- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Ряды. Способы задания ряда презентация
Содержание
- 1. Ряды. Способы задания ряда
- 2. Совокупность бесконечного числа слагаемых, составленная по некоторому закону, называется рядом.
- 3. называется n-ой частичной суммой ряда.
- 4. Ряды Способы задания ряда: Формула
- 5. Числовые ряды Если членами ряда
- 6. Сходящиеся ряды Свойства сходящихся рядов:
- 7. Знакопостоянные числовые ряды Рассмотрим знакопостоянные
- 8. Знакопостоянные числовые ряды Достаточные признаки
- 9. Знакопостоянные числовые ряды 2. Признак Даламбера. Пусть существует предел:
- 10. Знакопостоянные числовые ряды 3. Радикальный (Коши). Пусть существует предел
- 11. Знакопостоянные числовые ряды 4. Признак
- 12. Знакопостоянные числовые ряды 5. Предельный
- 13. Задача Пример. Исследовать сходимость ряда
- 14. Задача Решение.
- 15. Знакопостоянные числовые ряды Ряд вида
- 16. Задача Пример. Исследовать сходимость ряда
- 17. Задача Решение.
- 18. Задача Пример. Исследовать на сходимость ряд
- 19. Задача Решение.
- 20. Задача Пример. Исследовать сходимость ряда
- 21. Задача Решение. Сравним исходный ряд
- 22. Знакопеременные числовые ряды Числовой ряд,
- 23. Знакопеременные числовые ряды Теорема Римана.
- 24. Знакочередующиеся числовые ряды Рассмотрим частный
- 25. Задача Пример. Исследовать сходимость ряда,
- 26. Задача Решение.
- 27. Задача Решение.
- 28. Задача Исходя из признака Лейбница,
- 29. Задача
- 30. Задача
- 31. Задача Рассмотрим обобщённый гармонический ряд
- 32. Степенные ряды Если члены ряда
- 33. Степенные ряды Постановка задачи: найти
- 34. Степенные ряды Из теоремы Абеля
- 35. Степенные ряды Формула для нахождения
- 36. Задача Пример. Найти область сходимости степенного ряда
- 37. Задача Решение. Найдём, сначала интервал
- 38. Задача При
- 39. Задача Получили обобщённый
- 40. Задача Получили знакочередующийся
- 41. Задача Пример. Найти область сходимости степенного ряда
- 42. Задача Решение.
- 43. Задача
- 44. Задача Пример. Найти область сходимости степенного ряда
- 45. Задача Решение. Ответ:
- 46. Степенные ряды Свойства степенных рядов:
- 47. Степенные ряды 3. Степенной ряд можно почленно
- 48. Степенные ряды Если функция f(x)
- 49. Степенные ряды Если в формуле
- 50. Степенные ряды Рассмотрим разложения в ряд Маклорена некоторых функций.
- 51. Степенные ряды
- 52. Степенные ряды
- 53. Степенные ряды Рассмотрим приближённые вычисления с помощью рядов Маклорена.
- 54. Задача Пример. Вычислить с точностью до 0,001
- 55. Задача Решение.
- 56. Задача По теореме Лейбница (т.к.
- 57. Задача Пример. Вычислить
- 58. Задача
- 59. Задача Погрешность выбираем между значениями
- 60. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Конец всему
- 61. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Конец всему курсу лекций
Совокупность бесконечного числа слагаемых, составленная по некоторому закону, называется рядом.
Слайд 2 Совокупность бесконечного числа слагаемых, составленная по некоторому закону, называется
рядом.
Слайд 4Ряды
Способы задания ряда:
Формула n-го члена ряда;
Задание нескольких последовательных членов
ряда;
Задание нескольких последовательных частичных сумм ряда.
Задание нескольких последовательных частичных сумм ряда.
Слайд 5Числовые ряды
Если членами ряда являются числа, то ряд называется
числовым.
Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. Этот предел и называется суммой ряда.
Если этот предел бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.
Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. Этот предел и называется суммой ряда.
Если этот предел бесконечен или не существует, то ряд называется расходящимся.
Слайд 6Сходящиеся ряды
Свойства сходящихся рядов:
Сходимость ряда не нарушится, если все
члены ряда умножить на одно и то же число (при это сумма ряда умножится на это число).
Сумма и разность двух сходящихся рядов являются сходящимися рядами (при этом сумма нового ряда будет равна сумме или разности сумм этих рядов соответственно).
Сходимость не нарушится, если отбросить (или приписать) некоторое конечное число членов (изменится только значение суммы ряда).
Сумма и разность двух сходящихся рядов являются сходящимися рядами (при этом сумма нового ряда будет равна сумме или разности сумм этих рядов соответственно).
Сходимость не нарушится, если отбросить (или приписать) некоторое конечное число членов (изменится только значение суммы ряда).
Слайд 7Знакопостоянные числовые ряды
Рассмотрим знакопостоянные (для удобства с положительными членами)
числовые ряды.
Критерий сходимости. Ряд с положительными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.
Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.
Следствие. Если , то ряд расходится.
Критерий сходимости. Ряд с положительными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.
Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю.
Следствие. Если , то ряд расходится.
Слайд 8Знакопостоянные числовые ряды
Достаточные признаки сходимости:
Интегральный признак. Пусть члены искомого
ряда являются значениями некоторой непрерывной, монотонно убывающей на функции , тогда несобственный интеграл и ряд
Слайд 11Знакопостоянные числовые ряды
4. Признак сравнения рядов. Пусть
- ряд,
исследуемый на сходимость, а - ряд, информация о сходимости или расходимости которого нам известна. Тогда, если:
исследуемый на сходимость, а - ряд, информация о сходимости или расходимости которого нам известна. Тогда, если:
Слайд 12Знакопостоянные числовые ряды
5. Предельный признак сравнения. Пусть
даны два
ряда: , и существует,
Тогда оба ряда одновременно или сходятся, или расходятся.
Тогда оба ряда одновременно или сходятся, или расходятся.
Слайд 15Знакопостоянные числовые ряды
Ряд вида
называется обобщённым
гармоническим рядом. Из интегрального признака следует:
гармоническим рядом. Из интегрального признака следует:
Слайд 17Задача
Решение.
Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является сходящимся рядом.
Слайд 21Задача
Решение. Сравним исходный ряд с гармоническим. Чтобы сравнить общие
члены воспользуемся признаком сравнения бесконечно малых величин:
Получили, что общий член искомого ряда больше общего члена гармонического расходящегося ряда, следовательно, исходный ряд расходится.
Получили, что общий член искомого ряда больше общего члена гармонического расходящегося ряда, следовательно, исходный ряд расходится.
Слайд 22Знакопеременные числовые ряды
Числовой ряд, содержащий положительные и отрицательные члены,
называется знакопеременным.
Для таких рядов существуют два вида сходимости: абсолютная и условная.
Если ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) исходного знакопеременного числового ряда сходится, то исходный ряд сходится абсолютно.
Если ряд из модулей расходится, а сам исходный ряд сходится, то он сходится условно.
Для таких рядов существуют два вида сходимости: абсолютная и условная.
Если ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) исходного знакопеременного числового ряда сходится, то исходный ряд сходится абсолютно.
Если ряд из модулей расходится, а сам исходный ряд сходится, то он сходится условно.
Слайд 23Знакопеременные числовые ряды
Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то
различные перестановки членов ряда могут приводить к изменению значения суммы и даже к расходимости ряда.
Слайд 24Знакочередующиеся числовые ряды
Рассмотрим частный случай знакопеременного ряда – знакочередующийся
ряд. Ряд вида
Достаточный признак сходимости Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел общего члена ряда равен нулю, то ряд сходится. При это сумма ряда не превысит по абсолютной величине первого члена ряда.
Достаточный признак сходимости Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел общего члена ряда равен нулю, то ряд сходится. При это сумма ряда не превысит по абсолютной величине первого члена ряда.
Слайд 28Задача
Исходя из признака Лейбница, общий член ряда из абсолютных
величин является бесконечно малой величиной. Найдём более простую эквивалентную ей бесконечно малую
Сравним при помощи предельного признака сравнения ряд из абсолютных величин с рядом
Сравним при помощи предельного признака сравнения ряд из абсолютных величин с рядом
Слайд 31Задача
Рассмотрим обобщённый гармонический ряд
Получили, что обобщённый гармонический ряд расходится,
значит по предельному признаку сравнения ряд из абсолютных величин тоже расходится. Т.о. исходный знакочередующийся ряд сходится условно.
Слайд 32Степенные ряды
Если члены ряда не постоянные числа, а функции,
то такой ряд называется функциональным.
Будем рассматривать частный случай функциональных рядов – степенные ряды. Ряд вида
называется степенным. Для удобства сделаем замену z-a=x и будем рассматривать в дальнейшем ряд вида
Будем рассматривать частный случай функциональных рядов – степенные ряды. Ряд вида
называется степенным. Для удобства сделаем замену z-a=x и будем рассматривать в дальнейшем ряд вида
Слайд 33Степенные ряды
Постановка задачи: найти все значения х, при которых
степенной ряд сходится или найти область сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при , то он сходится абсолютно при всех x, удовлетворяющих неравенству
. Если степенной ряд расходится при то он расходится при всех x, удовлетворяющих неравенству
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при , то он сходится абсолютно при всех x, удовлетворяющих неравенству
. Если степенной ряд расходится при то он расходится при всех x, удовлетворяющих неравенству
Слайд 34Степенные ряды
Из теоремы Абеля следует, что обязательно найдётся такое
неотрицательное число R, для которого при всех x, удовлетворяющих неравенству , ряд сходится абсолютно, а при всех x, удовлетворяющих неравенству ряд расходится. Такое число называется радиусом сходимости степенного ряда.
Соответствующий интервал (-R; R) называется интервалом сходимости степенного ряда.
Соответствующий интервал (-R; R) называется интервалом сходимости степенного ряда.
Слайд 35Степенные ряды
Формула для нахождения радиуса сходимости степенного ряда имеет
вид:
при условии что все коэффициенты ряда отличны от нуля.
при условии что все коэффициенты ряда отличны от нуля.
Слайд 37Задача
Решение. Найдём, сначала интервал сходимости степенного ряда, используя признак
Даламбера, т.к. внутри этого интервала содержатся все точки, при которых степенной ряд сходится абсолютно.
Слайд 38Задача
При ряд расходится. Остаётся
Выяснить сходимость ряда на концах интервала сходимости (когда этот модуль равен 1). Рассмотрим числовые ряды при данных значениях x, исследуем их на сходимость.
Слайд 40Задача
Получили знакочередующийся ряд. Воспользуемся признаком Лейбница:
- ряд сходится.
Т.о. областью сходимости исходного степенного ряда является полуинтервал
Т.о. областью сходимости исходного степенного ряда является полуинтервал
Слайд 46Степенные ряды
Свойства степенных рядов:
Сумма степенного ряда представляет собой функцию,
определённую и непрерывную в интервале сходимости (-R; R).
Степенные ряды можно почленно складывать, вычитать, перемножать. При этом радиус сходимости полученного таким образом ряда будет не меньше наименьшего из тех, с которыми производится действие.
Степенные ряды можно почленно складывать, вычитать, перемножать. При этом радиус сходимости полученного таким образом ряда будет не меньше наименьшего из тех, с которыми производится действие.
Слайд 47Степенные ряды
3. Степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать внутри его
интервала сходимости. При этом радиус сходимости не изменится.
Слайд 48Степенные ряды
Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки
a и бесконечно дифференцируема в окрестности этой точки, то она в этой точке может быть представлена в виде суммы степенного ряда, причём это представление единственно.
Это равенство называется формулой Тэйлора (разложением в ряд Тэйлора).
Это равенство называется формулой Тэйлора (разложением в ряд Тэйлора).
Слайд 49Степенные ряды
Если в формуле Тэйлора положить а = 0,
то в результате получится разложение в ряд Маклорена.
Слайд 56Задача
По теореме Лейбница (т.к. получили знакочередующийся ряд) сумма членов
ряда, начиная с 4-го не превысит по абсолютной величине значения 4-го члена, т.е. не превысит заданной в условии точности, а значит всеми членами, начиная с 4-го можно пренебречь.
Слайд 59Задача
Погрешность выбираем между значениями последнего, взятого в расчёт члена и первого
отброшенного (округленно). В нашем случае берём 0,00001.
