Кодирование чисел презентация

системы»
Dept. of Automated Manufacturing Systems

способов выполнения операции вычитания является замена знака вычитаемого на противоположный и прибавление его к уменьшаемому:
A – B = A + (–B).
Этим операцию арифметического вычитания заменяют операцией алгебраического сложения. Последняя и становится основной операцией.
Для машинного представления отрицательных чисел используют коды:
прямой,
обратный,
дополнительный,
модифицированный.

обычно используется при хранении чисел в запоминающем устройстве, а обратный и дополнительный коды — при выполнении над числами арифметических и некоторых других операций. При пересылках из запоминающего устройства в арифметическое и обратно числа перекодируются.
Все три кода состоят из кода знака (число отведённых разрядов l), кода целой части (m) и кода дробной части (n) числа. Сумма d =l+т+n называется длиной кода. Как правило l, т и n фиксированы. В случае целых чисел n=0, для правильных дробей обычно т=0, когда все числа одного знака, l=0.
Для положительных чисел код знака обозначается последовательностью нулей, для отрицательных — последовательностью единиц. Для положительных чисел прямой, обратный и дополнительный коды совпадают.

двоичным кодом один разряд (как правило, самый старший) отводится для знака числа. Остальные n-1 разрядов - для значащих цифр. Значение знакового разряда равно 0 для положительных чисел, 1 - для отрицательных.
Пример: 1 = 0000 0001, -1 = 1000 0001.
Таким образом, прямой код положительного числа совпадает с самим числом, а прямой код отрицательного числа отличается от самого числа единицей в старшем разряде.

для отрицательного числа. Обратный код двоичного числа является инверсным изображением самого числа, в котором все разряды исходного числа принимают инверсное значение.
Пример: А1 = 0,11010; [А1]обр = 011010 (без изменений);
А2 = -0,11010; [А2]обр = 100101.
Обратный код двоичного числа является дополнением модуля числа до наибольшего числа без знака, умещающегося в разрядную сетку, т.е. до величины 1,111…1.
Пример:

+1210=11002=0_1100(прямой)=0_0011(обратный)
-15.2510=-1111.012=1_1111.01(прямой)=1_0000.10(обр.)

для отрицательного числа. Использование прямого кода усложняет структуру компьютера. В этом случае операция сложения двух чисел, имеющих разные знаки, должна быть заменена на операцию вычитания меньшей величины из большей и присвоения результату знака большей величины. Введение дополнительного кода позволяет заменить вычитание на обычное сложение, что упрощает устройство процессора.

двухразрядных чисел
предположим, что надо выполнить вычитание 84-32 /результат 52/. Дополним 32 до 100 /это «дополнение» равно 68/. Затем выполним сложение 84+68 /результат 152/. Единица «уходит», потому что рассматриваются двухразрядные десятичные числа.
Таким образом дополнительный код является математическим дополнением до основания системы счисления.

отличается от обратного кода тем, что после замены цифр производится сложение результата с d-paзрядным числом, все разряды которого, кроме младшего, содержат нули, причём перенос из старшего разряда при сложении не выполняется.
Например, число в двоичной системе счисления равно +11,01. Пусть задано l=1, т=3, n=4; дополняя целую и дробную части нулями, запишем число в виде +011,0100. Прямой обратный и дополнительный коды заданного числа одинаковы 0 011 0100.
Для отрицательного числа —11,01 прямой код имеет вид 1011 0100, обратный код — 1 100 1011 и дополнительный — 1 100 1100.

может получиться результат, по абсолютной величине больший единицы, что ведет к искажению результатов вычислений. Переполнение разрядной сетки легко обнаружить, используя модифицированный прямой, модифицированный обратный или модифицированный дополнительный коды. Отличие модифицированных кодов от обычных заключается в том, что на изображение знака числа отводится два разряда. “Плюс” изображается двумя нулями, а ”минус” – двумя единицами.
Например, обратные модифицированные коды чисел  А1 = 0,11010 и  А = -0,11010  запишутся в виде  [А1]обр = 00,11010;   [А2]обр = 11,00101.

в себе кроме информационных, контрольные разряды.
В контрольные разряды записывается некоторая информация об исходном числе. Поэтому можно говорить, что систематический код обладает избыточностью.
Понятие корректирующей способности кода обычно связывают с возможностью с возможностью обнаружения и исправления ошибки. Количественно корректирующая способность кода определяется вероятностью обнаружения или исправления ошибки.
На практике наибольшей является вероятность искажения одного символа (разряда). Следовательно, основное внимание нужно обратить на обнаружение и исправление одиночной ошибки.

с понятием кодового расстояния.
Кодовое расстояние d(A,B) кодовых комбинаций А и В определяется как вес такой третьей кодовой комбинации, которая получается сложением исходных комбинаций по модулю 2.

Что такое «сложение по модулю»?

арифметического сложения, при котором единица переноса в старший разряд, если таковая образуется при поразрядном сложении, отбрасывается. Обозначается эта операция ⊕.

Пример. Сложить по модулю 2 двоичные числа 10 и 11.

Сложение выполним поразрядно:
1) разряд единиц: 0 ⊕ 1 = 1;
2) разряд десятков: 1 ⊕ 1 = 0 (единица в старшем разряде теряется).

Таким образом, 102 ⊕ 112 = 012.

и 010111 равно 100010.

110101
010111
_______
100010

Вес кодовой комбинации V(A) – количество единиц, содержащихся в кодовой комбинации. V(100010)=2

Пример. Сложить по модулю 10 десятичные числа 59 и 152.

Сложение выполним поразрядно:

1) разряд единиц: 9 ⊕ 2 = 1;
2) разряд десятков: 5 ⊕ 5 = 0;
3) разряд сотен: 0 ⊕ 1 = 1.

Таким образом, 59 ⊕ 152 =101.

обнаружением одной ошибки является код с битом чётности. Конструкция его такова: к исходному слову добавляется бит чётности. Если в исходном слове число единичек чётно, то значение этого бита 0 (для контроля нечетности - 1), если нечётно — 1 (для контроля нечетности - 0). Таким образом, допустимые слова этого кода имеют чётное количество единичек. Если получено слово с нечётным (для контроля нечетности - четным) количеством единичек, то при передаче произошла ошибка.
При этом допускается, что может возникнуть только одна ошибка. В самом деле, для случая четности правильным будет только половина возможных комбинаций. Чтобы одна допустимая комбинация превратилась в другую, должно возникнуть, по крайней мере, два нарушения или четное число нарушений.

методу четности-нечетности широко используют для контроля записи и считывания информации в запоминающих устройствах и сетях.

на перфоленте

5-й канал – бит четности. В каждой строке число единиц (отверстий) всегда нечетно

и несколько видоизмененный способ контроля по методу четности – нечетности. Длинное число разбивается на группы. Контрольные разряды выделяются всем группам по строкам и по столбцам, например:

что появляется возможность не только обнаружить ошибку, но и исправить её.
Если произошла неисправность в каком-то из разрядов числа, это приводит к тому, что при проверке на четность сумма по соответствующим строкам и столбцам изменится.
Следовательно, нарушение четности по этой строке и столбцу можно зафиксировать, что в конечном счете означает обнаружение не только самой ошибки, но и места, где возникла ошибка.

Хэммингом, обладают способностью не только обнаружить, но и исправить одиночные ошибки. Эти коды – систематические.
Обычно код Хэмминга описывается двумя целыми числами, например, (11,7) и используется при передаче 7-битных чисел. Такая запись говорит, что при передаче 7-битного кода используется 4 контрольных бита (7+4=11). При этом предполагается, что имела место ошибка в одном бите и что ошибка в двух или более битах существенно менее вероятна. С учетом этого исправление ошибки осуществляется с определенной вероятностью.

Richard Hamming 1915-1998

s = 1110011 с использованием кода Хэмминга (11,7).

Символами * помечены четыре позиции, где должны размещаться контрольные биты. Эти позиции определяются целой степенью 2 (1, 2, 4, 8 и т.д.). Контрольная сумма формируется путем выполнения операции сложения по модулю 2 над кодами позиций ненулевых битов. В данном случае это 11, 10, 9, 5 и 3.

(т.е. кроме 7, 6 и 1) и получим нуль.

Это значит, что данные переданы верно

из битов посылки:

Просуммируем коды позиций ненулевых бит:

01112 = 710, следовательно ошибка произошла в седьмом бите.

из битов посылки:

Просуммируем коды позиций ненулевых бит:

01012 = 510, следовательно ошибка произошла в пятом бите.