Для этого вводят понятия уравнения линии или поверхности.
Уравнением линии или поверхности называют уравнение, которому удовлетворяют координаты всех ее точек и только они.
Мы будем рассматривать линии и поверхности, которым соответствуют уравнения первой и второй степени.
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Аналитическая геометрия презентация
Содержание
- 1. Аналитическая геометрия
- 2. §1 Плоскость. Уравнение плоскости Уравнение плоскости,
- 3. Произвольная точка М принадлежит плоскости тогда
- 4. Общее уравнение плоскости (2)
- 5. Неполные уравнения плоскости Выделим следующие случаи:
- 6. Угол между плоскостями. Условие параллельности и
- 7. Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда
- 8. Расстояние от точки до плоскости Рассмотрим плоскость
- 9. Пример 1. Найти расстояние от точки M(–1,
- 10. Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через
- 11. §2 Прямая в пространстве Канонические уравнения
- 12. Параметрические уравнения прямой Обозначим коэффициент пропорциональности в
- 13. Пример . Найти точку Q, симметричную точке P(2, −5, 7) относительно прямой
- 14. Общие уравнения прямой в пространстве Пусть
- 15. Пример. Записать канонические и параметрические уравнения прямой, заданной общими уравнениями:
- 16. Угол между прямой и плоскостью
- 17. Расстояние от точки до прямой в пространстве
- 18. Поэтому расстояния d от точки М1 до
- 19. §3 Взаимное расположение двух прямых в пространстве,
- 20. Прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны,
- 21. Прямые пересекаются, если лежат в одной плоскости
- 22. Пример. Определить взаимное расположение прямых Вычислить угол между ними.
- 23. Пусть Прямая параллельна плоскости,
- 24. Прямая пересекает плоскость, если векторы
§1 Плоскость. Уравнение плоскости Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору Пусть на плоскости задана точка М0(x0, y0, z0), и вектор перпендикулярный плоскости. Вектор называют
Слайд 1Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия изучает геометрические объекты (линии, поверхности) алгебраическими (аналитическими) методами.
Слайд 2§1 Плоскость. Уравнение плоскости
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному
вектору
Пусть на плоскости задана точка М0(x0, y0, z0),
и вектор перпендикулярный плоскости.
Вектор называют
нормальным вектором плоскости.
Пусть М (x, y, z)– произвольная
точка плоскости.
Пусть на плоскости задана точка М0(x0, y0, z0),
и вектор перпендикулярный плоскости.
Вектор называют
нормальным вектором плоскости.
Пусть М (x, y, z)– произвольная
точка плоскости.
Слайд 3Произвольная точка М принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда
векторы перпендикулярны, а значит, их скалярное произведение равно нулю:
или в координатной форме:
(1)
или в координатной форме:
(1)
Слайд 4Общее уравнение плоскости
(2)
Коэффициенты A, B, C есть координаты
нормального вектора плоскости.
Уравнение плоскости (2) есть уравнение первой степени относительно x, y, z.
Справедливо и обратное: всякое уравнение первой степени определяет плоскость.
Уравнение плоскости (2) есть уравнение первой степени относительно x, y, z.
Справедливо и обратное: всякое уравнение первой степени определяет плоскость.
Слайд 5Неполные уравнения плоскости
Выделим следующие случаи:
Если в уравнении плоскости отсутствует переменная х,
то плоскость параллельна оси Ох.
Если в уравнении плоскости отсутствует переменная y (или z), то плоскость параллельна оси Oy (или Oz).
Если в уравнении плоскости отсутствуют две переменные, например, х и у, то плоскость параллельна плоскости Оху.
Если в уравнении плоскости отсутствует переменная y (или z), то плоскость параллельна оси Oy (или Oz).
Если в уравнении плоскости отсутствуют две переменные, например, х и у, то плоскость параллельна плоскости Оху.
Слайд 6Угол между плоскостями. Условие параллельности
и перпендикулярности плоскостей
Угол между плоскостями
α1 и α2 определяется как угол между их нормальными векторами
Поэтому
Поэтому
Слайд 7Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы
коллинеарны,
т.е.
Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, т.е.
Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, т.е.
Слайд 8Расстояние от точки до плоскости
Рассмотрим плоскость с уравнением
Ax+By+Cz+D=0 и точку
М0(x0, y0, z0).
Опустим из точки М0 на плоскость перпендикуляр М0O.
Тогда искомое расстояние
Опустим из точки М0 на плоскость перпендикуляр М0O.
Тогда искомое расстояние
Слайд 9Пример 1. Найти расстояние от точки M(–1, 4, 5) до плоскости,
проходящей через точку M0(3, –1, 0) перпендикулярно вектору
Слайд 10Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки A(1, 2,
3); B(0, –2, 1);
C(–4, – 3, 2).
C(–4, – 3, 2).
Слайд 11§2 Прямая в пространстве
Канонические уравнения прямой
Пусть дана точка M0(х0, y0, z0)
,
лежащая на прямой, и вектор
параллельный прямой
(он называется направляющим вектором прямой).
Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения вида:
лежащая на прямой, и вектор
параллельный прямой
(он называется направляющим вектором прямой).
Каноническими уравнениями прямой в пространстве называются уравнения вида:
Слайд 12Параметрические уравнения прямой
Обозначим коэффициент пропорциональности в полученном соотношении через t, получим
параметрические уравнения прямой в пространстве:
Слайд 14Общие уравнения прямой в пространстве
Пусть прямая l является линией пересечения двух
непараллельных плоскостей α1 и α2.
Тогда координаты всех точек прямой
удовлетворяют уравнениям первой
и второй плоскости, т.е. системе
уравнений
Система уравнений называется общими уравнениями прямой в пространстве.
Тогда координаты всех точек прямой
удовлетворяют уравнениям первой
и второй плоскости, т.е. системе
уравнений
Система уравнений называется общими уравнениями прямой в пространстве.
Слайд 15Пример. Записать канонические и параметрические уравнения прямой, заданной общими уравнениями:
Слайд 16Угол между прямой и плоскостью
Угол φ между прямой и плоскостью
есть угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Рассмотрим дополнительный угол
Тогда
Рассмотрим дополнительный угол
Тогда
Слайд 17Расстояние от точки до прямой в пространстве
Требуется найти расстояние d
от
точки М1 до прямой l.
Пусть М0 − известная точка на прямой,
− направляющий вектор прямой. Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах
С одной стороны, площадь параллелограмма
С другой стороны
Пусть М0 − известная точка на прямой,
− направляющий вектор прямой. Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах
С одной стороны, площадь параллелограмма
С другой стороны
Слайд 18Поэтому расстояния d от точки М1 до прямой l, проходящей через
точку М0, вычисляется по формуле:
Слайд 19§3 Взаимное расположение двух прямых в пространстве, прямой и плоскости
Пусть
Тогда
− направляющие векторы прямых ,
− точки на прямых.
− точки на прямых.
Слайд 20Прямые параллельны, если их направляющие векторы коллинеарны, т.е.
или
причем точка
Прямые совпадают, если их направляющие векторы коллинеарны и точка одной прямой лежит на другой прямой:
причем точка
Прямые совпадают, если их направляющие векторы коллинеарны и точка одной прямой лежит на другой прямой:
Слайд 21Прямые пересекаются, если лежат в одной плоскости и − компланарны,
тогда
Прямые скрещивающиеся, если не параллельны и не лежат в одной плоскости:
и
Прямые скрещивающиеся, если не параллельны и не лежат в одной плоскости:
и
Слайд 24Прямая пересекает плоскость, если векторы
не ортогональны.
Пример. Выяснить
взаимное расположение прямой, проходящей через точки М1(−1, 0, 1), М2(3, −2, 1) и плоскости 2x−3y+2z+5=0.
