Физические основы механики. Кинематика презентация

Таблица

График

Уравнение

Перемещение – векторная величина, равная вектору, проведен-ному из начальной точки траектории тела в конечную точку и измеряемому длиной отрезка прямой между начальной и конечной точками

При движении по произвольной замкнутой траектории

Путь – скалярная величина, принимающая только неотрицательные значения

траектория

Пример 1. С башни высотой 12 м брошен мяч, который падает на землю на расстоянии 9 м от основания башни. Чему равен модуль перемещения мяча?

или

Ответ: 15 м

Решение: модуль вектора перемещения равен диаметру окружности ,
а путь - половине длины окружности

Ответ: 4

Траектория

.

Скорость

Абсолютное значение мгновенной скорости:

Скорость – величина, показывающая быстроту и направление движения тела

Мгновенная скорость (скорость в данный момент времени) - векторная величина, равная первой производной по времени от радиус-вектора движущейся точки: численно равна первой производной от
перемещения по времени:

В общем случае скорость является функцией времени и полученную формулу следует записывать таким образом:

Для радиус-вектора

Для траектории

Постоянная интегрирования С определяется из условия

0

x

0

x

Ответ: 10 м/с

Решение:

Решение:

Решение:

Ответ:

20 м/с

Решение:

Ответ:

460

Ответ: 2 с

Решение:
Скорость есть первая производная от координаты

В момент времени

Ответ: -26 м/с2

Ускорение есть первая производная от скорости, а скорость – первая производная от координаты

Решение:

В момент времени t=5 с ускорение

Мгновенное ускорение - векторная величина, равная первой производной по времени от скорости движущейся точки:

Ускорение – величина, показывающая быстроту и направление изменения скорости тела

Постоянная интегрирования определяется из условия

Постоянная интегрирования определяется из условия

Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по величине, направлено вдоль касательной к траектории

Нормальное ускорение
характеризует быстроту изменения скорости по направлению, направлено вдоль главной нормали (к центру кривизны траектории)

Если , то движение

Если , то движение

Если , то движение

прямолинейное,

равномерное,

а =

0

прямолинейное,

неравномерное,

а =

aτ

криволинейное,

равномерное,

а =

an

криволинейное,

неравномерное,

- равнозамедленное движение

- равнозамедленное движение

Ускорение

Скорость

Координата

Путь численно равен площади фигуры под графиком скорости

Ответ: 2

Ответ: 1

Ответ: 3

Ответ: 4

Ответ: 1

Ответ: В

путь, пройденный автомобилем, численно равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости.

Ответ: 40 м

Решение: зависимость пути от времени при равноускоренном движении определяется формулой

4, 2, 1, 3

Решение:

Средняя путевая скорость

При прямолинейном движении мгновенная скорость в любой момент времени

Модуль мгновенной скорости в указанные моменты времени:

Решение:

Модуль среднего ускорения

Мгновенное ускорение в любой момент времени

Модуль мгновенного ускорения в указанные моменты времени:

Решение:

Мгновенная скорость

Учитывая, что

Полное ускорение

Подставив t=3 c, получаем

знак «–» указывает, что движение машины замедленное (модуль скорости уменьшается)

Тангенциальное ускорение

Подставив t=3 c

Радиус кривизны окружности

Решение:

Мгновенная скорость

По определению ускорения

Определим момент времени t0, когда автомобиль находится на вершине моста, т.к. в этот момент времени скорость автомобиля достигает миниму-ма и

где R - радиус кривизны траектории в данный момент времени.

Т.о. скорость на вершине моста

Полное ускорение

Направление полного ускорения совпадает с направлением нормального ускорения, т.е. вектор a0 направлен вертикально вниз.

Решение:

Найдем проекции скорости движения точки на оси координат

Модуль вектора скорости

Возведем в квадрат правую и левую части уравнения и получим

корни уравнения:

(не имеет смысла)

Найдем проекции ускорения на оси координат

Модуль вектора полного ускорения:

Нормальное ускорение

Ускорение свободного падения

Решение: При равнозамедленном движении в поле тяжести земли

Ответ: 15 м/с

В наивысшей точке подъема ʋ=0 и скорость поменяет знак. Тогда

Ответ: 3 с

Направим координатную ось вертикально вверх

Совместим начало отсчета с точкой выстрела

Решение:

Вначале движение стрелы - равнозамедленное из начала отсчета

В наивысшей точке подъема время
скорость

Тогда

Время подъема на максимальную высоту

Максимальная высота подъема

Решение:

Рассмотрим движение стрелы из верхней точки. Т.к. в наивысшей точке скорость равна нулю ( ), то

где

Полный путь стрелы

Общее время полета стрелы

а

время падения

Скорость стрелы в момент падения

Чтобы найти время t1, затраченное на прохождение последних 100 м, удобно от времени t всего пути (500 м) отнять время t2, затраченное на прохождение первых 400 м:

Уравнение движения при падении тела с высоты без начальной скорости

Решение:

Высота телебашни в Москве 536 м

Решение:

Введем прямоугольную систему координат. Начало отсчета поместим на поверхности земли под точкой бросания.

Движение вдоль Ох равномерное, вдоль Оy – равноускоренное с ускорением g.

траектория

Уравнения скорости:

Уравнения движения:

Пусть при мяч упал на землю. Тогда уравнения движения

Решение:

Уравнения скорости в момент падения

Отметим эти направления на рисунке

Скорость в момент падения находим
по правилу параллелограмма

Решение:

При броске горизонтально происходит сложение скоростей

Ответ: 4

т р а е к т о р и я

Решение:

Введем систему координат

Движение осуществляется вдоль двух направлений: Ох и Оy. Разложим вектор скорости по Ох и Оy

При отсутствии сопротивления воздуха

Движение вдоль Ох будет равномерным. Уравнения движения :

Движение вдоль Оy будет равноускоренным. Уравнения движения :

Пусть t1 – время достижения снарядом наивысшей точки. В
наивысшей точке подъема

Решение:

Зная время подъема на максимальную высоту

И уравнение движения вдоль Оy, получим

Зная время полета снаряда

и уравнение движения вдоль Ох, получим

Решение:

Скорость снаряда в любой момент времени

В момент падения на землю

Где время движения уже найдено

Решение:

Радиус кривизны траектории в любой точке

В наивысшей точке

, где скорость в наивысшей точке

Из уравнения движения найдем выражение для траектории снаряда

Уравнение движения вдоль Оy

Уравнение движения вдоль Ох

Так как в наивысшей точке то

Ответ: 5 м

Пример 31. Небольшой камень бросили с ровной горизонтальной поверхности земли под углом к горизонту. На какую максимальную высоту поднялся камень, если ровно через 1 с после броска его скорость была направлена горизонтально?

Подставим это значение в уравнение движения

Вдоль оси у движение равнопеременное. В проекции на ось у скорость

Решение:

Максимальная высота подъема

дальность полета

По условию

Ответ:

Обратная задача кинематики
заключается в том, что по известному значению ускорения a(t) найти скорость точки и восстановить уравнение движения r(t).

*

Решение:

*

Пример 33. Ракета начала движение со скоростью, определяемой выражением .
Какой путь пройдет ракета за 2 мин?

Путь найдем как




По условию путь в момент времени


Если за начало координат взять точку начала движения, то

Решение:

Средняя скорость

Скорость найдем как



По условию скорость в момент времени
Так как автомобиль начинал движение, то его начальная скорость


В момент времени t=2 с:

Т.е. автомобиль движется в направлении, противоположном положительному направлению оси Ох

Решение:

Скорость лунохода



По условию скорость в момент времени

Так как он начинал движение, то его начальная скорость


При луноход остановился

По определению, средняя путевая скорость

Путь

Если за начало координат взять точку начала движения, то

Путь за 6 минут

Средняя скорость

Решение:

Максимальное значение скорости можно найти с помощью производной. Но в данной задаче производная от скорости (ускорение) – дана.


при
Максимальной скорости луноход достигает через 3с после начала движения

Решение:

Скорости и ускорения всех точек твердого тела в данный момент времени t одинаковы

Это позволяет свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки, т.е. к задаче кинематики материальной точки

Элементарные повороты можно рассматривать
как векторы модуль которых равен углу
поворота, а направление совпадает с направлением
поступательного движения острия буравчика
(винта), рукоятка которого вращается в
направлении движения точки по окружности

Положение тела в пространстве определяется углом поворота вокруг оси вращения

Вращательное движение вокруг неподвижной оси

Скорости ʋ у разных точек разные

Поэтому для описания вращательного движения неудобно пользоваться понятиями «путь», «скорость», «ускорение» точки.

Скорость изменения угла - мгновенная угловая скорость

Средняя угловая скорость

– вектор элементарного поворота тела, численно равный и направленный вдоль оси вращения ОО' так, чтобы глядя вдоль вектора мы видели вращение по
часовой стрелке (направление
вектора и направление вращения связаны правилом буравчика)

но при движении по окружности обычно полагают

и получаем формулу, связывающую путь и угол поворота:

СЛЕДСТВИЕ 1

Решение:

Вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости в случае ускоренного вращения

и противоположен ему по направлению
в случае замедленного вращения

Среднее угловое ускорение
определяется как

Полное ускорение

СЛЕДСТВИЕ 1

Частота ν – число оборотов тела за 1 сек.

Угловая скорость

В общем случае скорость является функцией времени и полученную формулу следует записывать таким образом:

в момент времени постоянная интегрирования

Простейшие случаи вращения тела вокруг неподвижной оси:

- равномерное вращение

равнопеременное вращение

Решение:

Уравнение движения
уравнение скорости

Пусть начальный угол поворота . Т.к.

Получаем и

Из 1-го уравнения

Из второго уравнения

Решение:

Средняя угловая скорость

Чтобы найти угол поворота за 6 с, найдем


Так как тело начало движение, то в момент времени


Угол поворота

Принимая начальный угол поворота


При