Интегральное исчисление функций одной переменной презентация

Геометрический смысл

есть угловой
коэффициент касательной к кривой y=F(x) в точке x

Геометрически найти первообразную для
функции f(x) означает найти такую кривую
y=F(x), что угловой коэффициент касательной
к ней в произвольной точке x равен значению
f(x) в этой точке

(об общем виде первообразной)

Неопределенный интеграл

Определение

Совокупность всех первообразных для функции f(x)
на промежутке Х называется интеграл от функции f(x)
и обозначается

некоторая первообразная для функции f(x)
произвольная постоянная

4.

5.

Это свойство справедливо для любого конечного
числа слагаемых

Теорема

Интегрирование методом замены переменной

Теорема

Интегрирование методом замены переменной

(о линейной замене переменной)

Пример

Пример:

Теорема

Метод интегрирования по частям

Удобно положить в качестве u=P(x), а за dv обозначить
все остальные сомножители

Удобно положить в качестве P(x)dx= dv, а за u
обозначить все остальные сомножители

a, b - числа

, dv - все остальные сомножители. Применить
дважды операцию интегрирования по частям.

Если дробь неправильная, то можно выполнить

деление с остатком и представить R(x) в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби

Теорема

ПОДСТАНОВКА

Разобьем отрезок [a,b] точками x0=a2. На каждом частичном отрезке [xi-1, xi] выберем
произвольную точку и вычислим значение функции
f(ci) в этой точке
3. Обозначим и вычислим произведение

Определенный интеграл

Определение

Если предел интегральной суммы Sn при так,
что существует, конечен и не зависит от способа
разбиения отрезка [a,b] и способа выбора точек c1, c2,
… cn,то этот предел называется определенным
интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b] и
обозначается

(2)

1.

Определенный интеграл с одинаковыми
пределами интегрирования равен нулю, т.е.

2.

Для

3.

Найдем площадь этой трапеции:

Разобьем отрезок [a,b] точками x0=a2. На каждом частичном отрезке [xi-1, xi] выберем
произвольную точку и вычислим значение функции
f(ci) для всех
3. Обозначим и рассмотрим - площадь
прямоугольника с высотой и длиной основания , где

4. Сумма произведений площадей таких прямоугольников

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна
площади криволинейной трапеции

- площадь криволинейной трапеции

Определенный интеграл от неотрицательной
непрерывной функции численно равен площади
криволинейной трапеции.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема

Свойство 1

Если функции f1(x) и f2(x) интегрируемы на отрезке
[a,b], то интегрируема на этом отрезке их сумма

Свойство 2

Это свойство распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых

Свойство 5

(теорема о среднем)

Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a,b],

где a
функция f(x), то есть если для
, то

Свойство 6

Свойство 7

Свойство 9

Теорема

Интегрирование методом замены переменной

Замечание:

При вычислении определенного интеграла
методом замены переменной возвращаться к
старой переменной не надо.
2.Необходимо менять пределы интегрирования
при замене переменной.

Теорема

Метод интегрирования по частям

Вычисление площади фигуры

4.

определенные интегралы с конечным промежутком интегрирования, но для функции, имеющей на нем бесконечный разрыв

первого рода

второго рода

Определение

Несобственные интегралы первого рода

Если существует конечный предел, то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае (не существует или бесконечен) - расходится

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами

С – произвольное число

Определение

Несобственные интегралы второго рода

Если существует конечный предел, то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае (не существует или бесконечен) - расходится