Неопределенный интеграл. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен. Лекция 3 презентация

от того, стоит ли квадратный трехчлен под знаком квадратного корня или нет, интегрирование проводится по следующей схеме:
1) в квадратном трехчлене выделяется полный квадрат



2)полученный интеграл, при необходимости, разбивается на два интеграла, один из которых – всегда табличный, а другой приводится к табличному подведением под знак дифференциала.

2)

3) 4)

, то дробь называется правильной. Если , то дробь называется неправильной.
Прежде, чем интегрировать неправильную дробь, следует выделить целую часть дроби путем деления многочлена
на многочлен .
Пример


Дробь представляется в виде суммы целой части (многочлена целой степени) и правильной дроби.

может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей.
При этом разложение правильной дроби на простые дроби связано с разложением знаменателя этой дроби на простые множители.
Простейшей дробью называется дробь одного из следующих четырех типов:
1) 2)

3) 4)
Где - постоянные числа, k - целое.

в разложении правильной рациональной дроби является следующий.
1) Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами    А, B, C, D, E приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами.
2)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  х (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х).
3) Получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов.

Корни знаменателя – x1 = -2 кратности 1 и x2=1 кратности 2. Поэтому x3 – 3x + 2 = (x+2)(x-1)2 и подынтегральная функция может быть представлена в виде


Приводя к общему знаменателю, получаем




Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей, получаем
 
 

выражение на сумму простейших дробей, используя метод неопределенных коэффициентов:





Следовательно,

коэффициенты.

2)