Ймовірність презентация

її винайдення.

грандіозній книзі — природі, яка завжди відкрита для всіх і кожного. Проте зрозуміти її може лише той, хто навчився розуміти її мову та знаки, якими її написано. А написано її мате- матичною мовою, а знаки її — математичні формули. Справді, створення математичних моделей реальних процесів і явищ — важливий етап пізнання світу. У процесі свого розвитку математика збагачувалась видатними досягненнями. Прикладами таких досягнень є створення диферен- ціального та інтегрального числення — математичного аналізу, по- будова неевклідової геометрії, розвиток аксіоматичного методу…

Теорія ймовірностей зародилася в XVI—XVII століттях зі спроб дати теорію азартних ігор. Перші розрахунки ймовірностей виконали Н. Тарталья і Дж. Кардано, згодом ці питання досліджували Г. Галілей, П. Ферма, Б. Паскаль, Х. Гюйгенс, Р. Декарт. Важливу теорему (закон ве- ликих чисел), що сприяла розвитку теорії ймовірностей як науки, установив Я. Бернуллі. Його результати розвинули А. Муавр і П. Лаплас. Виключно важливу роль у розвитку теорії ймовірнос- тей мали відкриття П. Л. Чебишова та його учнів А. А. Маркова і О. М. Ляпунова.

Н. Тарталья

ці видатних математиків ХХ століття — С. Н. Бернштейна, О. Я. Хінчина, А. М. Колмогорова, Б. В. Гнєденко, Р. А. Фішера, Р. Е. та ін.

С. Н. Бернштейна

О. Я. Хінчина

А. М. Колмогорова

Б. В. Гнєденко

Р. А. Фішера

сучасному рівні аксіоматичну побудову подав А. М. Колмогоров у 30-тих роках минулого століття. Із теорією ймовірностей тісно пов’язана математична статистика — розділ математики, в якому за допомогою математичних методів систематизують, опрацьовують і застосовують статистичні дані для наукових і практичних висновків.

числова міра об’єктивної можливості настання цієї події в певному випробуванні. Позначається така ймовірність Р(А).

неможливої події P(V ) = 0.
Ймовірність будь-якої випадкової події 0 < P(A) <1

кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір еле- ментарних подій Ω:

бно знайти кількість елементарних подій у просторі Ω, а також кількість їх у множині, яка відповідає події А. Для цього застосо- вують формули комбінаторної математики.
І. Нехай скінченна невпорядкована множина складається із n елементів. Виконаємо такі випробування:

нти. Тоді елементарною подією у випробуванні буде довільне пе- реставлення з n елементів, а кількість можливих переставлень дорівнюватиме !n
2. Розіб’ємо множину на впорядковані підмножини, які містять по m ( m < n) елементів і різняться між собою або порядком, або елементами. Тоді елементарною подією у випробуванні буде дові- льне розміщення з n елементів по m. Кількість таких розміщень

у фіксованій підмножині кожний елемент може повторитися m разів. Елементарною подією у випробуванні буде розміщення з n елементів по m із повторенням, а кількість таких розміщень

тять по m ( ) m < n елементів і різняться між собою принаймні од- ним елементом. Тоді елементарною подією у цьому випробуванні буде комбінація, а кількість таких комбінацій

Якщо простір елементарних подій Ω можна подати у вигляді деякого геометричного образу, а множину елементарниx подій для події А — як частину цього геометричного образу, то ймовір- ність події А визначається як відношення мір цих множин:


При цьому вважається, що ймовірність попадання в деяку частину геометричного образу пропорційна до міри цієї його частини.

ймовірністю події А називається відношення кількості m випробувань, в яких подія А відбулась, до загальної кількості виконаних випробувань n:



Знаходження статистичної ймовірності пов’язане з проведен- ням n випробувань, тому вона називається ще частістю, або від- носною частотою, події.

(С) і 5 неста- ндартних (Н) деталей. Із партії навмання беруть 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей 3 виявились стан- дартними.

Подія А — «серед 5 деталей 3 стандартні, а 2 не- стандартні». Деталі беруться навмання, тому можливою елемента- рною подією є будь-яка група з 5 деталей, вибраних із 15 деталей. Щоб визначити, до якого типу підмножин належать ці групи, роз- глянемо одну з них. Нехай у групі виявилося 2 стандартні і 3 не- стандартні деталі, тобто маємо {С,С, Н, Н, Н}. Виконаємо у групі довільне переставлення, наприклад, {С, Н,С, Н, Н}. Група не змі- нилась — у ній як було, так і залишилося 2 стандартні деталі. От- же, порядок у групі неістотний, тому вони належать до комбінацій. Усі елементарні події рівноможливі, для обчислення ймовірності застосуємо формулу класичного означення ймовірності. Загальна кількість елементарних подій




Щоб обчислити кількість елементарних подій, які становлять подію А, міркуємо так: 3 стандартні деталі з 10 можна
вибрати способами, а 2 нестандартні з способами.

С. Тоді:
а) якщо події В і С несумісні, то


б) якщо події В і С сумісні, то

С. Тоді:
а) якщо події В і С незалежні, то


б) якщо події В і С залежні, то .


Ці теореми справджуються й для добутку n (n > 2) подій.

результаті випробування можуть відбутися n подій ,
Потрібно знайти ймовірність того, що відбудеться принаймні одна з них. Позначимо цю подію літерою А. Тоді про- тилежною буде подія A, яка полягає в тому, що в результаті випробування
одночасно настали протилежні події:


Знайдемо ймовірність події А через імовірність протилежної події:

містить 12 стандартних і чотири нестанда- ртні деталі. Навмання беруть три деталі. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей:

1) не менш як дві стандартні;
2) усі три нестандартні;
3) принаймні одна стандартна

Приклад розв’язання задач

«серед трьох узятих деталей не менш як дві стандартні». Тоді її можна подати як суму двох подій: — «серед трьох узятих деталей дві стандартні і одна нестандартна» і — «усі три узяті деталі стандартні». Події і несумісні, тому маємо:

Імовірності подій і знайдемо згідно з класичним означенням імовірності.


Отже,

Ця особливість відрізняє предмет і методи теорії ймовірностей від предмету і методів математичної статистики, де випадкову змінну досліджують після одержання статистичного матеріалу.

Виникнення теорії й
мовірностей як науки відносять
до середніх століть і першим
спробам математичного
аналізу азартних ігор. Спочатку
її основні поняття не мали
строго математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, властивостей реальних подій, і вони формулювалися в наочних . Найранніші праці в галузі теорії ймовірностей належать до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскальстрого математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, властивостей реальних подій, і вони формулювалися в наочних . Найранніші праці в галузі теорії ймовірностей належать до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Фермастрого математичного вигляду, до них можна було ставитися як до деяких емпіричних фактів, властивостей реальних подій, і вони формулювалися в наочних . Найранніші праці в галузі теорії ймовірностей належать до XVII століття. Досліджуючи прогнозування виграшу в азартних іграх, Блез Паскаль і П'єр Ферма відкрили перші ймовірнісні залежності, що виникають під час кидання гральних кубиків.

наукову основу теорії ймовірностей заклав великий математик Якоб Бернуллі (1654-1705). Його праця «Мистецтва припущень» стала першим ґрунтовним трактатом з теорії ймовірностей. Вона містила загальну теорію перестановок і поєднань. А сформульований Бернуллі закон великих чисел дав можливість встановити зв'язок між імовірністю будь-якої випадкової події та частотою її появи, яка спостерігається безпосередньо з досвіду.

до аналізу похибок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний доробок зробили російські вчені: П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. Тоді було доведено закон великих чисел,центральну граничну теорему У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу похибок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний доробок зробили російські вчені: П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. Тоді було доведено закон великих чисел,центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу похибок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний доробок зробили російські вчені: П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. Тоді було доведено закон великих чисел,центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова. Сучасного вигляду теорія ймовірностей отримала завдяки аксіоматизації, яку запропонував Андрій Миколайович Колмогоров У першій половині XIX століття теорія ймовірностей починає застосовуватися до аналізу похибок спостережень; Лаплас і Пуассон довели перші граничні теореми. У другій половині XIX століття значний доробок зробили російські вчені: П. Л. Чебишов, А. А. Марков і О. М. Ляпунов. Тоді було доведено закон великих чисел,центральну граничну теорему, а також розроблено теорію ланцюгів Маркова. Сучасного вигляду теорія ймовірностей отримала завдяки аксіоматизації, яку запропонував Андрій Миколайович Колмогоров[джерело не вказано 681 день]. Врешті-решт теорія ймовірностей набула чіткого математичного вигляду й остаточно стала сприйматися як один з розділів математики.