- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Функции нескольких переменных презентация
Содержание
- 1. Функции нескольких переменных
- 2. §1. Понятие функции нескольких переменных Если каждой
- 3. При этом переменные x и y
- 4. Линию, ограничивающую область, называют границей области.
- 5. Значение функции
- 6. Графиком функции называется поверхность, образованная
- 8. Пример Найти область определения функции: Решение.
- 10. Функция двух переменных, как и функция одной
- 11. Величина u называется функцией n переменных
- 12. Линии уровня Линией уровня функции
- 13. Многие примеры линий уровня хорошо известны и
- 14. §2. Предел и непрерывность функции 2-х переменных
- 15. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
- 16. Записывают Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной.
- 17. Опр. Функция
- 18. Геометрический смысл непрерывности очевиден: график в точке
- 19. §3. Частные производные ФНП Частным приращением функции
- 20. Частным приращением функции
- 21. Частной производной первого порядка функции нескольких переменных
- 22. Для функции двух переменных по определению
- 23. При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все другие аргументы постоянными.
- 24. Пример Найти частные производные первого порядка
- 26. Считая x постоянной и дифференцируя z как
- 27. Частные производные второго порядка Частными производными
- 28. Обозначения частных производных второго порядка:
- 29. Аналогично определяются и обозначаются частные производные
- 30. §4. Полный дифференциал ФНП Пусть функция
- 31. Полный дифференциал функции можно найти по формуле
- 32. Пример. Найти полный дифференциал функции Решение.
- 33. Для функций произвольного числа переменных формула (1)
§1. Понятие функции нескольких переменных Если каждой упорядоченной паре чисел (x;y) из некоторого числового множества поставлено в
Слайд 2§1. Понятие функции нескольких переменных
Если каждой упорядоченной паре чисел (x;y) из
некоторого числового множества
поставлено в соответствие согласно некоторому правилу f число z из множества Z, то говорят, что на множестве
D задана функция двух переменных
поставлено в соответствие согласно некоторому правилу f число z из множества Z, то говорят, что на множестве
D задана функция двух переменных
Слайд 3 При этом переменные x и y называются независимыми переменными (или
аргументами).
Множество
называется областью определения, а множество
– множеством значений функции.
Областью определения может быть вся плоскость OXY, или ее часть, ограниченная некоторыми линиями.
Множество
называется областью определения, а множество
– множеством значений функции.
Областью определения может быть вся плоскость OXY, или ее часть, ограниченная некоторыми линиями.
Слайд 4 Линию, ограничивающую область, называют границей области.
Точки области, не лежащие на
границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой.
Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается D .
Примером замкнутой области является круг с окружностью.
Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается D .
Примером замкнутой области является круг с окружностью.
Слайд 5
Значение функции в точке обозначают
и называют частным значением функции.
Пример.
Найти значение функции
в точке
Решение.
Пример.
Найти значение функции
в точке
Решение.
Слайд 6 Графиком функции
называется поверхность, образованная множеством точек пространства с координатами
для всех
Слайд 8Пример
Найти область определения функции:
Решение.
Построим линию
Это окружность с центром в точке и
радиусом
Слайд 10 Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана
разными способами:
- таблицей,
- аналитически,
- графиком.
Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.
- таблицей,
- аналитически,
- графиком.
Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.
Слайд 11 Величина u называется функцией n переменных
если каждой совокупности переменных
из некоторой области n-мерного пространства соответствует определенное значение u, что символически записывается
из некоторой области n-мерного пространства соответствует определенное значение u, что символически записывается
Слайд 12 Линии уровня
Линией уровня функции
называется множество всех точек плоскости OXY , в которых функция z принимает постоянное значение, т. е. где C – постоянная.
Число C в этом случае называется уровнем.
Число C в этом случае называется уровнем.
Слайд 13 Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны.
Например, параллели и
меридианы на глобусе — это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображением изотерм — линий уровня температуры.
Построение линий уровня оказывается существенно более легкой задачей, чем построение графиков самих функций.
Построение линий уровня оказывается существенно более легкой задачей, чем построение графиков самих функций.
Слайд 14§2. Предел и непрерывность функции 2-х переменных
ОПР. -окрестностью точки
называется множество всех точек
плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству
Т.е. -окрестность точки – это круг радиуса , с центром в точке
плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству
Т.е. -окрестность точки – это круг радиуса , с центром в точке
Слайд 15 Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме быть может самой
точки.
Опр. Число A называется пределом функции при и , если для любого , найдется положительное число , такое, что для всех и , удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
Опр. Число A называется пределом функции при и , если для любого , найдется положительное число , такое, что для всех и , удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
Слайд 16 Записывают
Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной
переменной.
Слайд 17 Опр. Функция называется непрерывной в
точке , если она:
1) определена в этой точке и некоторой ее окрестности;
2) имеет конечный предел
3) этот предел равен значению функции z в точке
1) определена в этой точке и некоторой ее окрестности;
2) имеет конечный предел
3) этот предел равен значению функции z в точке
Слайд 18 Геометрический смысл непрерывности очевиден: график в точке представляет собой сплошную,
нерасслаивающуюся поверхность.
ОПР. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.
ОПР. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.
Слайд 19§3. Частные производные ФНП
Частным приращением функции
по независимой переменной x, соответствующим
приращению переменной x, называется разность
Слайд 20 Частным приращением функции
по независимой переменной y, соответствующим приращению
переменной y, называется разность
Полным приращением функции соответствующим приращениям аргументов и называется разность
Полным приращением функции соответствующим приращениям аргументов и называется разность
Слайд 21 Частной производной первого порядка функции нескольких переменных по одной из этих
переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю.
Слайд 22 Для функции двух переменных
по определению частная производная по x равна
частная
производная по y равна
Слайд 23 При нахождении частной производной пользуются правилами дифференцирования функции одной переменной, считая
все другие аргументы постоянными.
Слайд 24Пример
Найти частные производные первого порядка
Решение. Считая y постоянной и дифференцируя данную
функцию как функцию переменной x, находим частную производную по x:
Слайд 26 Считая x постоянной и дифференцируя z как функцию переменной y, находим
частную производную по y:
Слайд 27Частные производные второго порядка
Частными производными второго порядка функции называются
частные производные, если они существуют, от ее частных производных первого порядка.
Слайд 29 Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков.
Частные производные называются смешанными производными.
Если функция дважды дифференци-руема в некоторой точке, то в этой точке смешанные производные равны.
Если функция дважды дифференци-руема в некоторой точке, то в этой точке смешанные производные равны.
Слайд 30§4. Полный дифференциал ФНП
Пусть функция определена в некоторой
окрестности точки составим полное приращение функции в точке
Слайд 33 Для функций произвольного числа переменных формула (1) принимает вид
Для приближенных вычислений
используют формулу
