в котором
члены попеременно то положительны, то
отрицательны:
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Ряды с членами произвольного знака презентация
Содержание
- 1. Ряды с членами произвольного знака
- 2. ТЕОРЕМА. (ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА) Если
- 3. Доказательство: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного
- 4. Поэтому последовательность S2m имеет предел: В неравенстве (1) переходим к пределу:
- 5. Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного
- 6. ПРИМЕР. Исследовать сходимость ряда
- 7. Решение: Проверим выполнение признака Лейбница: 1
- 8. СЛЕДСТВИЕ: Погрешность при приближенном вычислении суммы
- 9. Доказательство: По формуле: Где Sn –
- 10. Этот ряд удовлетворяет всем условиям теоремы
- 11. 2. Знакопеременные ряды Знакопеременным называется
- 12. ТЕОРЕМА. ( достаточный признак
- 13. Доказательство: Пусть - сумма абсолютных
- 14. Ряд, состоящий из модулей, по условию
- 15. Ряд называется абсолютно сходящимся, если
- 16. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- 17. ПРИМЕРЫ. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: 1
- 18. Решение: Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных
- 19. 1 Члены ряда убывают по абсолютной величине: 2 Ряд условно сходится.
- 20. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость: 2
- 21. Решение: Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных
- 22. 1 Члены ряда убывают по абсолютной величине: 2 При α
ТЕОРЕМА.
(ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА) Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел его общего члена при равен нулю: то ряд сходится, а его сумма не превышает
Слайд 1
13.4. РЯДЫ С ЧЛЕНАМИ
ПРОИЗВОЛЬНОГО ЗНАКА
1. Знакочередующиеся ряды
Знакочередующимся называется ряд,
Слайд 2
ТЕОРЕМА.
(ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА)
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине
и предел
его общего члена при
равен нулю:
то ряд сходится, а его сумма не
превышает его первого члена.
Слайд 3
Доказательство:
Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:
Эта последовательность возрастает,
т.к. с ростом n увеличивается число положительных слагаемых в скобках.
Эта последовательность также ограничена, поскольку
Эта последовательность также ограничена, поскольку
Слайд 5
Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n=2m+1:
Переходим к
пределу:
Так как при любом n (четном и нечетном)
то ряд сходится.
Слайд 7
Решение:
Проверим выполнение признака Лейбница:
1
Члены ряда убывают по абсолютной величине:
2
Ряд сходится.
Слайд 8
СЛЕДСТВИЕ:
Погрешность при приближенном вычислении
суммы сходящегося знакочередующегося ряда,
удовлетворяющего условиям теоремы
Лейбница, по
абсолютной величине не
превышает абсолютной величины первого
отброшенного члена.
превышает абсолютной величины первого
отброшенного члена.
Слайд 9
Доказательство:
По формуле:
Где Sn – сумма первых n членов ряда;
rn – n-ый остаток ряда
Полагаем приближенно:
При этом мы допускаем погрешность, равную rn.
При четном n n-ый остаток знакочередующегося ряда имеет вид:
Слайд 10
Этот ряд удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница и его сумма не
превосходит первого члена:
При нечетном n n-ый остаток знакочередующегося ряда имеет вид:
Его сумма отрицательна:
Следовательно, для любого n
Слайд 11
2. Знакопеременные ряды
Знакопеременным называется ряд, в котором
каждый член может быть как
положительным, так и отрицательным:
Слайд 12
ТЕОРЕМА.
( достаточный признак
сходимости )
Если ряд, составленный из абсолютных величин
членов знакопеременного ряда
сходится, то сходится и данный ряд.
Слайд 13
Доказательство:
Пусть
- сумма абсолютных величин членов
ряда со знаком «+»;
Пусть
-
сумма абсолютных величин членов
ряда со знаком «-».
Тогда частичная сумма знакопеременного ряда
Частичная сумма ряда, состоящего из модулей:
Слайд 14
Ряд, состоящий из модулей, по условию сходится, следовательно существует конечный предел:
Последовательности
возрастают и ограничены, поскольку
Следовательно существуют пределы
и
Ряд сходится.
Слайд 15
Ряд называется абсолютно сходящимся,
если сходится как сам ряд, так и
ряд,
составленный из абсолютных величин его
членов.
составленный из абсолютных величин его
членов.
Ряд называется условно сходящимся,
если сам ряд сходится, а ряд,
составленный из абсолютных величин его
членов - расходится.
Слайд 16
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов различны.
Абсолютно сходящиеся ряды можно складывать,
перемножать, переставлять местами члены ряда.
Слайд 18
Решение:
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда:
Это гармонический ряд,
который расходится, следовательно абсолютной сходимости нет.
Исследуем ряд на условную сходимость по признаку Лейбница:
Исследуем ряд на условную сходимость по признаку Лейбница:
Слайд 21
Решение:
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда:
Это обобщенный гармонический
ряд, который сходится при α>1, следовательно исходный ряд будет сходится абсолютно.
При α<1 ряд расходится, следовательно исследуем ряд на условную сходимость по признаку Лейбница:
При α<1 ряд расходится, следовательно исследуем ряд на условную сходимость по признаку Лейбница:
