Непрерывные случайные числа. (Лекция 3) презентация

Например, множество всех значений на отрезке [0,1].

0

1

Каждой точке на отрезке [0,1] соответствует точка на оси абсцисс, и наоборот любой точке оси абсцисс соответствует конкретная точка на отрезке [0,1] . Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Т.е. мощности множеств отрезка [0,1] и оси абсцисс эквивалентны.

Но можно задать функцию распределения. F(x) = P(X

x

X

Рассмотрим предел lim Р(x1 ≤Х< x2)

Если случайная величина непрерывна, то
lim Р(x1 ≤Х< x2)= lim ( F(x2) – F(x1)) = F(x1) – F(x1)=0

Вывод: для непрерывной случайной величины вероятность попадания в точку будет стремиться к нулю.

x2

1

x2 →x1

x2 →x1

x2 →x1

1.

X

x

X

x

А

В

Если Х [A,B], то F(А)= 0

Вероятность попасть в заштрихованную область при x

Будет стремиться к нулю

P(X< А)=0

Будет стремиться к единице

P(X< В)=1, т.к. вероятность попасть в точку, для непрерывной случайной величины равна нулю.

x1

x2

Функция распределения является неубывающей функцией.

F (x1)=P(X

F (x2)=P(X

F(x1)≤ F(x2)

x1

x2

P(x1 ≤ X < x2 )=

= F (x2) - F (x1)

P(x1 ≤ X ≤ x2 )

P(x1

Действительно, х
F( х) = ∫ φ(z)dz= F( х) - F(- ∞)= Р (- ∞< х < х) - ∞

+ ∞
2. ∫ φ(z)dz = 1.
- ∞

Действительно, +∞
∫ φ(z)dz= F(+∞ ) - F(- ∞)= 1-0=1 - ∞

φ(х)

Х

Площадь под кривой плотности всегда равна единице.

Заштрихованная площадь равна

Поскольку dx – бесконечно малый отрезок, то φ(x )dx –
F( х+dх) - F(х)= Р (х < X< х + dх ) есть вероятность попадания на бесконечно малый отрезок.

φ(x )dx - называют элементом вероятности.

В связи с этим данное понятие имеет важное значение.
Понятие вероятности попасть в точку (для дискретных случайных величин) заменяется на элемент вероятности (для непрерывных случайных величин).
φ(x)dx ~ Рi

Вероятность попадания на бесконечно малый отрезок

Вероятность попадания в точку.

Для непрерывных случайных величин

Для дискретных случайных величин

Решение: 1. X

[A,B]

F(A)=0

2. X

[A,B]

F(B)=1

F(X)

X

0

√¯2

1

Р(0.1 < Х < 1) = F(1) - F(0.1) = 1/2-0.12/2=0.5-0.005 = 0.495

Определим вероятность попадания на отрезок Р( -5 < Х < 0.5)

Р(-5 < Х < 0.5) = F(0.5) - F(-5) = 0.52/2 – 0 =0.125 – 0 = 0.125

Определим вероятность попадания на отрезок Р( 8 < Х < 10)

Р(8 < Х < 10) = F(10) – F8) = 1 – 1 = 0

3. Вероятность попадания на отрезок.

1

Р( 0.5 < Х < 8) = F(8) - F(0.5) = 1 – 0.52 =1 – 0.25 = 0.75

0.5

Р(8 < Х < 10) = F(10) – F8) = 1 – 1 = 0

8

10

0.1

4. Определить плотность распределения.

φ(х) = F´(X) =

При Х≤0

При 0 < Х < √¯2

При Х ≥ √¯2

При Х ≥ √¯2

φ (X)

X

0

√¯2

√¯2

√¯2

Р(0.1 < Х < 1) =

Р( 0.5 < Х < 8) = F(8) - F(0.5) = 1 – 0.52 =1 – 0.25 = 0.75

Р(8 < Х < 10) = F(10) – F8) = 1 – 1 = 0

0.1

1

0.5

8

10

Рассмотрим пример. Пусть идет стрельба по трем мишеням. Результаты показаны на рисунках.

1)

2)

3)

Здесь случайная величина – координаты попадания в мишень. Для ее характеристики достаточно знать ее центр распределения и ее степень рассеяния.

Мишени 1 и 2 отличаются центром распределения
1 и 3 - степенью рассеяния вокруг центра.
Возникает вопрос: как охарактеризовать эти два свойства.

Модой (μ) называется значение X, для которого φ(х) максимально.

Медианой называется такое значение X, при котором выполняется следующее равенство: Р(х< μе)=Р(х> μе)=0,5 . Т.е. вероятность попадания левее и правее μе одинакова.

Х

μ

φ(х)

Значение моды

φ(μ)=max

μе

Заштрихованные площади левее и правее μе равны.

Т.е. необходимо находить некое среднее из возможных значений случайной величины, с учетом вероятностей их появления

(0+1)/2=0.5 - это и есть центр распределения.

Теперь проведем испытания. Подбросим монету 5000 раз. (Опыт Бюффона). Каждый раз будем записывать 1, если появился орел и 0 , если появилась решка. А затем возьмем среднее из всех записанных значений.
Среднее окажется очень близко к 0.5.

Повторим данный эксперимент, с другой монетой, у которой смещен центр тяжести. В силу этого вероятность появления орла при одном бросании будет равна 0.7. В этом случае среднее из нулей и единиц будет близко к 0.7.

МХ=

Здесь

- Возможные значения случайной величины

- Вероятности появления i – го значения случайной величины

Из всех рассмотренных характеристик центра распределения, математическое ожидание проще всего определяется аналитически. Математическое ожидание принято обозначать МХ или М[X].

= -2*0.2 - 1*0.1+ 0*0.2 + 4*0.3 + 5*0.1 + 8*0.1 = 2.0

Вместо

, необходимо взять элемент вероятности φ(х)dх

А ∑ заменить на ∫. Тогда получим формулу.

МХ=

- Для непрерывной случайной величины.

Плотность распределения.

φ(х) = F´(X) =

При Х≤0

При 0 < Х < √¯2

При Х ≥ √¯2

Здесь математическое ожидание будет

На основе математического ожидания введены понятия начальных, центральных, абсолютных центральных моментов.

Начальным моментом порядка k называется математическое ожидание случайной величины Х в степени k.

Так, первый начальный момент есть математическое ожидание.

Формулы вычисления начального момента:

Для дискретной случайной величины

Для непрерывной случайной величины

αk=

αk=

α1=

Формулы вычисления начального момента:

Для дискретной случайной величины

Для непрерывной случайной величины

μk=

μk=

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины, что неудобно. Поэтому, чаще используют квадратный корень из дисперсии, который обозначают σХ и называют – среднее квадратическое отклонение.

σХ= +√¯DX

Асимметрия (Скошенность)

Sk=

Е =

Е >0

Е = 0

Е < 0

Обычно при расчетах используют только первый центральный момент:

С точки зрения теории ошибок, величина X-MX представляет собой истинную ошибку измерений Δ.

Величину

называют средним отклонением.

3. Мсх = сМх

4. Мх+у = Мх + Му

5.

7. М ≈ ƒ (Мх1, Мх2,…,Мхn)

6. МX•Y = МX • МY

ƒ(х1, х2,… хn)

Доказательство.

2. MC =

3. Мсх = сМх

+∞ МсХ =∫ x φсХ(x)dx
-∞

=∫x/c φХ(x/c)dx

+∞

-∞

= с∫x/cφХ(x/c)d(x/c) = cМх

+∞

-∞