— квадратное уравнение
— многочлен 2-й степени
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Многочлены и рациональные функции презентация
Содержание
- 1. Многочлены и рациональные функции
- 2. — кубическое уравнение — многочлен 3-й
- 3. Выражение вида где
- 4. Теорема 1 (о делении с остатком). Пусть
- 5. Пример 2. Найти Решение. Разделим в столбик.
- 6. Значит,
- 7. Теорема 2 (Безу). Остаток от деления многочлена
- 8. Доказательство. Пусть —
- 9. Следствие. Число
- 10. Таким образом, если известен один из
- 11. Схема Горнера Деление многочлена на двучлен, удобно
- 12. Пример. Разделить на 3 1 1 –
- 13. Теорема 3 (основная теоремы алгебры). Всякий многочлен
- 14. Следствие (основной теоремы алгебры). Всякий многочлен n-й
- 15. Рациональные корни многочлена Теорема 4. Пусть где
- 16. Доказательство. По условию теоремы т.е. Тогда (1) (2)
- 17. Правая часть равенства (1) делится на q,
- 18. Пример. Решить уравнение Решение. Применим теорему 4:
- 19. 1 2 – 3 – 11 6
- 20. п.2. Рациональные функции. Рациональной функцией называется отношение
- 21. Пример.
- 22. Всякую неправильную рациональную дробь путем деления можно
- 23. Простейшие рациональные дроби I. II. III. IV.
- 24. Теорема 5. Всякую правильную рациональную дробь
- 25. Множителю вида
- 26. Пример. Разложить в сумму простейших дробей Решение.
- 27. Метод неопределенных коэффициентов Пример. Разложить в сумму простейших дробей Решение.
- 28. Приравняем конечный и исходный числитель, раскрыв скобки:
- 29. Выпишем слагаемые без x: Осталось решить систему: Поэтому,
- 30. Метод отдельных значений аргумента Пример. Разложить в сумму простейших дробей Решение.
- 31. Приравняем конечный и исходный числитель: Положим Положим Положим Поэтому,
— кубическое уравнение — многочлен 3-й степени Пример 1. Формулы Кардано для решение кубических уравнений. Метод Феррари для решение уравнений 4-й степени. Общее уравнение степени не ниже 5 не разрешимо
Слайд 1Рассмотрим уравнения:
§3. Многочлены и рациональные функции
п.1. Многочлены.
— линейное уравнение
— многочлен 1-й
степени
Слайд 2— кубическое уравнение
— многочлен 3-й степени
Пример 1.
Формулы Кардано для решение кубических
уравнений.
Метод Феррари для решение уравнений 4-й степени.
Общее уравнение степени не ниже 5 не разрешимо в радикалах.
Слайд 3Выражение вида
где
называется многочленом n-й степени.
Обозначается:
Число называется корнем многочлена если
Слайд 4Теорема 1 (о делении с остатком).
Пусть
— некоторые многочлены;
Тогда существуют
многочлены такие, что
причем степень многочлена меньше степени многочлена
Слайд 8Доказательство.
Пусть — остаток от деления
на
По теореме 1 степень многочлена меньше степени многочлена т.е. равна нулю.
Значит, — число, т.е.
По теореме 1
Положим
Слайд 9Следствие.
Число является корнем многочлена тогда и
только тогда, когда остаток от деления на равен нулю.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть — корень многочлена т.е.
Тогда по теореме 2, остаток равен
Достаточность.
Если то по теореме 2
т.е. — корень многочлена
Слайд 10Таким образом, если известен один из корней
уравнения
то степень уравнения можно понизить на 1, разделив на
Пример. Решить уравнение
Решение. Очевидно, — корень уравнения.
Разделив на получим
Значит,
Слайд 11Схема Горнера
Деление многочлена на двучлен, удобно выполнять по следующей схеме.
Пусть в
результате деления многочлена
на двучлен в частном получается многочлен
и в остатке r.
Тогда
Слайд 13Теорема 3 (основная теоремы алгебры).
Всякий многочлен n-й степени (
) имеет по крайней мере один корень (действительный или комплексный).
Если многочлен делится на , то число называется корнем кратности k этого многочлена.
Пусть — многочлен с действительными коэффициентами.
Если
то и
Слайд 14Следствие (основной теоремы алгебры).
Всякий многочлен n-й степени (
) имеет равно n корней (действительных или комплексных) с учетом их кратности.
Всякий многочлен с действительными коэффициентами n-й степени разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т.е.
где и
Слайд 15Рациональные корни многочлена
Теорема 4.
Пусть
где
Если несократимая дробь
является корнем этого многочлена, то
p —
делитель
q — делитель
Слайд 17Правая часть равенства (1) делится на q, значит и левая часть
(1) делится на q.
Так как дробь является несократимой, то p
не делится на q, а значит делится на q.
Аналогично, с помощью равенства (2) показывается, что делится на p.
Слайд 18Пример. Решить уравнение
Решение. Применим теорему 4:
Возможные корни:
Проверим с помощью схемы Горнера,
какие из этих чисел являются корнями уравнения.
Слайд 191
2
– 3
– 11
6
2
– 1
– 12
— не корень
– 1
2
– 5
– 6
— не
корень
2
2
1
– 7
— не корень
– 2
2
– 7
3
0
Значит, — корень уравнения.
Остальные корни можно найти из уравнения
Слайд 20п.2. Рациональные функции.
Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.
― правильная рациональная дробь;
―
неправильная рациональная дробь.
Слайд 22Всякую неправильную рациональную дробь путем деления можно представить в виде суммы
многочлена и правильной рациональной дроби.
Пример.
(см. пример 2)
Слайд 24Теорема 5.
Всякую правильную рациональную дробь
знаменатель которой разложен на множители
можно
представить (и притом единственным образом) в виде суммы простейших дробей.
Слайд 25Множителю вида соответствует сумма
k простейших дробей
Множителю вида соответствует сумма s простейших дробей
Слайд 28Приравняем конечный и исходный числитель, раскрыв скобки:
Выпишем слагаемые с
Получаем уравнение:
Выпишем
слагаемые с x:
Получаем уравнение:
