниченная последовательность в общем случае может иметь любое количество

- верхний и нижний пределы этой последовательности. Очевидно, что все предельные точки последовательности лежат на сегменте (сколько бы их не было).
Если - то последовательность имеет только одну предельную точку.
Если - то последовательность имеет две предельные точки.
Пример
имеет две предельные точки .

О выделении сходящейся последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
Теорема
Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство
Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку х. В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке х (см. определение 2 предельной точки).
Замечание 1
Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.
В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.
Замечание 2
Пусть ограниченная последовательность, элементы которой находятся на сегменте [a,b]. Тогда предел с любой сходящейся подпоследовательности также находится на сегменте [a,b].

выделить сходящуюся подпоследовательность.
Например
неограниченно, но подпоследовательность

сходится.


Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности
Существует внутренний критерий сходимости последовательности исходя из величины элементов. Для формулировки этого критерия введем понятие фундаментальной последовательности.

Определение
Последовательность называется фундаментальной, если , такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию и для всех натуральных чисел p (p=1,2,…) справедливо неравенство
Теорема 1
Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы нижний и верхний пределы ее совпадали, то есть
Теорема 2 (важное свойство фундаментальной последовательности)
Для фундаментальной последовательности, - окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N.

находится не более чем конечное число элементов последовательности.
Отмеченное свойство позволяет установить ограниченность фундаментальной последовательности.
Пусть и - элемент, в - окрестности которого находятся все элементы, начиная с номера N. Тогда вне этой - окрестности могут находиться только элементы . Положим . Тогда на сегменте [-A,A] находятся числа , а следовательно, и все точки - окрестности числа . Отсюда вытекает, что все элементы фундаментальной последовательности находятся на сегменте [-A,A], что и означает ее ограниченность.
Теорема. Критерий Коши сходимости последовательности.
Для того, чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство
Необходимость
Пусть - сходящаяся, и х – ее предел. Требуется доказать, что эта последовательность фундаментальная.
Возьмем . Из определения сходимости последовательности вытекает, что для
, такой, что при выполняется неравенство . Если

, то при выполняется также и неравенство .

Из последних неравенств получаем


Фундаментальность установлена.

эта последовательность сходится. Для этого достаточно доказать ограниченность и равенство ее верхнего и нижнего пределов и . Ограниченность фундаментальной последовательности уже была установлена выше. Для доказательства равенства пределов воспользуемся рассмотренным ранее свойством фундаментальной последовательности: Для фундаментальной последовательности, в - окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N.
Другими словами, вне интервала находится не более чем конечное число элементов последовательности.
На основании теоремы: (у всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка и следствия из данной теоремы) интервал содержит интервал , и поэтому , откуда в силу произвольности
. Тем самым сходимость установлена и теорема доказана.