Прямая и плоскость в пространстве. (Лекция 6) презентация

заданная точка, лежащая в плоскости Q.
– нормальный вектор плоскости.

декартовых координат.
Верно и обратное: любому уравнению первой степени относительно переменных x, y и z соответствует некоторая плоскость.

тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы.
Для параллельности двух плоскостей необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при соответствующих текущих координатах были пропорциональны:

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда ортогональны их нормальные векторы.
Для перпендикулярности двух плоскостей необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений коэффициентов при одноименных текущих координатах равнялась нулю:

рассматривать как пересечение двух поверхностей.
Любая линия в пространстве определяется как геометрическое место точек, координаты которых одновременно удовлетворяют уравнению каждой поверхности.

дисциплинах, находит параметрическое задание линии, при котором текущие декартовы координаты задаются как некоторые функции параметра t , который обычно трактуют как время. Уравнения линии в этом случае называют законом движения точки, а саму линию - траекторией движения.

заданные уравнениями



Если в уравнениях системы данной системы коэффициенты при текущих координатах не пропорциональны, то есть плоскости не параллельны, то эта система определяет прямую L как пересечение плоскостей Q1 и Q2.

фиксированной точкой Mo(xо, yо, zо) и направляющим вектором. Рассмотрим


Эти векторы связаны соотношением
, причем ,
тогда

точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2) . Запишем каноническое уравнение прямой, взяв в качестве направляющего вектор

Тогда уравнение прямой по двум заданным точкам:

для которых известны их канонические уравнения, тогда один из двух смежных углов, образованных прямыми, равен углу между их направляющими векторами, поэтому

прямых равносильны соответствующим условиям для направляющих векторов:

угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
Рассмотрим прямую L и плоскость Q , заданные уравнениями:



Тогда синус угла между ними:

L и плоскости Q равносильны соответственно условиям ортогональности и коллинеарности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости: