- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Численное решение нелинейных уравнений презентация
Содержание
- 1. Численное решение нелинейных уравнений
- 2. Преподаватель Дмитрий Игоревич Балашов
- 3. Дисциплина состоит из 6 модулей: Численное решение
- 4. Численное решение нелинейных уравнений
- 5. Общий вид нелинейного уравнения f(x)=0
- 6. Существуют различные методы решения нелинейных уравнений
- 7. Трансцендентные уравнения Пример: Или после преобразования:
- 8. Для решения таких уравнений можно использовать графический метод:
- 9. Недостаток графического метода: Низкая точность получаемого результата.
- 10. Теорема о существовании корней уравнения f(x)=0
- 11. Графическая интерпретация теоремы о существовании корней
- 12. Обратная теорема не верна
- 13. Большинство численных методов основаны на этой теореме
- 14. Метод половинного деления (метод дихотомии, метод бисекции)
- 15. Алгоритм метода: Отрезок ab делится пополам
- 16. Графическая интерпретация метода:
- 17. Блок-схема метода половинного деления
- 18. ДОСТОИНСТВА метода Простота метода Устойчивость метода
- 19. Метод хорд Исходные данные для реализации метода: f(x)=0 [a, b] E
- 20. Алгоритм метода: Отрезок ab делится на
- 21. Графическая интерпретация метода:
- 22. Блок-схема метода хорд
- 23. ДОСТОИНСТВА метода Простота метода Устойчивость метода
- 24. Метод касательных (метод Ньютона) Исходные данные для
- 25. Алгоритм метода: В точке x0 к
- 26. Графическая интерпретация метода:
- 27. Блок-схема метода касательных
- 28. ДОСТОИНСТВО метода Высокая скорость сходимости
- 29. Метод секущих Метод секущих является модификацией
- 30. Алгоритм метода: Алгоритм аналогичен предыдущему методу,
- 31. ДОСТОИНСТВА метода Высокая скорость сходимости Нет
Преподаватель
Дмитрий
Игоревич
Балашов
Слайд 3Дисциплина состоит из 6 модулей:
Численное решение нелинейных уравнений.
Численное решение СЛАУ.
Численное решение
СНУ.
Численное интегрирование.
Интерполяция и аппроксимация функций.
Численное решение ОДУ.
Форма отчетности – ЗАЧЕТ
Численное интегрирование.
Интерполяция и аппроксимация функций.
Численное решение ОДУ.
Форма отчетности – ЗАЧЕТ
Слайд 6Существуют различные методы решения нелинейных уравнений
Наиболее распространенный:
аналитический метод
Слайд 9Недостаток графического метода:
Низкая точность получаемого результата.
Также для решения подобного рода уравнений
можно использовать численные методы
Слайд 10Теорема
о существовании корней уравнения f(x)=0
Если на концах интервала [a, b] функция
f(x) имеет разные знаки, то это значит, что в интервале [a, b] уравнение f(x)=0 имеет хотя бы один корень.
Слайд 13Большинство численных методов основаны на этой теореме
В дальнейшем примем допущение о
том, что на интервале [a, b] имеется только один корень уравнения f(x)=0
Слайд 14Метод половинного деления
(метод дихотомии,
метод бисекции)
Исходные данные для реализации метода:
f(x)=0
[a, b]
E
Слайд 15Алгоритм метода:
Отрезок ab делится пополам точкой с.
Рассчитываются значения функции f(x) в
точках a, b и c.
Один из отрезков ac или cb, на концах которого функция f(x) имеет одинаковые знаки, отбрасывают и далее продолжают работать с оставшимся отрезком.
Процесс повторяется до тех пор, пока длина оставшегося отрезка не станет меньше величины точности Е.
|a-b|
В этом случае за корень уравнения можно принять середину полученного отрезка
x=(a+b)/2
Один из отрезков ac или cb, на концах которого функция f(x) имеет одинаковые знаки, отбрасывают и далее продолжают работать с оставшимся отрезком.
Процесс повторяется до тех пор, пока длина оставшегося отрезка не станет меньше величины точности Е.
|a-b|
В этом случае за корень уравнения можно принять середину полученного отрезка
x=(a+b)/2
Слайд 18ДОСТОИНСТВА метода
Простота метода
Устойчивость метода
НЕДОСТАТОК метода
Низкая скорость сходимости
Слайд 20Алгоритм метода:
Отрезок ab делится на 2 отрезка точкой с. Точка с
является точкой пересечения оси абсцисс ОХ с хордой, соединяющей точки f(a) и f(b).
Рассчитываются значения функции f(x) в точках a, b и c.
Один из отрезков ac или cb, на концах которого функция f(x) имеет одинаковые знаки, отбрасывается и далее продолжают работать с оставшимся отрезком.
Процесс повторяется до тех пор, пока длина оставшегося отрезка не станет меньше величины точности Е.
|a-b|В этом случае за корень уравнения можно принять середину полученного отрезка
x=(a+b)/2
Рассчитываются значения функции f(x) в точках a, b и c.
Один из отрезков ac или cb, на концах которого функция f(x) имеет одинаковые знаки, отбрасывается и далее продолжают работать с оставшимся отрезком.
Процесс повторяется до тех пор, пока длина оставшегося отрезка не станет меньше величины точности Е.
|a-b|
x=(a+b)/2
Слайд 23ДОСТОИНСТВА метода
Простота метода
Устойчивость метода
Более высокая скорость сходимости
НЕДОСТАТОК метода
Для некоторых частных случаев
метод не применим
Слайд 25Алгоритм метода:
В точке x0 к графику функции f(x) проводится касательная.
Находится
более точное значение x – это точка пересечения касательной с осью абсцисс ОХ.
Таким образом каждая последующая точка будет лежать ближе к истинному решению, чем предыдущая.
Последующая точка рассчитывается через предыдущую по формуле
xi+1=xi-f(xi)/f ’(xi)
Процесс повторяется до тех пор, пока разность между последующей и предыдущей точкой не станет меньше величины точности Е
|xi+1-xi|
В этом случае за корень уравнения можно принять последнюю найденную точку xi.
Таким образом каждая последующая точка будет лежать ближе к истинному решению, чем предыдущая.
Последующая точка рассчитывается через предыдущую по формуле
xi+1=xi-f(xi)/f ’(xi)
Процесс повторяется до тех пор, пока разность между последующей и предыдущей точкой не станет меньше величины точности Е
|xi+1-xi|
В этом случае за корень уравнения можно принять последнюю найденную точку xi.
Слайд 28ДОСТОИНСТВО метода
Высокая скорость сходимости
НЕДОСТАТКИ метода
Необходимость задавать производную функции в аналитическом виде
Метод
является неустойчивым
Слайд 29Метод секущих
Метод секущих является модификацией метода касательных
Исходные данные для реализации метода:
f(x)
x0
E
Слайд 30Алгоритм метода:
Алгоритм аналогичен предыдущему методу, но производная функции вычисляется по приближенной
формуле:
где Δx – малая величина. Как правило за эту величину принимают величину точности Е:
где Δx – малая величина. Как правило за эту величину принимают величину точности Е:
Слайд 31ДОСТОИНСТВА метода
Высокая скорость сходимости
Нет необходимости задавать производную функции в аналитическом виде
НЕДОСТАТОК
метода
Метод является неустойчивым
Метод является неустойчивым
