Düz xətt üzərində yerləşən üç nöqtədən biri digər ikisi arasında yerləşir.
a
A
B
C
Parçanın uzunluğu , onun istənilən nöqtəsi ilə bölündüyü hissələrinin uzunluqları cəminə bərabərdir.
M
N
K
MK=MN+NK
Düz xətt və onun üzərində yerləşməyən nöqtədən bu düz xəttə paralel bir və yalnız bir düz xətt keçirmək olar.
A
a
b
vıı sinif Həndəsə
a
b
a║b
İki düz xətt kəsişdikdə dörd bucaq əmələ gəlir.
a
b
1
2
3
4
‹1və‹3 ‹2və‹4 qarşılıqlı bucaqlardır. Qarşılıqlı bucaqlar bərabərdir. ‹1=‹3. ‹2=‹4.
‹1və‹2. ‹1və‹4.....qonşu bucaqlardır. Qonşu bucaqların cəmi 180°-yə bərabərdir. ‹1+‹2=180° . ‹1+‹4=180°
İti bucağa qonşu olan bucaq kor bucaqdır. Kor bucağa qonşu olan bucaq iti bucaqdır.
45°
135°
Düz bucağa qonşu olan bucaq düz bucaqdır.
Düz bucaq altında kəsişən düz xətlər ┴ düz xətlərdir.
A
B
Ortaq başlanğıclı iki müxtəlif şüanın əmələ gətirdiyi fiqur bucaqdır.
)
O
A
B
‹O , ‹AOB , ‹BOA
Kimi yazılır.
Bucağın dərəcə ölçüsü onun bölündüyü bucaqların dərəcə ölçüləri cəminə bərabərdir.
O
A
B
C
D
‹AOD=‹AOB+‹BOC+‹COD olar.
Bucağın təpəsindən çıxan şüa onu iki bərabər bucağa bölərsə, onda bu şüa bucağın tənbölənidir.
)
)
A
B
C
D
‹BAC=‹CAD olar.
Üçbucaq həndəsi fiqurdur. Üçbucağın əsas 6 elementi var. 3 bucağı və 3 tərəfi.
A
B
C
∆ABC üçün
Bucaqlar: ‹A ,‹B ,‹C ;
Tərəflər: AB , BC , CA .
Bərabəryanlı üçbucaqda təpədən çəkilmiş median həm
tənbölən, həm də hündürlükdür.
M
N
P
K
NK┴MP , MK=KP , ‹NMK=‹NPK olar.
Bütün tərəfləri bərabər olan üçbucaq bərabərtərəflidir. Bərabərtərəfli üçbucaqda bucaqlar 60°-dir.
A
B
C
∆ABC bərabərtərəflidirsə, AB=BC=AC və ‹A=‹B=‹C=60° olar.
Bərabərtərəfli üçbucaqda hündürlüklər, medianlar, tənbölənlər eynidir.
Onlar bir nöqtədə kəsişir və onlar arasındakı bucaqlar 60°-dir.
60
60
60
60
60
60
Bucaqlarından biri düz bucaq olan üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır.
B
C
A
Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucaqların cəmi 90°-dir.
‹B+‹C= 90°
Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağa bitişik tərəflər katetlər, iti bucaq
qarşısındakı tərəf isə hipotenuzdur: AB və AC katetlər.
BC hipotenuz.
A
B
C
‹B=‹C =45°
Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucaq təpəsindən çəkilmiş median hipotenuzun yarısına bərabərdir.
A
B
C
D
AD mediandırsa , AD=BD=DC və AD=BC ⁄ 2 olar.
Üçbucağın medianları kəsişir və kəsişmə nöqtəsində təpədən başlayaraq 2:1 nisbətində bölünür.
A
B
C
M
N
P
O
AO:OM=2:1 BO:OP=2:1 CO:ON=2:1
AO=2OM BO=2OP CO=2ON
A
B
C
A΄
B΄
C΄
AB=A΄B΄ , AC=A΄C΄ və ‹A=‹A΄ olarsa
∆ABC=∆A΄B΄C΄ olar.
2) Bir üçbucağın tərəfi və ona bitişik iki bucağı uyğun olaraq o biri üçbucağın tərəfi və ona bitişik iki bucağına bərabərdirsə,
onda bu üçbucaqlar bərabərdir.
A
B
C
A΄
B΄
C΄
AC=A΄C΄ , ‹A=‹A΄ , ‹C=‹C΄ olarsa
∆ABC=∆A΄B΄C΄ olar.
3) Bir üçbucağın üç tərəfi uyğun olaraq o biri üçbucağın üç tərəfinə bərabərdirsə onda, bu üçbucaqlar bərabərdir.
A
B
C
A΄
B΄
C΄
AB=A΄B΄ , BC=B΄C΄ , AC=A΄C΄ olarsa
∆ABC=∆A΄B΄C΄ olar.
Üçbucaqlar bərabərdirsə, onda onların
uyğun tərəfləri və uyğun bucaqları bərabərdir.
a
b
a║b
Eyni bir düz xəttə paralel olan iki düz xətt bir-birinə paraleldir.
m
c
n
m║n və n║c olarsa , onda m║c olar.
.
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
İki paralel düz xətt üçüncü ilə kəsişdikdə
Daxili çarpaz bucaqlar bərabərdir;
‹4=‹6 , ‹3=‹5.
2) Uyğun bucaqlar bərabərdir;
‹1=‹5 , ‹2=‹6 , ‹3=‹7 , ‹4=‹8
3)Daxili birtərəfli bucaqların cəmi 180°-yə bərabərdir.
‹4+‹5=180° , ‹3+‹6=180° .
a
b
c
Düz xətlərin perpendikulyarlığı
Müstəvinin istənilən nöqtəsindən verilmiş düz xəttə bir və yalnız bir ┴ düz xətt çəkmək olar.
a
A
C
Düz xətt üzərində olmayan nöqtədən bu düz xəttə çəkilmiş ┴-ın
uzunluğuna həmin nöqtədən düz xəttə qədər məsafə deyilir.
Şəkildəki AC məsafəsi A nöqtəsindən a düz xəttinə qədər məsafədir.
Nöqtə düz xətt üzərində olduqda bu nöqtədən düz xəttə qədər məsafə
sıfra bərabərdir.
Paralel düz xətlərdən birinin bütün nöqtələri o biri düz xətdənbərabər məsafədədir.
Paralel düz xətlərdən birinin ixtiyari nöqtəsindən o biri düz xəttə qədər olan məsafəyə bu düz xətlər arasındakı məsafə deyilir.
.
n
N
MN m və n düz xətləri arasındakı məsafədir.
m
M
O
O'
A
α
γ
α
γ
O
O'
α=γ
α+γ=180°
Uyğun tərəfləri┴ olan bucaqlar ya bir birinə bərabərdir, ya da onların cəmi 180°-yə bərabərdir.
Üçbucaqların bucaqları cəmi
Üçbucaqların bucaqları cəmi 180°-yə bərabərdir.
İxtiyari üçbucağın heç olmasa iki bucağı iti bucaqdır.
Üçbucağın hər hansı bucağına qonşu olan bucağa bu üçbucağın xarici bucağı deyilir.
.
Üçbucağın xarici bucağı özünə qonşu olmayan daxili
bucaqların cəminə bərabərdir.Üçbucağın xarici bucağı özünə qonşu olmayan daxili bucaqların hər birindən böyükdür.
A
B
C
‹A+‹B+‹C=180°
M
N
K
x
y
n
m
m+n=180°
m=x+y
A
B
C
c
a
b
b>a>c olduğundan , ‹B > ‹A > ‹C olar.
İki bucağı bərabər olan üçbucaq bərabəryanlıdır.
A
B
C
‹A=‹C olarsa , AB=BC olar.
Üçbucağın hər bir tərəfi digər iki tərəfinin cəmindən kiçikdir.
a‹b+c
b‹a+c
c‹a+b
A
B
C
A'
B'
C'
AB=A'B' AC=A'C' olarsa,
∆ABC=∆A'B'C' olar.
2) Bir düzbucaqlı üçbucağın kateti və iti bucağı uyğun olaraq o biri düzbucaqlı üçbucağın kateti və iti bucağına
bərabərdirsə, bu üçbucaqlar bərabərdir.
A
B
C
A'
B'
C'
AC=A'C' və ‹C=‹C' olarsa,
∆ABC=∆A'B'C' olar.
3) Bir düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu və iti bucağı uyğun olaraq o birinin hipotenizu və iti bucağına
bərabərdirsə, bu üçbucaqlar bərabərdir.
A
B
C
A'
B'
C'
BC=B'C' və ‹C=‹C' olarsa,
∆ABC=∆A'B'C' olar.
A
B
C
A'
B'
C'
BC=B'C' və AC=A'C' olarsa,
∆ABC=∆A'B'C' olar.
Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucaqların cəmi 90°-yə bərabərdir.
‹B+‹C=90°
Düzbucaqlı üçbucaqda 30°-li bucaq qarşısında duran katet
hipotenuzun yarısına bərabərdir.Və yaxud düzbucaqlı
üçbucaqda katet hipotenuzun yarısına bərabərdirsə, bu
katetin qarşısındakı bucaq 30°-dir.
A
B
C
30
AB=BC/2
Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucaq təpəsindən çəkilmiş
median hipotenuzun yarısına bərabərdir. AD=BC/2 olar.
A
B
C
D
Perpendikulyar və mail
M
A
H
a
AH parçası A nöqtəsindən a düz xəttinə çəkilmiş perpendikulyardır və M nöqtəsi isə
a düz xəttinin H –dan fərqli ixtiyari nöqtəsidir. Onda AM parçası A nöqtəsindən a düz
xəttinə çəkilmiş mail adlanır. H nöqtəsinə perpendikulyarın otiracağı, M nöqtəsinə isə
mailin oturacağı deyilir. Mailin oturacağını perpendikulyarın oturacağı ilə birləşdirən
parçaya mailin proyeksiyası deyilir. Nöqtədən düz xəttə çəkilmiş perpendikulyar
bu nöqtədən çəkilən bütün maillərdən kiçikdir.
ÇEVRƏ
Verilmiş nöqtədən bərabər məsafədə olan bütün nöqtələrdən ibarət olan fiqura çevrə deyilir.
Verilmş nöqtəyə çevrənin mərkəzi deyilir. Çevrənin mərkəzindən hər hansı nöqtəsinə
qədər məsafəyə radius deyilir. Çevrənin ixtiyari iki nöqtəsini biləşdirən parçaya vətər
dryilir. Mərkəzdən keçən vətər diametr adlanır. Diametr vətərdən iki dəfə böyükdür.
Çevrə ilə onun daxili oblastınin əmlə gətirdiyi fiqura dairə deyilir.
O
A
B
C
M
N
Çevrənin nöqtəsindən keçib bu nöqtədən çəkilən radiusa perpendikulyar
Olan düz xəttə bu çevrəyə toxunan deyilir.Çevrənin həmin nöqtəsinə
Çevrə ilə düz xəttin toxunma nöqtəsi deyilir.
Çevrəyə toxunan düz xətt toxunma nöqtəsində çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.
OA┴a olar.
Bir nöqtədən çevrəyə iki toxunan çəkilərsə, həmin nöqtədən toxunma nöqtələrinə qədər
məsafələr bərabərdir.
O
A
a
A
B
C
AB=AC
a
Çevrələr toxunma nöqtəsindən keçən düz xəttə nəzərən müxtəlif tərəfkərdə
yerləşərsə, onda deyirlər ki, çevrələr xaricdən toxunur.
Xaricdən toxunan çevrələrin mərkəzləri arasındakı məsafə onların radiusları
cəminə bərabərdir. OO΄=R+R΄ olar.
O
O'
R
R'
·
Konsentrik çevrələrin mərkəzləri üst-üstə düşür.
·
·
R
R΄
O
O΄
Çevrələr toxunmursa ,onların mərkəzləri
arasındakı məsafə radiusları cəmindən
böyükdür.
O
O΄
A
R
R΄
Çevrələr kəsişirsə, onların mərkəzləri arasındakı məsafə onların radiusları cəmindən kiçikdir. OO΄‹ R+R΄ olar.
O
O'
R
R'
A
B
C
D
E
F
ABCDEF çoxbucaqlısında , məsələn, A və B təpələri qonşu təpələr;
A və C təpələri isə qonşu olmayan təpələr; deməli AC , BE diaqonaldır.
Qabarıq n bucaqlının daxili bucaqlarının cəmi 180°(n-2) – bərabərdir.
Qabarıq çoxbucaqlının xarici bucaqlarının cəmi 360° - yə bərabərdir.
Qabarıq n bucaqlınin bir təpədən çıxan diaqonallarınin sayı (n-3) saydadır.Qabarıq n bucaqlının
Bir təpədən çıxan dıaqonalları onu (n-2) sayda üçbucaqlara ayırır.
A
B
C
D
ABCD paraleloqramında AB=CD, BC=AD və ‹A=‹C , ‹B=‹D olar.
Paraleloqramın diaqonalları kəsişir və kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür.
AO=OC və BO= OD olar.
İki qarşı tərəfi bərabər və paralel olan dördbucaqlı paraleloqramdır.
Qarşı tərəfləri cüt-cüt bərabər olan dördbucaqlı paraleloqramdır.
Dördbucaqlının diaqonalları kəsişirsə və kəsişmə nöqtəsində yarıya
bölünürsə bu dördbucaqlı paraleloqramdır.
Paraleloqramın diaqonalları onu sahələri bərabər olan 4 üçbucağa
ayırır.Paraleloqramın diaqonalı onu 2 bərabər üçbucağa ayırır.
Bu mənada S(ABO)=S(BOC)=S(COD)=S(DOA) və ∆ABC=∆ADC=∆ABD=∆CDB olar.
A
B
C
D
o
(
(
)
A
B
C
D
O
AO=OC və BO=OD olar.
Diaqonalları bərabər olan paraleloqram düzbucaqlıdır.
2. Bütün tərəfləri bərabər olan paraleloqrama romb deyilir.
Rombun diaqonalları qarşılıqlı perpendikulyar olub onun
bucaqlarının tənbölənidir.
A
B
C
D
O
3. Bütün tərəfləri bərabər olan düzbucaqlıya kvadrat deyilir.( AB=BC=CD=AD)
a) kvadratın bütün bucaqları düz bucaqdır. ( ‹A=‹B=‹C=‹D )
b) kvadratın bütün tərəfləri bərabərdir. .( AB=BC=CD=AD )
c) kvadratın diaqonalları bərabərdir. ( BD=AC )
d) kvadratın diaqonalları qarşılıqlı perpendikulyardır. ( BD┴AC )
e) kvadratın diaqonalları kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür. ( BO=OD=AO=OC )
f) kvadratın diaqonalı onun bucağını yarıya bölür.
A
B
C
D
O
a düz xətti AB parçasının orta perpendikulyarıdırsa AvəB-yə a düz xəttinə görə
Simmetrik nöqtələr deyilir. a düz xəttinə simmetriya oxu deyilir.Simmetriya oxunun
nöqtələri bu düz xəttə görə özü ilə simmetrik hesab olunur. A və B nöqtələri
a düz xəttinə nəzərən simmetrikdir.
a
M
N
O
B
C
A
D
- Bərabərtərəfli üçbucağın 3 simmetriya oxu var.
-Düzbucaqlının tərəfinin orta perpendikulyarı onun simmetriya oxudur.
Düzbucaqlının 2 simmetriya oxu var.
-Kvadratın 4 simmetriya oxu var.
- Çevrənin mərkəzindən keçən istənilən düz xətt onun simmetriya oxudur.
·
O
O nöqtəsi AB parçasının orta nöqtəsidirsə, A və B-yə O nöqtəsinə nəzərən
Simmetrik nöqtələr deyilir.O nöqtəsi simmetriya mərkəzi adlanır.Simmetriya
mərkəzi özü ilə simmetrik hesab olunur.
A
B
·
O
AO=OB
-Paraleloqramın simmetriya oxu yoxdur. Onun simmetriya mərkəzi var. Paraleloqramın simmetriya mərkəzi onun
diaqonallarının kəsişmə nöqtəsidir.
Üçbucağın iki tərəfinin orta nöqtəsini birləşdirən parçaya bu üçbucağın orta xətti deyilir.
Üçbucağın 3 orta xətti var.
Üçbucağın orta xətti oturacağa paralel olub onun yarısına bərabərdir.
A
B
C
A
B
C
M
N
MN=AC / 2
A
B
C
D
Yan tərəfləri bərabər olan trapesiyaya bərabəryanlı trapesiya deyilir.
Bərabəryanlı trapesiyada oturacağa bitişik bucaqlar bərabərdir.
‹A=‹D və ‹B=‹C olar.
Bərabəryanlı trapesiyanın diaqonalları bərabərdir.BD=AC olar.
Yan tərəfi oturacağına perpendikulyar olan trapesiyaya düzbucaqlı
trapesiya deyilir.
Trapesiyanın orta xəttinin diaqonallar arasında qalan hissəsi
oturacaqları fərqinin yarısına bərabərdir. X=(a-b)/2
Düzbucaqlı trapesiyada diaqonallar perpendikulyardırsa ; h² = ab olar.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
h
a
b
M
N
a
b
Çoxbucaqlının sahəsi.
-Hər bir sadə fiqurun seçilmiş ölçü vahidi ilə ifadə olunmuş müsbət sahəsi var.
-Bərabər üçbucaqların sahələri bərabərdir.
Fiqur daxili ortaq nöqtəsi olmayan sonlu sayda fiqurlardan ibarətdirsə,onun sahəsi bu fiqurların sahələri
cəminə bərabərdir.
-Tərəfi a olan kvadratın sahəsi, a² -na bərabərdir.
-Düzbucaqlının sahəsi onun iki qonşu tərəfinin hasilinə bərabərdir.
S(ABCD)=ab olar.
-Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun katetləri hasilinin yarısına bərabərdir.
S(∆)=(ab) / 2 olar.
A
B
C
D
a
b
a
b
Bərabəryanlı trapesiyanın kor bucaq təpəsindən oturacağa çəkilmiş
perpendikulyar böyük oturacağı iki hissəyə bölür ki, onlardan böyüyü
trapesiyanın orta xəttinə bərabərdir.
C
A
B
C
D
O
Paraleloqramın sahəsi onun tərəfi ilə bu tərəfə çəkilən hündürlüyü hasilinə bərabərdir
S(ABCD) = AD·h olar..
h
A
B
C
D
S
S
S
S
A
B
C
D
M
N
Trapesiyanın hər hansı oturacağının nöqtəsindən digər oturacağı saxlayan düz xəttə çəkilən perpendikulyara
bu trapesiyanın hündürlüyü deyilir.
Trapesiyanın sahəsi onun oturacaqları cəminin yarısı ilə
hündürlüyünün hasilinə bərabərdir.
Trapesiyanın sahəsi onun orta xətti ilə hündürlüyünün
hasilinə bərabərdir.
h
A
B
C
D
Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun kvadratı katetlərin kvadratları cəminə bərabərdir.
a
b
c
Üçbucaqların oxşarlığı
burada,
üçbucağın yarım perimetridir.
-Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi onun katetləri hasilinin yarısına bərabərdir.
-Bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi.
Üçbucağın hündürlüyü h=b sinα olduğundan, onun sahəsi iki tərəf və onlar arasındakı bucağın
sinusu hasilinin yarısına bərabərdir.
və
olar.
a
a
a
60
a
b
α
Uzunluqları mütənasib olan parçalara mütənasib parçalar deyilir. AB, CD və parçaları üçün
Olarsa deyirlər ki bu parçalar mütənasibdir.
Üçbucağın iki tərəfini onların daxili nöqtələrində kəsib üçüncü tərəfinə paralel olan düz xətt həmin tərəflərdən
onlara mütənasib parçalar ayırır.
A
B
C
M
N
A
B
C
M
K
N
a
b
Uyğun bucaqları bərabər olub, uyğun tərəfləri mütənasib olan üçbucaqlara oxşar üçbucaqlar deyilir.
‹A= ‹K, ‹B= ‹L, ‹C= ‹M
Olarsa, onda bu üçbucaqlara oxçar üçbucaqlar deyilir və aşağıdaki kimi işarə olunur:
Bərabər üçbucaqlar k=1 əmsalı ilə bir-birinə oxşardır.
Üçbucağın iki tərəfini onların daxili nöqtələrində kəsib onun üçüncü tərəfinə paralel olan düz xətt, həmin üçbucaqdan
özünə oxşar üçbucaq ayırır.
A
B
C
K
L
M
B
A
C
M
N
L
‹A= ‹M və
olarsa,
∆ABC~ ∆MNL olar.
2. Bir ücbucağın iki bucağı, o biri üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır.
A
B
C
M
N
L
‹A= ‹M , ‹B= ‹N olarsa,
∆ABC ~ ∆MNL olar.
Nəticə. Bir düzbucaqlı üçbucağın iti bucağı o biri düzbucaqlı üçbucağın iti bucağına bərabərdirsə, onlar oxşardır.
3. Bir üçbucağın üç tərəfi, o biri üçbucağın üç tərəfi ilə mütənasibdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır.
A
B
C
M
olar.
Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişir və bu nöqtə hər bir medianı təpədən başlayaraq 2:1 nisbətində bölür.
A
B
C
M
N
K
O
AO:ON=2:1 BO:OK=2:1 CO:OM=2:1
AO=2ON BO=2OK CO=2OM olar.
Üçbucağın tərəflərinin orta perpendikulyarları bir nöqtədə kəsişir.
Üçbucağın tənbölənləri bir nöqtədə kəsişir.
Üçbucağın hündürlükləri bir nöqtədə kəsişir.
Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişir.
A
B
C
D
h
Düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri və bucaqları arasında əlaqə
α
a
b
c
İti bucaq qarşısındakı katetin hipotenuza nisbətinə bu bucağın
sinusu deyilir və belə içarə olunur: sinα=a / c
İti bucağa bitişik katetin hipotenuza nisbətinə bu bucağın kosinusu
deyilir və belə işarə olunur: cosα=b / c
İti bucağın qarşısındakı katetin bu bucağa bitişik katetə nisbətinə
həmin bucağın tangensi deyilir və belə yazılır: tgα=a / b
İti bucağa bitişik katetin bu bucağın qarşısındakı katetə nisbətinə
həmin bucağın cotangensi deyilir və belə yazılır:ctgα=b / a .
Əgər qövs yarımçevrədirsə və ya kiçik qövsdürsə, həmin qövsün dərəcə ölçüsü, tərəfləri onun
uclarından keçən mərkəzi bucağın dərəcə ölçüsünə bəraberdir.
Təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucağa mərkəzi bucaq deyilir.
Mərkəzi bucağın dərəcə ölçüsü uyğun qövsün dərəcə ölçüsünə
bərabərdir..
·
O
A
B
m
O
·
Qövs yarımçevrədirsə, onda mərkəzi bucaq 180-yə bərabərdir.
olar.
·
B
A
C
Təpəsi çevrə üzərində, tərəfləri çevrəni kəsən bucağa çevrə daxilinə çəkilmiş bucaq deyilir.
·
B
C
A
Çevrə daxilinə çəkilmiş bucağın dərəcə ölçüsü, onun söykəndiyi qövsün dərəcə ölçüsünün yarısına bərabərdir.
·
B
C
A
m
Nəticə. Eyni bir qövsə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqlar bəraberdir.
Nəticə. Yarımçevrəyə söykənən bucaq düz bucaqdır.
A
C
B
D
M
AM·MB=CM·MD
P nöqtəsindən çevrəni uyğun olaraq A, B və C, D nöqtələrində kəsən iki düz xətt çəkilərsə,
AP·BP=CP·DP bəraberliyi doğrudur.
P
C
A
D
B
Çoxbucaqlının bütün tərəfləri çevrəyə toxunursa, bu çevrəyə çoxbucaqlının daxilinə çəkilmiş çevrə, çoxbucaqlıya isə
çevrənin xaricinə çəkilmiş çoxbucaqlı deyilir.
·O
A
B
C
D
·O
M
P
N
İstənilən üçbucağın xaricinə çevrə çəkmək olar.
·
O·
Çevrə daxilinə çəkilmiş dördbucaqlının qarşı bucaqlarının cəmi 180-yə bərabərdir. ‹A+‹C=180°
‹B+‹D=180° olar.
O
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
AB↑↑CD AB↑↓CD olar.
Başlanğıc və son nöqtələri göstərilmiş parçaya vektor deyilir.
A
B
AB parçasının uzunluğuna vektorunun uzunluğu yaxud mütləq qiyməti deyilir və kimi işarə olunur.
AB parçasın istiqamətinə isə AB vektorunun istiqaməti deyilir.
Əgər vektorun başlanğıc və son nöqtələri eyni nöqtələrdirsə belə vektora sıfır vektor deyilir və kimi işarə olunur.
AB və CD şüaları eyni istiqamətlidirsə, vektorları eyni istiqamətli vektorlar, AB və CD şüaları əks istiqamətlidirsə, vektorları əks istiqamətli vektorlar adlanır. Sıfır vektor istənilən vektorla
eyni istiqamətlidir. Eyni bir düz xətt üzərində və ya paralel düz xətlər üzərində yerləşən vektorlara kollinear vektorlar deyilir. Uüunluqları bərabər və istiqamətləri eyni olan iki vektora bərabər vektorlar deyilir.
və
və
Nöqtənin ədəd oxu üzərindəki vəziyyətini təyin edən ədəddə bu nöqtənin koordinatı deyilir.
-3
-2
N
-1
0
O
1
2
3
Üfüqi düz xəttə absis oxu (OX ilə işarə olunur), şaquli düz xəttə ordinat oxu (OY ilə işarə olunur) deyilir.
Bu iki düz xəttə koordinat oxları deyilir.
Müstəvi üzərində koordinat sistemi seçilibsə, ona koordinat müstəvisi deyilir.
O
X
Y
Koordinat oxları, müstəvinin bu oxlar üzərində olmayan nöqtələrini dörd çoxluğa bölür. Bu çoxluqların
hər birinə rüb deyilir. Hər bir rübün daxilində nöqtənin koordinatlarının işarəsi dəyişməz qalır.
II rüb
(-;+)
I rüb
(+;+)
III rüb
(-;-)
IV rüb
(+;-)
Absis oxu koordinat müstəvisini iki yarımfəzaya ayırır. Bu oxdan yuxarıda qalan yarımmüstəviyə yuxarı yarımmüstəvi, ondan aşağıda qalan
yarımmüstəviyə aşağı yarımmüstəvi deyilir. Ordinat oxundan sağ tərəfdə qalan yarımmüstəvi sağ yarımmüstəvi , ondan solda qalan
yarımmüstəviyə sol yarımmüstəvi deyəcəyik. Absis oxunun sağ yarımmüstəviyə, ordinat oxunun isə, yuxarı yarımmüstəviyə aid şüalarına
onların müsbət yarımoxları deyilir.
vektoru verilən
və
vektorlarının heç biri ilə kollinear deyil.
Uzunluğu vahidə bərabər olan vektora vahid vektor deyilir.
Vektorun koordinatları, onun son və başlanğıc nöqtələrinin uyğun koordinatlarının
fərqinə bərabərdir.
O
X
Y
A(x;y)
Ay
Ax
e2
e1
O
e2
e1
A(x;y)
Ax
Ay
və
,
olarsa
..
üçün
və
olar.
Parçanın orta nöqtəsinin koordinatları
Vektorun uzunluğu
əgər
olarsa,
olar
Koordinat müstəvisində Mərkəzi M0(a;b) nöqtəsində, radiusu r olan çevrənin tənliyini yazaq. İxtiyari M(x;y) nöqtəsində
M0(a;b) nöqtəsinə qədər məsafə:
MM0=
= r
M
0(a;b)
M(x;y)
x
y
O
(x-a)2+(y-b)2=r2
Xüsusi halda, çevrənin mərkəzi koordinat başlanğıcındadırsa, onda çevrənin tənliyi
aşağıdakı kimi olar: x2+y2=r2
Düz xəttin ümumi tənliyi. ax+by+c=0
Koordinat sistemində düz xəttin yerləşməsi.
Düz xəttin ax+by+c=0 tənliyinin bəzi xüsusi şəkillərində bu düz xəttin koordinat oxlarına nəzərən
necə yerləşdiyini aydınlaşdıraq.
1) a=0, b≠0. Bu halda düz xəttin tənliyini. y= -c / b olar.
-c/b
O
x
y
O
x
y
-c/b
3) c=0, a≠0, b≠0. olduqda, düz xəttin tənliyi ax+by=0 şəklində yazılır.
Düz xətlə çevrənin qarşılıqlı vəziyyətləri.
Müstəvi üzərində radiusu r olan çevrə və hər hansı düz xətt verilmişdir. Çevrənini mərkəzindən verilmiş düz xəttə
qədər məsafəni d ilə işarə edək.
r>d olduqda bu düz xətt verilən çevrəni kəsir.
r>d
r=d olarsa, sistemin bir həlli var.
r
d
r=d
r
d
x
y
x
y
r x y d r r
olarsa, tənliyi y dəyişəninə qörə
həll edə bilərik:
,
və
ilə işarə etsək, y=kx+b tənliyini alarıq.
k əmsalının koordinat müstəvisində düz xəttin vəziyyəti ilə əlaqəsini aydınlaşdıraq.
Fərz edək ki, y=kx+b tənliyi MN düz xəttinin tənliyidir. MN düz xətti üzərində A(
;
) və B(
;
) nöqtələrini
>
). Bu nöqtələrin koordinatları
qeyd edək (
y=kx+b tənliyini ödəyir.
Bərabərlikləri tərəf-tərəfə çıxsaq,
yaxud:
bərabərliyini alırıq.
alırıq.
Beləliklə
Üçbucaqların həlli.Vektorun skalyar hasili
Üçbucaöın sahəsi onun iki tərəfi ilə bi tərəflər arasında qalan bucağın sinusu hasilinin yarısına bərabərdir.
A
B
C
α
a
b
α
Sinuslar teoremi
Üçbucağın tərəfləri qarşı bucaqların sinusları ilə mütənasibdir.
a
b
c
α
β
γ
(burada R üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusudur).
Üçbucağın tərəfinin, bu tərəf qarşıcındakı bucağın sinusuna nisbəti həmin üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrənin
diametrinə bərabərdir.
=d
vektorlardan biri sıfır vektordursa onlar arasındakı bucaq 0°-yə bərabər hesab edilir.
və
arasındakı bucaq 90°-yə bərabər olduqda, onlara perpendikulyar vektorlar deyilir və
kimi
işarə olunur.
İki vektorun skalyar hasili.
Iki vektorun uzunluqları ilə onlar arasındakı bucağın kosinusu hasilinə bu vektorların skalyar hasili deyilir.
Perpendikulyar vektorların skalyar hasili 0-ra bərabərdir.
olarsa ,
olar.
və
vektorlarının skalyar hasili
düsturu ilə ifadə olunur.
-Sıfır vektorundan fərqli
və
Vektorları onda və yalnız onda, perpendikulyardır ki,
olsun.
Sıfır vektordan fərqli
və
vektorları arasındakı bucağın kosinusu aşağıdakı düsturla ifadə olunur;
-Vektorun hər bir koordinatı, bu vektorun uyğun koordinat vektoru ilə skalyar hasilinə bərabərdir.
Yəni ixtiyari
vektoru üçün:
olar.
,
,
1.
və
olduqda
>0.
2.
(yerdəyişmə qanunu)
3.
(paylama qanunu)
(qruplaşdırma qanunu)
4.
Kosinuslar teoremi
Üçbucağın hər hansı tərəfinin kvadratı bərabərdir: qalan iki tərəfin kvadratları cəmi, minus bu tərəflərlə
onlar arasındakı bucağın kosinusu hasilinin iki misli.
a
b
c
α
β
γ
a2=b2+c2-2cb cosα
b2=a2+c2-2ac cosβ
c2=a2+b2-2ab cosγ
Üşbucağın sahəsini hesablamaq üçün Heron düsturu:
Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələrin radiusları üçün düsturlar.
S=
(burada a, b, c üçbucağın tərəfləri, p isə yarımperimetrdir) yəni
p=
Üçbucağın xaricinə və daxilinə çəkilmiç çevrələrin radiusları uyğun olaraq R və r olarsa:
R=
, r=
olar.
-Üçbucağı təyin edən hər hansı üç əsas elementi məlum olduqda onun digər əsas elementlərinin tapılmasına
üçbucağın həlli deyilir.
M
N
M1
N1
O
M
N
M1
N1
Ox simmetriyası Mərkəzi simmetriya
-O nöqtəsinə görə F fiqurunun nöqtələrinə simmetrik olan bütün nöqtələrdən ibarət olanF1 fiquruna, O nöqtəsinə görə
F fiquruna simmetrik fiqur deyilir.
A
B
a
-a düz xəttinə görə F fiqurunun nöqtələrinə simmetrik olan bütün nöqtələrdən ibarət olan F1 fiquruna, bu düz xəttə görə
F fiquruna simmetrik fiqur deyilir.
-Müstəvinin özünə çevrilməsində nöqtələr arasındakı məsafələr saxlanarsa ona hərəkət deyilir.
-Düz xətt üzərində olan nöqtələr, hərəkət zamanı düz xətt üzərində olan nöqtələrə çevrilir və onların qarşılıqlı
yerləşməsi nizamı saxlanılır.
-Hərəkətdə düz xətt düz xəttə, şüa şüaya, parça özünə bərabər parçaya çevrilir.
-Hərəkətdə bucaq özünə bərabər bucağa çevrilir
-Tutaq ki, verilmiş vektordur.Müstəvinin özünə çevrilməsində ixtiyari M nöqtəsi və onun çevrildiyi M1 nöqtəsi üçün
bərabərliyi ödənərsə, bu çevrilməyə vektoru qədər paralel köçürmə deyilir.
Dönmə.
Fərz edək ki , O nöqtəsi və α bucağı verilmişdir.Müstəvinin hərəkəti zamanı O nöqtəsindən çıxan ixtiyari şüa eyni
istiqamətdə α bucağı qədər dönərsə , bu hərəkətə müstəvinin O nöqtəsi ətrafında α bucağı qədər dönməsi deyilir.
O nöqtəsinə dönmə mərkəzi , α bucağına dönmə bucağı deyilir.
-Dönmə hərəkətdir.
Hərəkət çevirməsi ilə F fiquru F1fiquruna çevrilirsə onlara bərabər fiqurlar deyilir.
A
B
C
A1
B1
C1
C2
B2
a
b
O
A
A1
30°
Homotetiya.
Tutaq ki , O verilmiş nöqtə , k>0 verilmiş ədəddir. Müstəvinin özünə çevrilməsində ixtiyari X nöqtəsi və onun
çevrildiyi X1 nöqtəsi üçün : OX1=k·OX olarsa bu çevrilməyə homotetiya deyilir.
O nöqtəsinə homotetiya mərkəzi , k ədədinə homotetiya əmsalı , X1 nöqtəsinə isə X-ə homotetik nöqtə deyilir.
X1 nöqtəsi X nöqtəsi ilə homotetikdirsə deyirlər ki , homotetiyada X nöqtəsi X1 nöqtəsinə çevrilir.
F fiqurunun nöqtələrinə homotetik bütün nöqtələrdən ibarət F1 fiquruna F-ə homotetik fiqur deyilir.
-k əmsallı homotetiya k əmsallı oxşarlıq çevirməsidir.
Oxşarlıq çevirməsində bir düz xətt üzərində olan üç A , B , C nöqtələri , uyğun olaraq , bir düz xətt üzərində olan
A1 ,, B1 , C1 nöqtələrinə çevrilir. B nöqtəsi A və C nöqtələri arasındadırsa , B1 nöqtəsi də A1 və C1 nöqtələri arasındadır.
-Oxşarlıq çevirməsində düz xətt düz xəttə , şüa şüaya , parça parçaya çevrilir.
-Oxşarlıq çevirməsində şüalar arasındakı bucaq saxlanılır.
FİQURLARIN OXŞARLIĞI.
-Oxşarlıq çevirməsi ilə F1 fiquru F2 fiquruna çevrilirsə, onlara oxşar fiqurlar deyilir.
-F1 fiquru F2 fiquruna , F2 fiquru isə F3 fiquruna oxşardırsa , F1 fiquru F3 fiquruna oxşardır və onun oxşarlıq əmsalı
əvvəlki oxşarlıq əmsallarının hasilinə bərabərdir.
-Uyğun bucaqları bərabər və uyğun tərəfləri mütənasib olan çoxbucaqlılar oxşardır.
-Oxşar çoxbucaqlıların perimetrləri nisbəti, onların uyğun tərəflərinin nisbətinə, yəni oxşarlıq əmsalına bərabərdir.
P1: P2 =k
Oxşar çoxbucaqlıların sahələri nisbəti ,onların uyğun xətti ölçülərinin kvadratları nisbətinə bərabərdir.
~
… olarsa,
DÜZGÜN ÇOXBUCAQLILAR.
ÇEVRƏNİN UZUNLUĞU VƏ DAİRƏNİN SAHƏSİ
Bütün tərəfləri və bucaqları bərabər olan qabarıq çoxbucaqlıya düzgün çobucaqlıya deyilir.
İstənilən düzgün çoxbucaqlının daxilinə və xaricinə çevrə çəkmək olar
Təpəsi düzgün çoxbucaqlının mərkəzində olan, tərəfləri isə onun qonşu təpələrindən keçən bucağa düzgün
çoxbucaqlının mərkəzi bucağı deyilir.
Düzgün çoxbucaqlının xaricinə və daxilinə çəkilmiş çevrələrin radiusları üçün düsturlar
Tərəfi an olan düzgün çoxbucaqlının xaricinə çəkilmiş çevrənin R və daxilinə çəkilmiş çevrənin r radiuslarını tapaq.
R=
və
r=
olar.
R=
r=
r=
r=
Çevrənin uzunluğu və dairənin sahəsi
Çevrəniin daxilinə çəkilmiş düzgün çoxbucaqlıların tərəflərinin sayını qeyri-məhdud artırdıqda, onların perimetrlərinin
limitinə çəvrənin uzunluğu deyilir.
C=2
R
Dairəni hüdudlandıran çevrənin daxilinə çəkilmiş düzgün çoxbucaqlıların tərəfləri sayını qeyri-məhdud artırdıqda onların
sahələrinin limitinə dairənin sahəsi deyilir.
·
O
O·
R
h
Çoxbucaqlının daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələrlə hüdudlanmış dairələrə,
uyğun olaraq, həmin çoxbucaqlının daxilinə və xaricinə çəkilmiş dairələr,
çoxbucqalıya isə, uyğun olaraq, dairə xaricinə və daxilinə çəkilmiş
çoxbucaqlı deyilir.
M
N
O
B
A
S=
Dairənin, onu hüdudlandıran çevrənin hər hansı qövsü və bu qövsün uclarını birləşdirən vətəri ilə məhdud edilmiş
hissəsinə dairə seqmenti deyilir.
S=
A
B
O
·
O
A
B
α › 180° olarsa, α ‹ 180° olarsa.
O
kub silindr Kürə tetraedr
Belə fiqurlar fəza fiqurları adlanır
Həndəsənin fəza fiqurlarını öyrənən bölməsi stereometriya(yunan sözü-stereos fəza, metreo ölçürəm) adlanır.
Stereometriyada baxılan bütün nöqtələr çoxluğuna fəza deyilir.
Stereometriyada üç anlayış: nöqtə, düz xətt və müstəvi tərifsiz qəbul olunub.
Fəzada düz xətlər və müstəvilər var. Hər bir düz xəttə və hər bir müstəviyə aid olan və aid olmayan nöqtələr var.
Bir düz xəttin üzərində olmayan üç nöqtədən bir və yalnəz bir müstəvi keçir.
Planimetriyanın bütün aksiomları və teoremləri fəzanın hər bir müstəvisində doğrudur.
İki müxtəlif müstəvinin ortaq nöqtəsi varsa, onlar bu nöqtədən keçən düz xətt boyunca kəsişirlər.
Fəzada hər bir müstəvi fəzanın bu müstəviyə aid olmayan nöqtələrini aşağıdakı şərt ödəyən iki
çoxluğa ayırır:
Eyni çoxluğa aid olan ixtiyari iki nöqtəni birləşdirən parça bu müstəvini kəsmir
b) Müxtəlif çoxluqlara aid olan istənilən iki nöqtəni birləşdirən parça müstəvini kəsir.
α
β
a
Düz xətt və ona aid olamayan nöqtədən bir və yalnəz bir müstəvi keçir.
İki kəsişən düz xətdən bir və yalnız bir müstəvi keçir.
Fəzada yalnız bir ortaq nöqtəsi olan iki düz xəttə kəsişən düz xətlər deyilir.
Bir müstəvi üzərində olan və kəsişməyən iki düz xəttə paralel müstəvilər deyilir.
Fəzada düx xətt xaricində götürülmüş nöqtədən həmin düz xəttə paralel bir və yalnız bir düz xətt keçir.
Eyni bir düz xəttə paralel olan iki düz xətt paraleldir.
Ortaq nöqtəsi olmayan düz xətt və müstəviyə paralel düz xətt və müstəvi deyilir.
Müstəvi üzərində olmayan düz xətt, müstəvi üzərindəki hər hansı bir düz xəttə paraleldirsə,
onda bu müstəvinin özünə də paraleldir.
Bir müstəvi ikinci müstəviyə paralel olan düz xətdən keçib və onu kəsərsə, alınan kəsişmə xətti verilən düz xəttə
paralel olar.
Bir müstəvi üzərində olmayan iki düz xəttə çarpaz düz xətlər deyilir.
İki düz xətdən biri ikincidən hər hansı bir müstəvini ikinci düz xəttə aid
olmayan nöqtədə kəsərsə, onda bu düz xətlər çarpazdır.
a
M
N
a
M
N
Uyğun tərəfləri eyniistiqamətli olan iki bucaq bərabərdir.
Uyğun tərəfləri paralel olan bucaqlar ya bərabərdir, ya da onların cəmi 1800-dir
a
b
a1
b1
İki paralel müstəvini üçüncü müstəvi kəsirsə, alınan kəsişmə xətləri paraleldir.
Paralel düz xətlərin paralel müstəvilər arasında qalan parçaları bərabərdir.
α
β
γ
a
b
A nöqtəsindən keçən və m-ə paralel olan düz xəttin α müstəvisi ilə kəsişmə
nöqtəsinə A nöqtəsinin α müstəvisi üzərində m istiqamətində proyeksiyası
deyilir.
A
A1
α
m
Fəzada perpendikulyar düz xətlər
Paralel düz xətlərdən birinə perpendikulyar olan düz xətt onların hər birinə perpendikulyardır.
Müstəvi üzərindəki hər bir düz xəttə perpendikulyar olan düz xəttə, müstəviyə perpendikulyar düz xətt,
müstəviyə isə düz xəttə perpendikulyar müstəvi deyilir.
Müstəvini kəsən düz xətt, onun üzərindəki iki kəsişən düz xəttə perpendikulyardırsa, müstəvinin özünə də
perpendikulyardır.
a
b
c
O
Fəzanın ixtiyari nöqtəsindən verilmiş müstəviyə perpendikulyar bir və yalnız
bir düz xətt keçirmək olar.
Paralel müstəvilərdən birinə perpendikulyar olan düz xətt,
o birinə də perpendikulyardır.
Perpendikulyar və mail . Düz xətt və müstəvi arasındakı bucaq.
Paralel proyeksiyada istiqamət proyeksiya müstəvisinə paralel olmayan düz xəttdir. Bu düz xətt xüsusi halda həmin
müstəviyə perpendikulyar da ola bilər. İstiqaməti proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olan paralel proyeksiyaya ortoqonal proyeksiya deyilir.
Qeyd: Bundan sonra “proyeksiya” dedikdə “ortoqonal proyeksiya” başa düşəcəyik.
Şəkildə ortoqonal proyeksiyada A,B,C nöqtələrinin A1,, B1 , C1 proyeksiyaları göstərilmişdir.
A
A1
M
mail
Perpendi-
kulyar
proyeksiya
A
A1
B
B1
C
C1
a
α
α
a
a
a
α
α
Fiqurlar arasındakı məsafə.
İki fiqur arasındakı məsafə onların nöqtələri arasındakı məsafələrin ən kiçiyinə deyilir.
.
O
A
M
a
b
.
.
O1
O2
A
B
.
a
A
B
O
Fəzada nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafə həmin nöqtədən bu müstəviyə çəkilmiş perpendikulyarın uzunluğuna deyilir.
B
A
a
A
B
-İki paralel müstəvi arasındakı məsafə bu müstəvilərdən birinin ixtiyari nöqtəsindən o birinə çəkilmiş perpendikulyarın
uzunluğuna bərabərdir.
A
B
-İki çarpaz düz xəttə perpendikulyar və onları kəsən bir və yalnız bir düz xətt vardır.
-Çarpaz düz xətlərin ortaq perpendikulyarının uzunluğuna bu çarpaz düz xətlər arsındakı məsafə deyilir.
-İki çarpaz düz xətt arasındakı məsafə bu çarpaz düz xətlərdən keçən və bir-birinə paralel olan müstəvilər arasındakı
məsafəyə bərabərdir.
Üç perpendikulyar teoremi.
Müstəvi üzərində olan düz xətt , mailin bu müstəvi üzərindəki proyeksiyasına perpendikulyardırsa , bu mailin özünə də perpendikulyardır.Tərsinə: Müstəvi üzərində olan düz xətt mailə perpendikulyardırsa , mailin bu müstəvi üzərindəki proyeksiyasına da perpendikulyardır.
til
a
üz
üz
üz
-İkiüzlü bucağın tilinə perpendikulyar olan müstəvi ilə kəsişməsindən alınan bucağa ikiüzlü bucağın xətti bucağı deyilir.
-İkiüzlü bucağın xətti bucağının qiymətinə ikiüzlü bucağın
qiyməti deyilir.
-İkiüzlü bucağın qiyməti 0°-dən 180°-yə qədər olur.
-İki müstəvinin kəsişməsindən alınan ikiüzlü bucaq 90° olduqda,
müstəvilərə perpendikulyar müstəvilər deyilir.
-Perpendikulyar olmayan iki müstəvinin kəsişməsindən alınan iküzlü
bucaqların qiymətcə kiçiyinə bu müstəvilər arasındakı bucaq deyilir.
-Paralel müstəvilər arasındakı bucaq 0° qəbul olunur.
α
A
B
C
A1
Və yaxud
Müstəvi fiqurun ortoqonal proyeksiyasının sahəsi
onun öz sahəsinin bu fiqurun müstəvisi ilə proyeksiya müstəvisi
arasındakı bucağın kosinusu hasilinə bərabərdir.
Perpendikulyar müstəvilər
Kəsişən iki müstəvi arasındakı bucaq düz bucaq olarsa, onlara perpendikulyar müstəvilər deyilir və belə yazılır α┴β
Əgər iki müstəvidən biri, o biri müstəviyə perpendikulyar düz xətdən keçərsə, onda bu müstəvilər perpendikulyardır.
α
β
c
α┴c olduğundan, α┴β olar.
Qarşılıqlı perpendikulyar iki müstəvidən birinin
üzərində, onların kəsişmə xəttinə
perpendikulyar çəkilmiş düz xətt,
ikinci müstəviyə perpendikulyardır.
S
a1
a2
a3
Üçüzlü bucağın hər bir müstəvi bucağı onun qalan
müstəvi bucaqlarının cəmindən kiçikdir.
Üçüzlü bucağın hər bir müstəvi bucağı o biri müstəvi
bucaqların fərqindən böyükdür.
Ortaq S təpəsi olan və ortaq tərəfli bucaqları bir müstəvi üzərində olmayan (a1a2) , (a2a3) , (a3a4) ... (ana1) müstəvi
bucaqlarının əmələ gətirdiyi fiqura çoxüzlü bucaq deyilir.
S
a1
a2
a3
a4
a5
Çoxüzlü bucağın bütün müstəvi bucaqlarının cəmi 360°-dən
kiçikdir
Səthi sonlu sayda müstəvi çoxbucaqlılardan ibarət olan cismə çoxüzlü deyilir.
Çoxüzlünün səthini təşkil edən müstəvi çoxbucaqlılara çoxüzlünün üzləri deyilir.Çoxbucaqlıların tərəflərinə
çoxüzlünün tilləri , təpələrinə isə çoxüzlünün təpələri deyilir.
tetraedr
pentaedr
heksaedr
Bir üzə aid aid olmayan iki təpəni birləşdirən parçaya çoxüzlünün diaqonalı deyilir. Düzgün tetraedrin diaqonalı yoxdur.
Kubun isə dörd diaqonalı var.
Prizma
Sonsuz prizmanın onu kəsən iki paralel müstəvi arasında qalan hissəsi və
kəsişmədən alınan iki
çoxbucaqlıdan ibarət çoxüzlüyə prizma deyilir.
Bu çoxbucaqlılara prizmanın oturacaqları deyilir.
A
C
B
A
M
D
N
C
A
A1
B1
C1
C
D
B
D1
X1
X
B1
C1
D1
D
E
A
B
A1
E1
Oturacağı düzgün çoxbucaqlı olan düz prizmaya düzgün prizma deyilir.
Sonsuz prizmanın yan tilinə perpendikulyar müstəvi ilə kəsişməsindən
alınan çoxbucaqlıya onun perpendikulyar kəsiyi deyilir.
Prizmaının yan səthinin sahəsi onun perpendikulyar kəsiyinin perimetri ilə yan tilinin uzunluğu hasilinə bərabərdir.
Düz prizmanın yan səthinin sahəsi onun oturacağının perimetri ilə hündürlüyü (yan tili) hasilinə bərabərdir.
A
A1
D
C
C1
B1
B
D1
Oturacağı düzbucaqlı olan düz paralelepipedə düzbucaqlı paralelepiped deyilir.
Tam səthi tapmaq üçün yan səthin sahəsinə oturacaqların sahələrini
Əlavə etmək lazımdır.
Stam=Syan+2Sot
O
O
A1O=OC və B1O=OD
Düzbucaqlı paralelepipedin bütün üzləri düzbucaqlıdır. Onun 12 tili var. Bir təpədən çıxan tillərinə onun ölçüləri deyilir. Bu
Ölçülər en (a) , uzunluq (b) və hündürlük (c vəya h) adlanır.
Düzbucaqlı paralelepipedin tillərindəki bütün ikiüzlü bucaqlar düz ikiüzlü bucaqlar və təpələrindəki ikiüzlü bucaqların
müstəvi bucaqları düz bucaqlardır. Onun bütün tillərinin uzunluqları cəmi: L =4(a+b+c)
Yan səthinin sahəsi : Syan=2(ac+bc)
Tam səthinin sahəsi: Stam=2(ab+ac+bc)
Diaqonalı: d2=a2+b2+c2
Həcmi: V=abc və ya V=Sot.h
Düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalları bir nöqtədə kəsişir və həmin nöqtədə yarıya bölünür.
Düzbucaqlı paralelepipedin diaqonalının kvadratı onun bir təpədən çıxan tillərinin kvadratları cəminə brabərdir.
Ölçüləri bərabər olan düzbucaqlı paralelepipedə kub (heksaedr) deyilir. Kub üçün L=12a
Syan=4a2
Stam=6a2
Bir çoxüzlü bucaq götürək və onun bütün tillərini kəsən müstəvi keçirək. Onda çoxüzlü bucaöın S təpəsinin aid olduğu
Yarımfəzada SABCDEF çoxüzlüsü alınır.Bu çoxüzlünün bir üzü ABCDEF çoxbucaqlısı (çoxüzlü bucaqla müstəvinin
kəsişməsi) , qalan üzləri isə bir təpəsi S olan ortaq təpəli üçbucaqlardır: ASB , BSC , ... ,FSA.Belə çoxüzlülər piramida
adlanır.
Bir üzü hər hansı çoxbucaqlı , qalan üzləri ortaq təpəli üçbucaqlar olan çoxüzlüyə piramida deyilir.
Ortaq təpəli üçbucaqlara piramidanın yan üzləri , onların birləşməsinə piramidanın yan səthi , çoxbucaqlıya piramida-
nın oturacağı , bütün yan üzlərin ortaq nöqtəsinə piramidanın təpəsi , yan üzlərin ortaq tərəflərinə piramidanın yan
tilləri , təpədən oturacaq müstəvisinə çəkilmiş perpendikulyara isə piramidanın hündürlüyü deyilir.
Piramida oturacağındakı çoxbucaqlının adı ilə adlandırılır. Üçbucaqlı , dördbucaqlı , ... , n – bucaqlı piramida.
Yan üzdə təpədən oturacağın tərəfinə çəkilmiş hündürlüyə apofem deyilir.
SM apofem-dir
Oturacağı düzgün çoxbucaqlı və hündürlüyünü oturacağı
bu çoxbucaqlının mərkəzi olan piramidaya
düzgün piramida deyilir.
O
A
B
C
D
E
F
oturacaq
yan üz
hündürlük
təpə
til
S
M
K
φ
A1
S
A2
A3
Piramidanın oturcağına paralel və onu kəsən müstəvi:
1)Piramidanın yan tillərini və hündürlüyünü mütənasib parçalara bölür;
2)kəsikdə alınan çoxbucaqlı oturacağa oxşardır və oxşarlıq əmsalı onların
təpədən olan məsafələri nisbətinə bərabərdir;
3)kəsiyin və oturacağın sahələri nisbəti oxşarlıq əmsalının kvadratına, yaxud onların təpədən olan məsafələrinin
kvadratları nisbətinə bərabərdir;
Piramidanın oturacağına paralel və onu kəsən müstəvi ilə oturacağı arasında qalan çoxüzlüyə kəsik piramida deyilir.
Düzgün piramidanı oturacağına paralel müstəvi ilə kəsdikdə alınan kəsik piramidaya düzgün kəsik piramida deyilir.
Sortoqonal=Syan·cosφ
Kəsik piramida
h isə piramidanın apofemidir
Stam=Salt+Süst+Syan
Düzgün kəsik piramidanın xassələrini yada salaq;
1) Yan tilləri bərabərdir;
2) Yan üzləri bərabərdir ;
3) Apofemləri bərabərdir ;
4) Oturacağı tərəfindəki ikiüzlü bucaqlar bərabərdir ;
5) Yan tildəki ikiüzlü bucaqlar bərabərdir ;
6) Ox üzərindəki nöqtə hər oturacağın təpələrindən bərabər məsafədədir ;
7) Düzgün kəsik piramidada L yan til, R alt oturacağın, R1 üst oturacağın xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusları,
H isə hündürlük olarsa, L2=(R-R1)2+H2 olar.
Kəsik piramidada bir üz üzərində olmayan iki yan tilindən keçən müstəvi ilə kəsiyinə diaqonal kəsiyi dyilir.
B
B1
C1
C
A
E
M
L
a
d
O
O1
Düzgün tetraedr Düzgün tetraedrin açılışı
Düzgün heksaedr (kub) Düzgün heksaedrin (kubun) açılışı
h1
h2
h1
h2
h1
h2
h3
a
a
b
h1
h2
h3
Fəzada istiqamətlənmiş parçaya vektor deyilir.
Başlanğıcı və sonu üst-üstə düşən vektora sıfır vektor deyilir.
Uzunluqları bərabər və istiqamətləri eyni olan vektorlara bərabər vektorlar deyilir.
İstiqamətləri eyni və ya əks olan vektorlara kollinear vektorlar deyilir.
Deməli, başlanğıclarını bir nöqtəyə köçürdükdə
bir düz xətt üzərində yerləşən vektorlar kollinear vektorlardır.
Kollinear vektorlar ya bir düz xətt üzərində olurlar və ya bir düz xəttə paralel olurlar.
Vektorların kollinearlığını müəyyən etmək üçün düz xəttin müstəviyə
perpendikulyarlığından istifadə etmək olar.
Fəzada bir müstəviyə perpendikulyar olan vektorlar kollineardır.
vektorlarının cəmi deyilir.
və yazılır.
Vektorların toplanmasının üçbucaq qaydası deyilir.
İstiqamətləri əks və modulları bərabər olan vektorlara əks vektorlar deyilir.
-
a və b vektorlarının fərqi elə c vektoruna deyilir ki,
onu b vektoru ilə topladıqda a vektoru alınsın.
Tərəfləri a və b vektorları olan paraleloqramın bir diaqonalı
O biri diaqonalı
bərabərdir.
Vektorun ədədə vurulması
Sıfır olmayan a vektorunun sıfırdan fərqli m ədədinə hasili
elə vektora deyilir ki, bu vektorun uzunluğu
bərabərdir.
m>0 olduqda a vektoru ilə eyniistiqamətli, m<0 olduqada isə a vektoru ilə əksistiqamətlidir.
Sıfır ədədi ilə istənilən vektorun hasili sıfır vektor qəbul olunmuşdur.
və
vektorları kollineardırsa, onda elə yeganə k ədədi var ki,
və tərsinə,
və
vektorları üçün
bərabərliyi ödənirsə, onda onlar kollineardırlar.
Bir müstəviyə paralel və ya bir müstəvi üzərində olan vektorlara komplanar vektorlar deyilir.
,
və
komplanar vektorlar,
və
isə kollinear olmayan vektorlar olarsa,
vektorunu
şəklində yeganə qaydada gostərmək olar.
İstənilən x və y ədələri üçün
,
və
vektorları komplanardır.
Fəzada istənilən
vektorunu komplanar olmayan üç
,
və
vektorları üzrə ayırmaq olar və bu ayrılış yeganədir:
Vektorun koordinatları
Oxyz kordinat fəzası götürək. Koordinat başlanğıcından çıxan vektoruna radius- vektor deyilir.
Vektorun uc nöqtəsinin koordinatlarına vektorunun koordinatları deyilir.M(x0,y0,z0) olduqda
kimi yazılır. Ox , Oy və Oz koordinat oxlarının müsbət istiqaməti üzrə yönələn , koordinat başlanğıcından çıxan və
Uzunluğu vahidə bərabər olan
vektorlarını götürək.
Koordinat başlanğıcından çıxan, koordinat oxlarının müsbət istiqaməti üzrə yönələn və uzunluğu vahidə bərabər olan
vektorlarına bazis vektorlar, onların üçlüyünə isə fəzanın bazisi deyilir.
. Yəni vektoru ədədə vurmaq üçün onun koordinatlar-
ını həmin ədədə vurmaq lazımdır.
Parçanın orta nöqtəsinin koordinarları
A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2) və C(x,y,z) nöqtələri üçün C nöqtəsi AB parçasının orta nöqtəsidirsə,
,
,
olar.
İki nöqtə arasındakı məsafə.Vektorun uzunluğu.
A(x1,y1,z1) və B(x2,y2,z2) nöqtələri arasındakı məsafə aşağıdakı düsturla hesablanır.
Müstəvi üzərində olduğu kimi fəza koordinat sistemində də iki vektorun skalyar hasili onların uyğun koordinatları
hasilinin cəminə bərabərdir.
Sıfır olmayan iki vektorun skalyar hasili yalnız sıfra bərabər olduqda , onlar qarşılıqlı perpendikulyardır.
Müstəvinin tənliyi
Fəzanın hər bir müstəvisi üçdəyişənli birdərəcəli tənliklə təyin olunur.Həmçinin, hər bir üçdəyişənli xətti tənlik fəzada
bir müstəviyə uyğundur. Müstəvinin ümumi tənliyi aşağıdakı kimidir.
ax+by+cz+d=0
a=b=d=0 olarsa, z=0 olar. Bu (xy) müstəvisinin tənliyidir.
a=b=0 olasa, cz+d=0, z=-d/c . Bu (xy) müstəvisinə paralel və applikatı z=-d/c olan müstəvinin tənliyidir.
a=c=d=0 olarsa, y=0 olar. Bu (xz) müstəvisinin tənliyidir.
a=c=0 olarsa, by+d=0, y=-d/b .Bu (xz) müstəvisinə paralel və ordinatı y=-d/b olan müstəvinin tənliyidir.
b=c=d=0 olarsa,x=0 olar. Bu (yz) müstəvisinin tənliyidir.
x
y
z
Z=0
Z=-1
Z=3
3
0
-1
Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:
Email: Нажмите что бы посмотреть
Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.
