- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Матрицы и определители презентация
Содержание
- 1. Матрицы и определители
- 2. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации
- 3. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Математика
- 4. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Тема №1. Матрицы и определители
- 5. Прямоугольная таблица вида называется матрицей.
- 6. Матрицы Указанная матрица содержит m строк и
- 7. Виды матриц Если матрица состоит из одной
- 8. Виды матриц Если количество строк матрицы совпадает
- 9. Виды матриц Например, матрица
- 10. Виды матриц Элементы матрицы, у которых номер
- 11. Виды матриц Матрица, у которой все элементы,
- 12. Виды матриц Матрица, у которой все элементы,
- 13. Виды матриц Диагональная матрица, у которой все
- 14. Виды матриц Матрица, у которой все элементы
- 15. Операции над матрицами Сложение и вычитание матриц. Осуществляется следующим образом:
- 16. Операции над матрицами 2. Умножение (деление) матрицы
- 17. Операции над матрицами 3. Умножение матриц.
- 18. Операции над матрицами 4. Возведение матрицы в
- 19. Операции над матрицами 5. Транспонирование матрицы.
- 20. Операции над матрицами Например:
- 21. Задача Пример №1. Найти матрицу , если
- 22. Задача Решение. Найдём сначала
- 23. Задача Найдём теперь элементы матрицы
- 24. Задача Таким образом получили ответ:
- 25. Определитель матрицы Одной из важнейших числовых характеристик
- 26. Определитель матрицы Определитель второго порядка вычисляется по следующему правилу:
- 27. Для каждой квадратной матрицы существуют миноры. Минором
- 28. Минор Например:
- 29. Алгебраическое дополнение Алгебраическое дополнение элементу матрицы вычисляется следующим образом:
- 30. Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме
- 31. Задача Пример №2. Вычислить определитель матрицы:
- 32. Задача Решение. Согласно Теореме Лапласа возьмём, например,
- 33. Свойства определителей Определитель матрицы не меняется при
- 34. Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной) если
- 35. Матрица, составленная из алгебраических дополнений элементам
- 36. Для любой невырожденной матрицы A существует обратная
- 37. Определение. Матрица
- 38. Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается
- 39. Линейная комбинация Матрица-столбец является линейной комбинацией других
- 40. Свойства определителей 8. Определитель не меняется, если
- 41. Элементарными преобразованиями матрицы являются следующие преобразования:
- 42. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях
- 43. Задача Пример №3. Найти ранг матрицы
- 44. Задача Решение. Найти ранг матрицы можно приведя
- 45. Задача 1-й шаг. Следует сделать так, чтобы
- 46. Задача 2-й шаг. Удобнее начинать работу, когда
- 47. Задача 3-й шаг. Обнуляем 1-й столбец. Переписываем
- 48. Задача 4-й шаг. Обнуляем 2-й столбец. Переписываем
- 49. Задача 5-й шаг. Обнуляем 3-й столбец. Переписываем
- 50. Задача 6-й шаг. Отбрасываем 4-ю строку, полностью
- 51. Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Конец лекции
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Шевелёв Александр Юрьевич кандидат физико- математических наук, доцент кафедры «Математика»
Слайд 2Финансовый университет
при Правительстве Российской Федерации
Шевелёв
Александр Юрьевич
кандидат физико-
математических наук,
доцент кафедры «Математика»
Слайд 6Матрицы
Указанная матрица содержит m строк и n
столбцов и может обозначаться
.
Для обозначения элементов матрицы
используют двойную индексацию ,
где i - номер строки, а j - номер столбца.
Для обозначения элементов матрицы
используют двойную индексацию ,
где i - номер строки, а j - номер столбца.
Слайд 7Виды матриц
Если матрица состоит из одной строки или из одного столбца,
то она называется матрицей-строкой или матрицей-столбцом соответственно.
Слайд 8Виды матриц
Если количество строк матрицы совпадает с количеством её столбцов, то
матрица называется квадратной.
При этом количество строк (столбцов) определяет порядок квадратной матрицы.
При этом количество строк (столбцов) определяет порядок квадратной матрицы.
Слайд 10Виды матриц
Элементы матрицы, у которых номер строки совпадает с номером столбца
образуют главную диагональ матрицы.
Слайд 11Виды матриц
Матрица, у которой все элементы, находящиеся под главной диагональю (i>j)
равны нулю, называется ступенчатой (или треугольной).
Слайд 12Виды матриц
Матрица, у которой все элементы, находящиеся не на главной диагонали
равны нулю, называется диагональной.
Слайд 13Виды матриц
Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали
равны единице, называется единичной.
Обозначается такая матрица буквой Е.
Обозначается такая матрица буквой Е.
Слайд 14Виды матриц
Матрица, у которой все элементы равны нулю называется нулевой или
нуль-матрицей.
Обозначается такая матрица 0.
Обозначается такая матрица 0.
Слайд 16Операции над матрицами
2. Умножение (деление) матрицы на число.
Для получения результата все элементы исходной матрицы умножаются (делятся) на данное число.
Слайд 18Операции над матрицами
4. Возведение матрицы в степень.
Осуществляется как умножение. Например:
Слайд 19Операции над матрицами
5. Транспонирование матрицы.
В результате этого действия все элементы каждой строки исходной матрицы в том же порядке станут элементами соответствующего столбца новой матрицы.
Слайд 25Определитель матрицы
Одной из важнейших числовых характеристик квадратной матрицы является её определитель.
Обозначения:
Слайд 27Для каждой квадратной матрицы существуют миноры. Минором элемента матрицы называется определитель,
полученный из определителя исходной матрицы вычёркиванием одной любой его строки и одного любого столбца.
Слайд 28Минор
Например: - минор элемента
матрицы , который получен из
определителя вычёркиванием i-ой
Строки и j-го столбца.
Слайд 29Алгебраическое дополнение
Алгебраическое дополнение элементу матрицы вычисляется следующим образом:
Слайд 30 Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений всех элементов любой
его строки (или столбца) на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения.
Слайд 32Задача
Решение. Согласно Теореме Лапласа возьмём, например, вторую строку и по ней
произведём вычисление определителя:
=
=
Слайд 33Свойства определителей
Определитель матрицы не меняется при её транспонировании.
Если хотя бы одна
из строк полностью состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Если все элементы какой-либо строки умножить на постоянное число, то определитель умножится на это число.
При перемене местами двух строк матрицы определитель меняет знак на противоположный.
Если соответствующие элементы двух строк матрицы пропорциональны, то определитель равен нулю.
Если все элементы какой-либо строки умножить на постоянное число, то определитель умножится на это число.
При перемене местами двух строк матрицы определитель меняет знак на противоположный.
Если соответствующие элементы двух строк матрицы пропорциональны, то определитель равен нулю.
Слайд 34 Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной) если её определитель равен нулю.
Если
её определитель отличен от нуля, то матрица является невырожденной.
Слайд 35 Матрица, составленная
из алгебраических дополнений элементам транспонированной матрицы
называется присоединённой к матрице и обозначается .
Слайд 36 Для любой невырожденной матрицы A существует обратная матрица
, которая получается
путём деления присоединённой матрицы на определитель матрицы A.
путём деления присоединённой матрицы на определитель матрицы A.
Слайд 37Определение. Матрица называется обратной по отношению
к квадратной матрице , если справедливо следующее равенство:
где - единичная матрица.
где - единичная матрица.
Слайд 38 Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой
матрицы.
Обозначается
Обозначается
Слайд 39Линейная комбинация
Матрица-столбец является линейной комбинацией других матриц столбцов, если существует равенство
Где
постоянные числа, среди которых хотя бы одно отлично от нуля.
Слайд 40Свойства определителей
8. Определитель не меняется, если к любой его строке прибавить
линейную комбинацию других строк.
9. Если хотя бы одна из строк является линейной комбинацией других строк, то определитель равен нулю (верно и обратное утверждение).
9. Если хотя бы одна из строк является линейной комбинацией других строк, то определитель равен нулю (верно и обратное утверждение).
Слайд 41Элементарными преобразованиями матрицы являются следующие преобразования:
Отбрасывание нулевой строки
(столбца).
Перемена мест строк (столбцов).
Умножение всех элементов строки столбца на ненулевое число.
Транспонирование матрицы.
Прибавление к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов).
Перемена мест строк (столбцов).
Умножение всех элементов строки столбца на ненулевое число.
Транспонирование матрицы.
Прибавление к любой строке (столбцу) линейной комбинации других строк (столбцов).
Слайд 42 Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.
Ранг матрицы оказывается равным
максимальному числу линейно независимых строк матрицы, при условии, что количество строк не превосходит количество столбцов.
Слайд 44Задача
Решение. Найти ранг матрицы можно приведя матрицу к ступенчатому виду при
помощи элементарных преобразований. Количество оставшихся строк, при условии, что на главной диагонали отсутствуют нули, будет равно рангу исходной матрицы.
Слайд 45Задача
1-й шаг. Следует сделать так, чтобы количество строк матрицы не превышало
количество её столбцов. В нашем случае необходимо матрицу транспонировать.
Слайд 46Задача
2-й шаг. Удобнее начинать работу, когда элемент матрицы, стоящий на пересечении
первой строки и первого столбца равен 1. Для этого поменяем местами 1-ю и 3-ю строки.
Слайд 47Задача
3-й шаг. Обнуляем 1-й столбец. Переписываем 1-ю и 2-ю строки; из
3-ей строки вычитаем удвоенную 1-ю, а из 4-ой учетверённую 1-ю строку.
Слайд 48Задача
4-й шаг. Обнуляем 2-й столбец. Переписываем 1-ю, 2-ю и 3-ю строки;
из 4-ой строки вычитаем 2-ю строку.
Слайд 49Задача
5-й шаг. Обнуляем 3-й столбец. Переписываем 1-ю, 2-ю и 3-ю строки;
из 4-ой строки вычитаем 3-ю строку.
Слайд 50Задача
6-й шаг. Отбрасываем 4-ю строку, полностью состоящую из нулей.
Получили ступенчатую матрицу,
у которой 3 строки и на главной диагонали нет нулей. Таким образом ранг исходной матрицы равен 3.
