Mongeova projekcia презентация

graficky |AB|.

π

x12

x12

ν

zB

a 1

●

a 1

●

A 1

B 1

A

B

λ

≡ p λ1

●

●

●

(A)

(B)

zB

zA

zA

Problém: Určiť graficky dĺžku úsečky danú pôdorysom a nárysom.

|AB|

A 1

B 1

A 2

B 2

●

zA

zB

zA

zB

|AB|

(A)

(B)

≡ p λ 1

a 2

Pa

Pa2

Pa1

l: A1 ∈ l, l ⊥ a1,

Riešenie: Priamkou a = AB preložíme rovinu λ kolmú na priemetňu π. Rovinu λ sklopíme (otočíme o 90º) do priemetne π.

Osou otáčania je priamka a1, kružnica otáčania bodu A leží v rovine kolmej na os otáčania a1 ≡ pλ1, stredom otáčania je A1, polomer otáčania je zA.

Bod A v sklopení – (A) leží na kolmici na a1 v bode A1 a je od neho vzdialený o zA.

Podobne sklopíme bod B, potom |(A)(B)|= |AB|.

k =[A1, r = zA],

4. |(A)(B)|= |AB|.

k ∩ l = (A).

k

l

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 55

rovná uhlu priamky s jej kolmým priemetom do tejto priemetne: ∠(a, π) = ∠(a1, a)
∠(a, ν) = ∠(a2, a)

x

x12

ν

zB

a 1

●

a 1

●

A 1

B 1

A

B

λ

≡ p λ 1

●

●

●

(A)

(B)

zB

zA

zA

Problém: Určiť graficky uhol priamky s priemetňou.

|AB|

A 1

B 1

A 2

B2

●

zA

zB

zA

zB

|AB|

(A)

(B)

≡ p λ 1

a 2

Pa

Pa2

Pa1

∠(a, π) = ∠(a1, a) = ∠(a1, (a))

∠(a, ν) =∠(a2, a) = ∠(a2, [a])

∠(a, π)

∠(a, π)

[A]

[B]

[a]

(a)

∠(a, ν)

yB

yB

Na2

Na1

∠(a, π)

yA

π

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 56

priemetňou.

Definícia: Uhol roviny s priemetňou sa rovná uhlu jej príslušnej spádovej priamky s priemetňou: ∠(α, π) = ∠(Isα, π)
∠(α, ν) = ∠(IIsα, ν)

Isα1

●

(Ns)

∠(α, π)

(Isα)

∠(α, π)

π

ν

α

pα1

nα2

IIsα

●

IIsα2

●

∠(α, ν)

II. osnova

I. osnova

∠(α, π) = ∠(Isα, π) = ∠(Isα1, (Isα))

∠(α, ν) = ∠(IIsα, π) = ∠(IIsα2, [IIsα])

x12

x12

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 57

pravého uhla hovorí, že kolmý priemet kolmice na rovinu je kolmý na príslušné hlavné priamky roviny, a teda na príslušnú stopu roviny, a teda nech α (pα, nα) a priamka k ⊥ α, potom v Mongeovej projekcii platí:
k1 ⊥ pα1 (Ihα1), tiež k1 ≡ Isα1,
k2 ⊥ nα2 (IIhα1), tiež k2 ≡ IIsα2.

●

(Isα)

A2

k2

(k)

(A)

Isα

k1

●

k

λ

Kolmica na rovinu je kolmá aj na spádové priamky roviny, a teda nech k1≡Isα1, potom platí, že ležia v spoločnej premietacej rovine λ a v jej sklopení platí:
(k) ⊥( Isα)

●

≡Isα1

k1≡Isα1

●

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 58

π

π

π´

π2´

x12

k2

k1

r

S2

S1

x12

k2

k1

k1 – kružnica

k2 – úsečka

k

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 59

ν

π

α2 ≡ nα2

x12

k1

r

S2

S1

k2

k1

k2 – úsečka na nα2 , jej dĺžka C2D2 = 2r.

pα1

C2

D2

C1

D1

B1

A1

k1 – elipsa , ktorej hlavná os A1B1 na Ihα1, A1B1 = 2r,
vedľajšia os C1D na Isα1 .

≡A2≡B2

r

r

nα2

r

ν

Ihα1

k2

x12

k

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 60

α

nα2

x12

r

S2

S1

k2

k1

k1 , k2 – elipsy

pα1

B´2

C1

D1

B1

A1

k1 – elipsa – hlavná os A1B1 na Ihα1 , A1B1 = 2r,
- A2B2 na Ihα2 .

B2

r

A2

A´2

A´1

k2 – elipsa - hlavná os A´2B´2 na IIhα2 , A´2B´2 = 2r,
- A´1B´1 na IIhα1 .

Ihα1

Ihα2

IIhα2

IIhα1

vedľajšia os C1D1 elipsy k1 na Isα1,
vedľajšia os C´2D´2 na IIsα2.
Vedľajšie osi elíps dourčíme rozdielovou konštrukciou.

B´1

π

ν

α

pα1

nα2

Ihα

Isα

Ihα1

Isα1

r

r

r

r

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 61

otáčania - p1α ;

pα1

A1

A2

p1α

α2 ≡ n2α

A1

A2

A

A0

Is1α

π

α

P1s

PS1

r

r

A0

B1

B0

A0∈ Is1α ;

kružnica otáčania leží v rovine kolmej na - p1α ; teda v premietacej rovine Is1α ;

stred otáčania je P1s ; polomer je r = P2s A2 ;

Isα

Is1α

perspektívna afinita s osou - p1α ; A1 → A0,
v nej zobrazíme B1 → B0

.

A20

A20

x12

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 62