Презентация на тему Элементы векторной алгебры (лекция № 2)

Презентация на тему Презентация на тему Элементы векторной алгебры (лекция № 2), предмет презентации: Математика. Этот материал содержит 44 слайдов. Красочные слайды и илюстрации помогут Вам заинтересовать свою аудиторию. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас - поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций ThePresentation.ru в закладки!

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
Текст слайда:

лекция № 2 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности 030401– Клиническая психология к.п.н., доцент Шилина Н.Г. Красноярск, 2015

Тема: Элементы векторной алгебры.

Кафедра медицинской и биологической физики


Слайд 2
Текст слайда:

План лекции:

Понятие вектора. Действия над векторами.
Линейно зависимые и линейно независимые векторы.
Размерность линейного пространства.
Базис линейного пространства
Скалярное произведение двух векторов
Системы координат.



Слайд 3
Текст слайда:

Значение темы

Предметом изучения в векторной алгебре являются векторные величины(векторы) и действия с ними. Примерами таких величин могут служить скорость и ускорение движущейся точки, сила.

Цифровые данные, используемые в различных областях, также можно представить в виде систем векторов.
Понятие вектора позволяет существенно упростить операции с большими структурированными наборами чисел.


Слайд 4
Текст слайда:

Вектором называют любую конечную последовательность чисел: а1,a2,...,an. При этом сами числа а1,a2,...,an называют координатами вектора.
Координаты вектора получаются вычитанием из координат его конца соответствующих координат начала.


Слайд 5
Текст слайда:

Определение вектора

Определим вектор как набор N чисел. Можно определить вектор-столбец и вектор-строку

Понятие вектора позволяет существенно упростить операции с большими структурированными наборами чисел.


Слайд 6
Текст слайда:

Геометрическим вектором (вектором)

Называется направленный прямолинейный отрезок, для которого указано, какая из ограничивающих точек считается началом, а какая - концом. Начало вектора называют точкой его приложения.


Слайд 7
Текст слайда:

Обозначения

Отрезок AB


Слайд 8
Текст слайда:

Векторы с 1,2 или3 координатами - это

направленные отрезки на прямой, плоскости, в пространстве


Слайд 9
Текст слайда:

Два вектора (а1,a2,...,an) и (b1,b2,...,bm) называются равными в том и только том случае, если они имеют одинаковое число координат (n= т) и если их соответственные координаты равны между собой: a1=b1; a2= b2, ..., ап=bп.
Равенство векторов пишется так: а =b.


Слайд 10
Текст слайда:

Для геометрических векторов

Два вектора называются равными, если они лежат на параллельных прямых (или одной прямой), одинаково направлены и имеют равные длины


Слайд 11
Текст слайда:

Нуль-вектор -

вектор у которого начало и конец совпадает, его модуль равен нулю и нет определенного направления.
Следовательно можно считать все нуль векторы равными и ввести для них общее обозначение



Слайд 12
Текст слайда:

Коллинеарные векторы

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых



Слайд 13
Текст слайда:

Компланарные векторы

Векторы называются компланарными, если они расположены на прямых, параллельных одной и той же плоскости


Слайд 14
Текст слайда:

Сложение векторов

Два вектора равны, если равны все их компоненты.

Сумма двух векторов x и y записывается как x+y и определяется как вектор

Разность двух векторов х-y есть вектор z, такой, что y+z=x


Слайд 15
Текст слайда:

Правило параллелограмма

Сумма векторов а и b определяется равенством а + b =(а1+b1,a2+b2,…,an+bn).
Например, (1, –1, 0, 3, 8) + (4, 3, – 3, –5, –7) = (5, 2, –3, –2, 1).


Слайд 16
Текст слайда:


Произведением вектора а = (а1,a2,...,an) на число k называют вектор ka, определяемый равенством ka = (kа1,ka2,..., kan).
Умножение вектора на число сводится к растяжению при |k| > 1 или сжатию при |k| < 1 исходного вектора с сохранением его направления при k > 0 или с заменой на противоположное при k< 0

Умножение векторов


Слайд 17
Текст слайда:

Умножение вектора на скаляр


Слайд 18
Текст слайда:

Cвойства операций:

коммутативность: а + b = b + а;
ассоциативность: (а + b) + с = а + (b + с), k(lа) = (kl)а;
дистрибутивность: (k+ l)а = kа + lа,
k(а + b) = ka+ kb.
Вектор, все координаты которого равны нулю, называют нулевым вектором (0).
Вектор (–1)а называется противоположным вектору а (обозначается –а). а+(–а) = 0.


Слайд 19
Текст слайда:

Линейно зависимые и линейно независимые векторы

Множество L называют линейным пространством
(или векторным пространством), а его элементы –
векторами, если:
На этом множестве задана операция сложения: каждым двум векторам а и b из L сопоставлен некоторый третий вектор из L, обозначаемый а + b и называемый суммой векторов а и b;
Задана операция умножения векторов на числа: каждый паре а, k (вектор а и число k) сопоставлен некоторый вектор, обозначаемый kа и называемый произведением вектора a на число k;


Слайд 20
Текст слайда:

3. Эти операции удовлетворяют следующим требованиям:
а + b = b + а для любых векторов а и b;
(а + b) + с = а + (b + с) для любых трех векторов a, b и с;
существует единственный вектор 0 такой, что а + 0 = а для любого вектора а;
для любого вектора а существует единственный вектор а' такой, что а + а' = 0;
1·а = а для любого вектора а;
k1(k2a) = (k1k2)a для любых чисел k1 и k2 и любого вектора а;
(k1 + k2)a = k1a + k2a для любых чисел k1 и k2 и любого вектора а;
k (a +b) = ka +kb для любого числа k и любых векторов а и b.


Слайд 21
Текст слайда:

Геометрический смысл линейной зависимости векторов

Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, когда он нулевой.
Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Для того чтобы три вектора были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Любые четыре вектора линейно зависимы.


Слайд 22
Текст слайда:

Примеры линейных пространств

векторы плоскости (обозначение R2)
нашего пространства, в котором мы живем, его называют трехмерным (определяется тремя измерениями: длиной, шириной, высотой) и обозначают R3
Обобщением этих пространств является пространство Rn векторов (а1,a2,..., an), имеющих n координат (n–мерных векторов).


Слайд 23
Текст слайда:

Пусть а1,a2,..., ap – множество векторов из пространства L. Возьмем произвольные числа k1 , k2,…, kp и составим вектор а = k1 а1+ k2a2+...+ apkp.
Любой вектор а данного вида называется линейной комбинацией векторов а1,a2,..., ap , а числа k1 , k2,…, kp – коэффициентами этой линейной комбинации.


Слайд 24
Текст слайда:

Пример

а1 = (2,–1,4,0), а2 = (3, –5, –2,2), а3 = (–3, 6, –8,5), то линейная комбинация
3а1 –2а2 – а3 = (6, –3,12,0) –(6, –10, –4,4) – (–3,6, –8,5) = (3,1,24, –9).
вектор b является линейной комбинацией векторов а1 и а2, т.к. b = 3а1+ 2a2.


Слайд 25
Текст слайда:

Векторы а1,a2,...,ap называются линейно зависимыми (или образующими линейно зависимую систему), если существуют такие числа с1 с2,..., ср, не равные одновременно нулю, что справедливо равенство:
с1 а1 + с2 a2+ср ap = 0.
Если же это равенство возможно только в случае с1 = с2 = ... = ср = 0, то векторы а1,a2,...,ap называются линейно независимыми (образующими линейно независимую систему).


Слайд 26
Текст слайда:

Условия линейной зависимости и независимости векторов

Всякая система векторов, содержащая нуль–вектор 0, линейно зависима.
Если k (k< р) векторов системы а1,a2,...,ap линейно зависимы, то и вся система линейно зависима.
Если из системы линейно независимых векторов а1,a2,...,ap удалить r (r<р) векторов, то оставшиеся векторы образуют также линейно независимую систему.
Если среди векторов системы а1,a2,...,ap имеются такие векторы аk и am, что аk = λam, где λ – некоторое число, то вся система векторов а1,a2,...,ap линейно зависима.
Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.


Слайд 27
Текст слайда:

Теорема

Векторы а1,a2,...,ap линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех остальных.
Линейное пространство L называется n–мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые n +1 векторов являются линейно зависимыми.


Слайд 28
Текст слайда:

Базисом n–мерного линейного пространства L называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов в пространстве Rn
Пример такой системы в пространстве Rn :
е1=(1,0,…,0),
e2=(0,1,…,0),
…………….
en=(0,0,…,1).


Слайд 29
Текст слайда:

Теорема 1. Если в пространстве L некоторая система n-мерных векторов обладает свойством, что определитель, строками которого являются данные векторы, не равен нулю, то эти векторы образуют базис в L.
Теорема 2. Разложение произвольного вектора а по базису всегда единственно.
Числа k1,k2,...,kn – коэффициенты разложения вектора а по некоторому базису – называются координатами вектора а в этом базисе.


Слайд 30
Текст слайда:

Пусть даны два линейных пространства L1 и L2. Предположим, что между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию).
Если элемент х L1, а у L2, то факт их взаимно однозначного соответствия записывается так: х ↔ у. Предположим также, что если х1↔у1 и х2↔у2 то х1+х2↔у1+ у2 и αх1↔αу1 , где α – любое действительное число.
Если выполнены эти условия, то пространства L1 и L2 называются изоморфными.



Слайд 31
Текст слайда:

Теорема 3. Два линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.
Например, изоморфны множество всех векторов трехмерного пространства и множество последовательностей из R3, каждая из которых содержит три числа.



Слайд 32
Текст слайда:

Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов х = (х1, х2,…, хп) и у=(у1,у2,…,уп) называется число (х,у)= х1 у1+ х2 у2+… хпуп=



Слайд 33
Текст слайда:

Скалярное произведение двух векторов

(х, х) – квадрат длины вектора х


Слайд 34
Текст слайда:

Свойства скалярного произведения

(х, у) = (у, х) – коммутативность;
(х, у + z) = (х, у) + (х, z) – дистрибутивность;
(kx, у) = k(х, у), k – любое действительное число;
(х, х) > 0, если х – ненулевой вектор;
(х, х) = 0, если х –нулевой вектор


Слайд 35
Текст слайда:

Линейное пространство L, в котором введена операция скалярного произведения, называется евклидовым пространством.
Длиной (модулем) вектора х называется число: или




Слайд 36
Текст слайда:

Пример

Рассчитать модуль вектора
а =




Слайд 37
Текст слайда:

Свойства модуля вектора

|x| = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
|kх| =|k|·|х|. k – любое действительное число;
|(x, у)| ≤ |х|·|у| (неравенство Коши – Буняковского);
|x + у| ≤ |х| + |у| (неравенство треугольника).


Слайд 38
Текст слайда:

Пусть х и у – два ненулевых вектора. Углом между ними называют число φ, определенное с помощью равенства



Слайд 39
Текст слайда:

Векторы х и у называются перпендикулярными или ортогональными друг другу, если их скалярное произведение равно нулю. Нулевой вектор ортогонален любому другому.
Систему векторов а1,a2,...,ap в евклидовом пространстве L называют ортогональной, если любые два различных вектора этой системы ортогональны друг другу.


Слайд 40
Текст слайда:

Ортогональность векторов


Слайд 41
Текст слайда:

Вектор е называют нормированным или единичным, если его модуль равен 1.
Систему векторов e1, е2,…,ер называют ортонормированной, если любые два вектора этой системы ортогональны друг другу и если модуль каждого из них равен 1.
В n–мерном евклидовом пространстве система n ортонормированных векторов образует ортонормированный базис.


Слайд 42
Текст слайда:

Тест

Умножение вектора на число при |k| >1 сводится к
растяжению исходного вектора
сжатию исходного вектора


Слайд 43
Текст слайда:

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:

Обязательная:
Кричевец, А.Н. Математика для психологов /А.Н. Кричевец, Е.В. Шикин, А.Г. Дьячков. – М.: Флинта: НОУ ВПО «МПСИ», 2010.– 376 с.
Наследов А.Д. Математические методы психологического исследования. Анализ и интерпретация данных/А.Д. Наследов.-СПб.: Речь, 2008.
Дополнительная:
Математика в примерах и задачах: учебное пособие /Л.Н.Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В.Никонова и др. – М.: ИНФРА–М, 2011. –373 с.
Болдин К.В., Башлыков В.Н., Рукосуев А.В. Высшая математика /К.В. Болдин К, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. – М.: Флинта, 2010
Электронные ресурсы:
УБИЦ КрасГМУ Портал центра дистанционного образования Электронная библиотека
Ресурсы интернет


Слайд 44
Текст слайда:

БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ


Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика