Алгебра. Лекция 4. Количество и сумма натуральных делителей числа. Критерий простоты. Решето Эратосфена презентация

- каноническое разложение натурального числа n (n>1)
Количество натуральных делителей числа n равно τ(n) = (α1 +1)(α2 +1)…(αs +1)


Пример
τ(60)= τ(2²∙3∙5)=(2+1)(1+1)(1+1)=12

- каноническое разложение натурального числа n (n>1), то сумма всех натуральных делителей числа n равна

Рассмотрим натуральное число М=2∙3∙5∙7∙…∙ Р +1
Если число М составное, то оно должно иметь по крайней мере один простой делитель
Но этим делителем не может быть ни одно из простых чисел 2, 3, 5, …, Р, поскольку при делении М на каждое из них получается остаток 1
Следовательно, число М либо само простое, либо делится на простое число, большее Р
Значит, предположение, что существует наибольшее простое число Р, неверно и множество простых чисел бесконечно

то п – простое

Доказательство
Если бы п было составным, то n=ab, где 1 Оба множителя не могут быть больше иначе их произведение ab было бы больше п
Следовательно, хотя бы одно из чисел а и b не превышает
Если, например, число то его простой делитель

Таким образом, любое составное число имеет простой делитель, не превышающий

математик, астроном, географ, филолог и поэт. Первый известный ученый, доказавший, что Земля имеет форму шара