Аналитическая геометрия на плоскости презентация

- вектор нормали

3. Уравнение прямой « в отрезках»

- каноническое уравнение

- направляющий вектор

5. Параметрические уравнения

6. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

и

Угловой коэффициент - это тангенс угла наклона прямой.
Угол отсчитывается от положительного направления оси OX

8. Уравнение прямой с угловым
коэффициентом

Решение.

Нам задано уравнение прямой общего вида

-вектор нормали

Сравнивая с заданным уравнением, получаем координаты
вектора нормали Так как все параллельные прямые
можно охарактеризовать одним вектором нормали, то можно составить
уравнение параллельной прямой, проходящей через данную
в условии точку. За основу берем уравнение

-направляющий вектор

Найдем угловой коэффициент

. Построить прямую.

Из канонического уравнения заданной прямой можно определить
ее направляющий вектор

Поскольку для всех параллельных прямых можно взять один и тот же направляющий вектор, то берем за основу каноническое уравнение

и подставляем в него координаты точки
и направляющего вектора

Это уравнение можно преобразовать к уравнению
общего вида и к уравнению с угловым коэффициентом

угловой коэффициент

- вектор нормали

В данном случае прямая задана уравнением с известным
угловым коэффициентом y=kx+b. K=3

Все параллельные прямые имеют один угловой коэффициент.
Т.о. нам известна точка на прямой и угловой коэффициент.
Берем уравнение

Записав уравнение в виде

, определим вектор нормали

и направляющий вектор

Для построения прямой используем таблицу

Таким образом, получили общее уравнение прямой, из которого
определяем вектор нормали

Из канонического уравнения можно перейти к уравнению
с угловым коэффициентом

Прямая задана параметрическими
уравнениями, из которых найдем
направляющий вектор

Получили общее уравнение прямой, из которого

,

Записав уравнение в виде

найдем угловой коэффициент

,

Из условия перпендикулярности прямых
можно найти угловой коэффициент перпендикулярной прямой

Теперь берем уравнение прямой с угловым коэффициентом и
подставляем координаты точки и значение углового коэффициента

Или

- общее уравнение

,

Для нахождения точки пересечения нужно решить систему,
составленную из уравнений этих прямых, например

Систему можно решить методом Крамера

Точка пересечения

2. Если прямые заданы каноническими уравнениями, то угол между
прямыми – это угол между направляющими векторами

3. Если прямые заданы угловыми коэффициентами, то находят тангенс угла

Расстояние от точки до прямой

Для нахождения расстояния от точки до прямой нужно координаты точки
Подставить в левую часть уравнения прямой, разделить на длину
вектора нормали и полученное значение взять по абсолютной величине.

Уравнение прямой должно быть приведены к общему виду

Тогда вектор нормали этой прямой

Используем формулу

2. Найти расстояние от точки до прямой

Приведем сначала уравнение прямой к общему виду

или

. Теперь можно использовать формулу

Уравнение кривой 2-го порядка

квадратичная часть

линейная часть

В дальнейшем будем рассматривать уравнения кривых,
в которых отсутствует произведение

.

К кривым 2-го порядка относятся :
окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Основная задача состоит в умении по уравнению определить
тип кривой, привести само уравнение к каноническому
виду и построить кривую в системе координат.

Уравнение окружности со смещенным центром

Уравнение окружности с центром в начале координат

В уравнение окружности входят квадраты переменных,
причем коэффициенты при квадратах и знаки
при них одинаковые.

!

1.

2.

3.

4.

5.

6.

центр окружности,

радиус окружности

Каноническое уравнение эллипса

причем

вершины эллипса

фокусы эллипса

большая ось эллипса

малая ось эллипса

фокусное расстояние

В уравнение эллипса входят квадраты переменных,
причем знаки при квадратах одинаковые, а коэффициенты
при квадратах разные.

!

, то большой осью будет ось

, фокусы эллипса будут
лежать на этой оси и связь
между параметрами эллипса
будет такой:

.

.

Полуоси

Расстояние между фокусами

, т.е.

Можно найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом по формуле

Для данного примера получим

.

.

2) Убираем в знаменатель коэффициенты из числителей

Получили уравнение эллипса, из которого определяем положение
центра и размеры полуосей

- центр эллипса

- полуоси

3) Строим эллипс

, т.е.

3.

Используем прием выделения полного квадрата согласно формуле

1.

2.

3.

4.

5.

6.

центр

полуоси

,

,

действительная полуось

мнимая полуось

Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат

В этом случае

Фокусы гиперболы всегда лежат на действительной оси.
Связь между параметрами гиперболы определяется соотношением

В уравнение гиперболы входят квадраты переменных, причем знаки при квадратах разные.

!

Асимптоты гиперболы – это прямые к которым гипербола неограниченно приближается на бесконечности.

или

Гипербола со смещенным центром

Гипербола, приведенная к своим асимптотам

или

Данное уравнение определяет гиперболу, так как знаки при квадратах
переменных разные. Кроме того, данная гипербола
является сопряженной и равнобочной

Можно записать уравнение в виде

мнимая полуось

действительная
полуось

Оставляем только нижнюю ветвь гиперболы, так как по условию

центр гиперболы

действительная полуось

мнимая полуось

Виды парабол

Парабола с осью симметрии OX

Парабола c осью симметрии OY

Отличительные признаки уравнения параболы:
отсутствует квадрат одной переменной.

!

Вершина параболы в точке

Ветви параболы направлены в положительном направлении оси OX,
так как в правой части уравнения знак “плюс”.

ширина параболы

параметр параболы

Ветви параболы направлены влево, так как в правой части уравнения
получился знак “минус”

параметр параболы

Так как по условию , то уравнение определяет только
верхнюю ветвь параболы

. Ось симметрии OY. Ветви направлены вниз.

параметр параболы

или

вершина параболы

параметр параболы

Ветви параболы направлены вниз