Кривые второго порядка презентация

которые могут быть получены как сечения кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. Поэтому эти кривые называются коническими сечениями.

это всегда будут алгебраическое уравнение второго порядка. Общий вид:

пересечения кривой и прямой, т. е. кривые второго порядка не могут пересекаться с прямой более чем в двух точках.

мере одно из чисел А или С не равно нулю. Путем преобразования системы координат общее уравнение кривых второго порядка можно привести к виду, в котором будет отсутствовать произведение x⋅y:

кривых:
Окружность, если А=С.
Эллипс, если А≠С (А и С одного знака).
Гипербола, если А≠С (А и С разного знака).
Парабола, если А=0; С≠0 или А≠0; С=0.

данной точки, называемой центром окружности.

сум­ма рас­сто­яний до двух дан­ных то­чек F1 и F2 той же плос­ко­сти, на­зы­ва­емых фо­ку­са­ми, есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная, рав­ная 2а.

за­кре­пим в этих точ­ках кноп­ка­ми кон­цы ни­ти дли­ной 2а так, что­бы дли­на 2а бы­ла бо­ль­ше рас­сто­яния меж­ду фо­ку­са­ми F1 и F2. За­тем, на­тя­нув нить остри­ем ка­ран­да­ша, пе­ре­ме­ща­ем его по бу­ма­ге, сле­дя за тем, что­бы нить все вре­мя оста­ва­лась на­тя­ну­той.

ко­то­рой спра­ве­дли­во ра­венс­тво
F1 M + F2 M = 2а.
Для вывода уравнения эллипса обоз­на­чим рас­сто­яние меж­ду фо­ку­са­ми 2с . Так как а2 - с2  > 0, то, обоз­на­чив эту разность че­рез b2, получим после некоторых преобразований




Чис­ла а и b - по­лу­оси эл­ли­пса.

0y.
Эл­липс пе­ре­се­ка­ет ось 0х в т. А1 (−а;0) и А2 (а;0), а ось 0y - в точ­ках В1 (0; −b) и В2 (0; b). А1, А2, В1, В2 на­зы­ва­ют­ся вер­ши­на­ми эл­ли­пса.
Эл­липс - фи­гу­ра, впи­сан­ная в пря­мо­уго­ль­ник со сто­ро­на­ми 2а и 2b, па­рал­ле­ль­ны­ми ко­ор­ди­нат­ным осям.
От­ре­зок А1 А2 = 2а на­зы­ва­ет­ся бо­ль­шой осью эл­ли­пса, а от­ре­зок В1В2 = 2b - его ма­лой осью; 0А1 = 0А2 = а и 0В1 = 0В2 = b - по­лу­оси эл­ли­пса; 0F1 = 0F2  = c — по­лу­фо­ку­сное рас­сто­яние.

Предположим, что эллипс представляет собой "зеркальную" кривую, от которой луч света отражается по закону "угол падения равен углу отражения". Ес­ли в одном фо­ку­се такого зеркального эл­ли­пса по­мес­тить точечный ис­точ­ник све­та, то после от­ра­жен­ия от стенок эл­ли­пса все лучи пройдут через второй фо­кус.

этого нужно взять поверхность, получающуюся вращением эллипса вокруг прямой, проходящей через его фокусы (такую поверхность называют эллипсоидом вращения). Если эллипсоид вращения покрыть изнутри зеркальным слоем и в одном из фокусов поместить источник света ("солнце"), то наблюдатель, находящийся внутри эллипсоида, увидит два "солнца" (в первом фокусе - где оно размещено и во втором фокусе, где в действительности ничего нет).

то все лучи, исходящие от "солнца" собираются (фокусируются) на экране, и это может вызвать его интенсивный разогрев.
Описанное выше свойс­тво ле­жит в осно­ве акус­ти­че­ско­го эф­фе­к­та, на­блю­да­емо­го в не­ко­то­рых пе­ще­рах и ис­кус­ст­вен­ных со­ору­же­ни­ях, сво­ды ко­то­рых име­ют эл­ли­пти­че­скую фор­му: ес­ли на­хо­ди­ть­ся в од­ном из фо­ку­сов, то речь че­ло­ве­ка, сто­яще­го в дру­гом фо­ку­се, слыш­на так хо­ро­шо, как буд­то он на­хо­ди­т­ся ря­дом.

име­ющим фор­му эл­ли­пса, в од­ном из фо­ку­сов ко­то­ро­го на­хо­ди­т­ся Солн­це. По эл­ли­псам, од­ним из фо­ку­сов ко­то­рых яв­ля­ет­ся Зем­ля, дви­жу­т­ся во­круг Зем­ли ее ис­кус­ст­вен­ные спут­ни­ки и ес­те­ствен­ный спут­ник Лу­на.
Эл­ли­пса­ми по­ль­зу­ют­ся при кон­стру­иро­ва­нии раз­лич­ных де­та­лей ме­ха­ни­змов и ма­шин.

раз­ность рас­сто­яний до двух дан­ных то­чек F 1 и F 2 , на­зы­ва­емых фо­ку­са­ми, есть ве­ли­чи­на по­сто­ян­ная = 2а.
Пусть М — про­из­во­ль­ная точ­ка ги­пер­бо­лы. По опре­де­ле­нию: |F 1M — F 2M | = 2а.
Рас­сто­яние меж­ду дву­мя фо­ку­са­ми F1 и F 2 обоз­на­чим че­рез 2с.
Так как с2− а2 > 0, то, обозначим с2− а2  = b2 .

от­но­си­те­ль­но осей ко­ор­ди­нат. Оси 0х и 0y — оси сим­ме­трии ги­пер­бо­лы, а точ­ка 0(0;0) — центр ги­пер­бо­лы.
Ось 0х, на ко­то­рой ле­жат фо­ку­сы ги­пер­бо­лы, на­зы­ва­ют фо­ка­ль­ной осью ги­пер­бо­лы.
С осью 0y ги­пер­бо­ла не пе­ре­се­ка­ет­ся, по­это­му фо­ка­ль­ную ось ги­пер­бо­лы на­зы­ва­ют ве­ще­ствен­ной осью, а пер­пен­ди­ку­ляр­ную ей ось — мни­мой осью.
Со­от­ветс­твен­но, а и b на­зы­ва­ют ве­ще­ствен­ной и мни­мой по­лу­ося­ми ги­пер­бо­лы.

луч, ис­хо­дя­щий из ис­точ­ни­ка све­та, на­хо­дя­ще­го­ся в од­ном из фо­ку­сов ги­пер­бо­лы, после отражения движется так как буд­то он ис­хо­дит из дру­го­го фо­ку­са.

по дуге гиперболы, и в точке, соответствующей фокусу гиперболы, поместить источник света, то лучи, отражаясь от зеркала будут расходиться. Такие рефлекторы (отражатели) используются не только в прожекторах или автомобильных фарах, но и в проекционных аппаратах, обогревательных приборах, медицинских установках (лампы синего света, кварцевые лампы и др.)
Для пе­ре­да­чи ра­дио и те­ле­ви­зи­он­ных сиг­на­лов на бо­ль­шие рас­сто­яния, кон­стру­иру­ют вы­со­кие ан­тен­ны, име­ющие в вер­ти­ка­ль­ном раз­ре­зе фор­му ги­пер­бо­лы (Шу­ховс­кая баш­ня ра­дио­ве­ща­ния в Мос­кве, Эй­фе­ле­ва баш­ня в Па­ри­же).

ко­то­рых рас­сто­яние до дан­ной точ­ки плос­ко­сти, на­зы­ва­емой фо­ку­сом, рав­но рас­сто­янию до дан­ной пря­мой, на­зы­ва­емой ди­ре­к­три­сой.

па­ра­бо­лы, ди­ре­к­три­сой ко­то­рой яв­ля­ет­ся дан­ная пря­мая СD и фо­ку­сом точ­ка F, ес­ли бу­дут вы­пол­ня­ть­ся сле­ду­ющие ра­венс­тва: АК = АF; А1 К1= А1F; А2 К2 = А2F; ... ;
АnКn = Аn F.

лучи, отразившись от параболы, пойдут в одном направлении, перпендикулярном директрисе.
Фокальное свойство параболы используется при изготовлении отражающих поверхностей прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, телескопов, параболических антенн и т.д.