Комплексные числа презентация

привело стремление решить уравнение х2 +1=0 и извлечь корень из отрицательного числа.
Комплексным числом называется выражение вида z=x+iy, где x, y– действительные числа, i − мнимая единица (i2=−1).

z и обозначаются x=Re z, y=Im z.

Если x=0, то число 0+iy=iy называется чисто мнимым,
если y=0, то x+i0=x есть действительное число.

равны их мнимые части, т.е.


Комплексные числа z=x+iy и отличающиеся знаком мнимой части, называются комплексно-сопряженными.

или ее радиус-вектором
Длина вектора называется модулем комплексного числа z и обозначается |z|, r или ρ:

Угол φ между радиус-вектором
и положительным направлением
оси Ox называют аргументом комплексного числа z.
Угол φ определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого 2πk; договоримся брать то значение φ, которое заключено между −π и π и обозначать его

записи.
Так как то комплексное число z=x+iy можно записать в тригонометрической форме:

Введя функцию комплексное число можно записать в показательной форме:

Итак, имеем три формы записи комплексного числа

определяются следующим естественным образом.
1. При сложении (вычитании) двух комплексных чисел складываются (соответственно вычитаются) их действительные и мнимые части, т.е.

умножения двучленов с учетом равенства i2=−1, т.е.


Теорема. При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули умножаются, а аргументы складываются:


Аналогично, в показательной форме

нужно числитель и знаменатель

дроби умножить на число, сопряженное

знаменателю; тогда делителем будет действительное число:

их модули делятся, а аргументы вычитаются, т.е.

алгебраической форме осуществляется по правилам возведения в степень двучлена с учетом того, что i2=−1, i3=i2i=−i, i4=(i2)2=(−1)2=1 и т.д.

Например, используя формулу куба разности, получим:

форму

Учитывая, что при умножении модули умножаются, а аргументы складываются, получим формулу Муавра:

обратное возведению в степень, т.е. если
При извлечении корня из комплексного числа z удобно использовать тригонометрическую форму записи комплексного числа.
Пусть
Тогда

n−й степени из комплексного числа.
При других значениях k получим значения корня, совпадающие с уже найденными. Например, при k=n и при k=0 значения корней совпадают:

z имеет n различных значений.

Пример. Решить уравнение

соответствующей формулой.
Например,



Если вы не догадались о таком способе, то можно обозначить и возвести это равенство в квадрат: