Уфа 2016г.
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Лекции по теории функции комплексной переменной презентация
Содержание
- 1. Лекции по теории функции комплексной переменной
- 2. Лекция № 1 §1. Комплексные числа и
- 3. -вектор Определим операцию сложения: Рассмотрим плоскость R2.
- 4. операцию умножения на число: базис Как ввести
- 5. Вектор 1– единица операции умножения. Определим Т.к. то полагают
- 6. Правило умножения Def. Числовая плоскость называется
- 7. Действительные числа включаются в множество комплексных чисел.
- 8. Деление. Комплексное сопряжение.
- 9. Примеры.
- 10. Комплексные числа можно изображать точками на комплексной плоскости. Im z=0 Re z=0
- 11. Модуль и аргумент комплексного числа
- 12. Полярные координаты (x,y)↔(r,ϕ). Модуль комплексного числа: Аргумент комплексного числа: Главное значение аргумента.
- 13. -разрез по -разрез по Примеры. — не определен!
- 14. Тригонометрическая форма записи формула Эйлера: Показательная форма записи Теорема.1.1. Пусть тогда
- 15. Примеры.
- 16. Вопрос. Умножение и деление в показательной форме. Формула Муавра.
- 17. Извлечение корня. Корень n-той степени из комплексного числа принимает n различных значений.
- 18. Примеры.
- 22. Операция сравнения в С не определена.
- 23. Неравенства треугольника. Упорядоченная четверка является нормированным векторным
- 24. Некоторые простейшие множества точек на комплексной плоскости.
- 27. Def. Последовательностью комплексных чисел называют упорядоченное счетное
- 28. Примеры. не существует Каждый член последовательности
- 29. Def. Последовательность называется ограниченной, если Сходящаяся
- 30. Def. Если для то последовательность называется неограниченно возрастающей. Примеры. Неограниченно возрастающие последовательности.
- 31. Все неограниченно возрастающие последовательности сходятся к единственной
- 33. §2. Понятие функции комплексной переменной.
- 34. Точки множества. Def. Точка называется внутренней
- 35. Def. Множество называется связным, если
- 36. Граница множества может состоять из конечного числа
- 37. Отображение однозначно (по умолчанию). Если то отображение
- 38. При z=x+iy, w= f(z)=u(x,y)+iv(x,y). Свойства функции
- 39. Некоторые элементарные функции комплексной переменной. Однозначная, однолистная
- 40. Однозначная, но не однолистная на всей комплексной
- 41. Декартова сеть
- 42. Отображение декартовой сети в
- 43. Две ветви: Точки ветвления, при обходе
- 44. Отображение декартовой сети в
- 45. Однозначная, однолистная на всей комплексной
- 46. Отображение декартовой сети в
Лекция № 1 §1. Комплексные числа и последовательности комплексных чисел. п. 1. Понятие комплексного числа. Геометрическая интерпретация.
Слайд 1Уфимский государственный авиационный
технический университет
Общенаучный факультет
Кафедра математики
Лекции по теории функции комплексной
переменной
Слайд 2Лекция № 1
§1. Комплексные числа и
последовательности комплексных
чисел.
п. 1. Понятие
комплексного числа.
Геометрическая интерпретация.
Геометрическая интерпретация.
Слайд 6Правило умножения
Def. Числовая плоскость
называется
комплексной плоскостью C, если для ее точек
определены
модули (1), операции сложения (2)
и умножения (6).
и умножения (6).
Точки комплексной плоскости С называются
комплексными числами.
Слайд 7Действительные числа включаются в множество комплексных чисел.
a=(a,0)-вещественное число,
-1=(-1, 0),
i =(0, 1)- мнимая единица,
ib= (0, b)-чисто мнимое число,
0=(0, 0),
1=(1, 0),
-i=(0, -1).
упорядоченная пара вещественных чисел.
Равенство.
Алгебраическая форма записи.
Слайд 12Полярные координаты
(x,y)↔(r,ϕ).
Модуль комплексного числа:
Аргумент комплексного числа:
Главное значение аргумента.
Слайд 14Тригонометрическая форма записи
формула Эйлера:
Показательная форма записи
Теорема.1.1. Пусть
тогда
Слайд 22Операция сравнения в С не определена.
Множество комплексных чисел C образует
поле.
Поле С не является упорядоченным.
В упорядоченном поле P
В поле С
но
Утверждение
неверно.
Модуль
удовлетворяет
аксиомам норм.
Слайд 23Неравенства треугольника.
Упорядоченная четверка
является нормированным векторным
пространством над полем R. Оно превратится
в
метрическое пространство, если
ввести метрику по формуле
Слайд 27Def. Последовательностью комплексных чисел называют упорядоченное счетное множество комплексных чисел.
Члены последовательности
располагаются в порядке следования их номеров.
Обозначение:
Сходящиеся последовательности.
Def. Комплексное число z называется пределом
последовательности
если для
п.2. Последовательности комплексных чисел.
Слайд 28Примеры.
не
существует
Каждый член последовательности
Т.1.2. Необходимым и достаточным условием
является
требование
сходимости
Слайд 29Def. Последовательность
называется
ограниченной, если
Сходящаяся последовательность ограничена.
Критерий Коши. Необходимым и достаточным
является
условием
сходимости
требование, чтобы для
Т.1.3. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Слайд 30Def. Если для
то последовательность
называется
неограниченно возрастающей.
Примеры.
Неограниченно возрастающие последовательности.
Слайд 31Все неограниченно возрастающие последовательности сходятся к единственной бесконечно удаленной точке комплексной
плоскости.
Def. Комплексная плоскость дополненная бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью.
Def. Окрестностью бесконечно удаленной точки
называется множество
внешность
круга с центром в начале координат достаточно
большого радиуса R.
Слайд 33§2. Понятие функции комплексной переменной.
множество задания
(определения)
множество значений
Слайд 34Точки множества.
Def. Точка
называется внутренней
точкой множества
если
Def. Множество, состоящее из внутренних
точек
называется открытым множеством.
Слайд 35Def. Множество
называется связным, если
можно соединить кусочно-гладкой
кривой
Def. Область— открытое,
связное множество.
Def. Точка
называется граничной
точкой множества
если в
и
Def. Совокупность граничных точек множества
g называется границей множества g.
Слайд 36Граница множества может состоять из конечного числа точек, и даже из
одной точки
(как, например, у множества |z|>0).
(как, например, у множества |z|>0).
Def. . Замыкание области g, состоящее в
присоединении к g ее границы ∂g называется
замкнутой областью g =g+∂g.
Слайд 37Отображение
однозначно (по умолчанию).
Если
то отображение взаимно однозначно (инъекция)
В этом случае g называется
областью однолистности f(z), а f(z) — однолистной в g.
неоднозначное
отображение
однозначное,
не однолистное
отображение
однозначное,
однолистное
отображение
Слайд 38При z=x+iy, w= f(z)=u(x,y)+iv(x,y).
Свойства функции комплексной переменной
определяются свойствами функций
двух
действительных переменных.
действительных переменных.
При g↔D когда область значений совпадает с D в D ∃ обратная функция z=ϕ(w), осуществляющая отображение D→g.
Если отображение g→D однозначно, но не однолистно, то можно говорить об обратной функции, но она не будет однозначной.
Слайд 39Некоторые элементарные функции комплексной переменной.
Однозначная, однолистная на всей комплексной
плоскости.
Геометрический смысл:
растяжение в k раз,
поворот на угол α, параллельный перенос
вдоль вектора b.
поворот на угол α, параллельный перенос
вдоль вектора b.
Единственное отображение, сохраняющее
подобие всех фигур.
Слайд 40Однозначная, но не однолистная на всей комплексной плоскости.
Область однолистности— полуплоскость
Область однолистности
отображается на всю
комплексную плоскость.
комплексную плоскость.
Любая прямая, не проходящая через точку
z=0 отображается в параболу. Декартова сеть
линий в верхней полуплоскости отображается
в 2 взаимно ортогональных семейства
софокусных парабол.
Слайд 43Две ветви:
Точки ветвления, при обходе которых по
любому замкнутому контуру происходит
переход с одной ветви на другую
На плоскости с разрезом по отрицательной
части вещественной оси
Многозначная функция.
каждая ветвь— однозначная функция.
главное значение.
Слайд 45
Однозначная, однолистная на всей комплексной
плоскости.
Геометрический смысл: симметричное
отражение относительно вещественной оси
и
инверсия относительно единичной окружности.
инверсия относительно единичной окружности.
