однородные уравнения 1-ого порядка.
III. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка.
IV. Линейные однородные дифференциальные
уравнения 2-ого порядка с постоянными
коэффициентами.
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными презентация
Содержание
- 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- 2. I. Примеры Найти общий интеграл.
- 3. Перепишем уравнение, заменив на - общий интеграл 2.
- 4. - общий интеграл Приведем уравнение к уравнению
- 5. 4. Найти частный интеграл
- 6. - общее решение Используя начальное условие, подставляем
- 7. Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно
- 8. Интегрируем: здесь Пример. Найти общее решение. Здесь и тогда - искомое общее решение
- 9. III. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение
- 10. Пример.
- 11. которое получается из уравнения (1) заменой в
- 12. где и
- 13. Общее решение имеет вид: Примеры выделения чисел
- 14. Примеры интегрирования уравнений 1. Характеристическое уравнение: Имеем
- 15. 3. Характеристическое уравнение: Имеем случай 3). Общее
- 16. Общее решение: В эти 2 равенства подставляем
Слайд 1Дифференциальные уравнения (продолжение)
План лекции
I. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными (примеры)
II. Линейные
Слайд 2I. Примеры
Найти общий интеграл.
Поделим обе части на
чтобы разделить переменные.
Проинтегрируем обе
части:
- общий интеграл
После нехитрых преобразований можно разрешить это уравнение относительно
y и получить общее решение.
1.
Слайд 4- общий интеграл
Приведем уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, вынося
общие множители
за скобки:
3.
Слайд 5
4. Найти частный интеграл уравнения
удовлетворяющий начальному условию
Найдем вначале
общий интеграл.
Слайд 6- общее решение
Используя начальное условие, подставляем в общее решение значения
Найденное значение
константы
подставляем в общее решение
- искомое частное решение
Слайд 7Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно
линейно (т.е. первой степени) относительно
искомой функции и её
производной
производной
II. Линейные однородные дифференциальные уравнения 1-ого порядка.
Общий вид линейного уравнения:
Рассмотрим случай однородного уравнения, когда
, т.е.:
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными:
Слайд 9III. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Уравнение вида
решается последовательным n-кратным интегрированием.
Умножаем обе части уравнения на dx:
Интегрируем:
Получаем уравнение (n-1)-го порядка:
,где первообразная для f(x)
Снова умножаем обе части на dx и интегрируем:
или
и т.д.
Общее решение будет зависеть от n произвольных констант
Умножаем обе части уравнения на dx:
Интегрируем:
Получаем уравнение (n-1)-го порядка:
,где первообразная для f(x)
Снова умножаем обе части на dx и интегрируем:
или
и т.д.
Общее решение будет зависеть от n произвольных констант
Слайд 11которое получается из уравнения (1) заменой в нём производных искомой
функции соответствующими
степенями , причём сама функция
заменяется единицей.
заменяется единицей.
в котором все члены имеют первую степень относительно функции и её
производных, а коэффициенты
IV. Линейные однородные дифференциальные уравнения II-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Такими уравнениями называются уравнения вида:
(1)
- постоянные
Для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое
уравнение:
(2)
Слайд 12где и -
линейно независимые частные решения уравнения (1),
а и - произвольные постоянные.
а и - произвольные постоянные.
Общее решение имеет вид
Строится общее решение в зависимости от дискриминанта
квадратного уравнения (2):
В этом случае имеем 2 различных действительных корня и ,
и общее решение имеет вид:
3)
В этом случае имеем пару комплексных сопряженных корней
где - мнимая единица, и -
действительные числа.
1)
2)
В этом случае имеем единственный действительный корень , и общее
решение имеет вид:
Слайд 14Примеры интегрирования уравнений
1.
Характеристическое уравнение:
Имеем случай 1)
- общее решение
2.
Характеристическое уравнение:
Имеем случай 2).
Общее решение запишется:
Слайд 153.
Характеристическое уравнение:
Имеем случай 3).
Общее решение:
4. Найти частное решение уравнения
с начальными условиями
Найдём общее решение. Характеристическое уравнение:
имеем 2 комплексных корня
Слайд 16Общее решение:
В эти 2 равенства подставляем 2 начальных условия
Найденные значения
и подставляем в общее решение :
- искомое частное решение.
