Управление образования администрации Первомайского района г.Минска презентация

Секцикция: математика Авторы: Комарова Тамара Дмитриевна СШ №203, 11 <А^> класс Ул.Гинтовта, дом 8 кв. 50 Тел. 286-56-97 Ермоленков Николай Андреевич СШ№203, 11 <А^> класс Ул.Шафарнянская, дом 14 кв.185 Тел.283-72-75 Научный руководитель: КОВАЛЕВИЧ Тамара Вадимовна СШ№203 Учитель математики Минск, 2008

Управление образования администрации Первомайского района г.Минска

сферическая системы координат
3) Выводы
4) Литература

точку по заданным координатам и находить координаты точки, изображённой в заданной системе координат, узнать области их применения; Развивающие: способствовать развитию пространственного воображения; способствовать выработки задач и развитию логического, научного мышления учащихся. Воспитательные: воспитание учебно-познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения и диалога.

косоугольные системы. Прямоугольные и косоугольные координатные системы объединяются под названием декартовых систем координат. Иногда на плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве - цилиндрические или сферические системы координат.

системой координат обычно пользуются на аэродромах. Трудно переоценить значение декартовой системы координат в развитии математики и её приложений. Огромное количество задач, требовавших для решения геометрической интуиции, специфических методов, получило решения, состоящие в аккуратном проведении алгебраических выкладок. Кривые и поверхности, определяемые ранее геометрически, получили описание в виде формул. Более того, рассматривая различные уравнения и изображая соответствующие линии и поверхности, математики получили новые геометрические образы, оказавшиеся очень полезными в приложениях, например гиперболические функции.

физик, математик и физиолог. Родился в местечке Лаэ. Окончил иезуитскую коллегию Ла-Флеш (Анжу), был некоторое время военным, путешествовал. В 1628 - 49 годах жил в Голландии, в 1649 году переехал в Стокгольм, где и умер. В 1637 году вышел в свет главный математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» (полное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках»). В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях — многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике (в том числе — правильная формулировка закона преломления света) и многое другое.

близкую к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c…, а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид (дробные и отрицательные утвердились благодаря Ньютону). Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся в канонической форме (в правой части — нуль). Символическую алгебру Декарт называл «Всеобщей математикой», и писал, что она должна объяснить «всё относящееся к порядку и мере». Создание аналитической геометрии позволило перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, то есть анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Этот перевод имел тот недостаток, что теперь надо было аккуратно определять подлинные геометрические свойства, не зависящие от системы координат (инварианты). Однако достоинства нового метода были исключительно велики, и Декарт продемонстрировал их в той же книге, открыв множество положений, неизвестных древним и современным ему математикам.

числе геометрические и механические), классификация алгебраических кривых. Новый способ задания кривой — с помощью уравнения — был решающим шагом к понятию функции. Декарт формулирует точное «правило знаков» для определения числа положительных корней уравнения, хотя и не доказывает его. Декарт исследовал алгебраические функции (многочлены), а также ряд «механических» (спирали, циклоида). Для трансцендентных функций, по мнению Декарта, общего метода исследования не существует. Все неотрицательные вещественные числа, не исключая иррациональные, рассматриваются Декартом как равноправные; они определяются как отношения длины некоторого отрезка к эталону длины. Позже аналогичное определение числа приняли Ньютон и Эйлер. Декарт пока ещё не отделяет алгебру от геометрии, хотя и меняет их приоритеты; решение уравнения он понимает как построение отрезка с длиной, равной корню уравнения. Этот анахронизм был вскоре отброшен его учениками, прежде всего — английскими, для которых геометрические построения — чисто вспомогательный приём.

двух пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, – начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат. В конкретной невырожденной координатной системе каждой точке соответствует один и только один набор координат. Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной (или ортогональной ). Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной ( декартовой ) системой координат (в честь французского математика Рене Декарта).

обычно обозначаются латинскими буквами x , y и называются, соответственно, абсциссой, ординатой . Координатная ось OX называется осью абсцисс , ось OY – осью ординат. Положительные направления отсчета по каждой из осей обозначаются стрелками.

координат существенен; так, например, точки A  (–3; 2) и B  (2; –3) – это две совершенно различные точки.
Как определить координаты точки в декартовой системе координат? Проведем через точку A прямые, перпендикулярные осям. Расстояния от точек пересечения построенных прямых с осями абсцисс, ординат до начала координат, взятые со знаком «+», если точки лежат на положительных полуосях, и со знаком «–», если они лежат на отрицательных полуосях, и будут координатами точки A . Координаты точки записываются в скобках: например, A  (–3; 2)

на осях координат, не принадлежат ни одному квадранту.
В двухмерной системе координат все точки, лежащие над (под) осью OX , образуют верхнюю (нижнюю) координатную полуплоскость . Все точки, лежащие правее (левее) оси OY образуют правую (левую) координатную полуплоскость.

3 попарно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выберем направление (оно обозначается стрелкой) и зададим единицу измерения отрезков. Говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве. Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка началом координат. Она обозначается обычно буквой О. Оси координат обозначаются Ох, Оу, Оz. Вся система координат обозначается Оxyz. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Oz, Oz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оyz, Ozх.

z

O

x

Oy – ось ординат

Ox – ось абсцисс

y

направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полу­осью, а другой луч - отрицательной полуосью. В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны левая и правая системы координат

x

O

z

y

y

x

z

O

которые называются ее координатами. Они определя­ются аналогично координатам точек на плоскости. Проведем через точку М три плоскости, перпендику­лярные к осям координат, и обозначим через М1. М2 и М3 точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат. Первая координата точки М (она называется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: х=ОМ1. если М1 - точка положительной полуоси; х=-ОМ1, если М1 - точка отрицательной полуоси; х=О, если M1 совпадает с точкой о. Аналогично с помощью точки М2 определяется вторая координата (ордината) у точки М, а с помощью точки М3 - третья координата (аппликата) Z точки М. Координаты точки М записы­ваются в скобках после обозначения точки: М (х; у; z).

в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенныечерез начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O , положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM ( радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

координат определяется уравнением
Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0где A2 + B2 + C2 ≠ 0 .

проекцию точки M на эту плоскость M' .
В цилиндрических координатах положение точки M определяется числами ρ , j и z , где ρ и j — полярные координаты точки M' , а z — проекция вектора OM на вектор →n .
Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l — с положительной частью оси абсцисс, а вектор →n — с положительной частью оси аппликат (рис. 3).

координат используются координатные оси. Однако в ряде случаев удобно в качестве координат использовать не метрические величины, а величины других размерностей, например, углы.

Модель . Воздушная атака.

чисел (ρ; φ). Основными понятиями этой системы являются точка отсчета – полюс – и луч, начинающийся в этой точке, – полярная ось. Координата ρ – расстояние от точки до полюса, координата φ – угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку, который берется со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «–» в противоположном случае. Важно понимать, что число φ в полярной системе определено не однозначно: парам чисел (ρ; φ + 2πn) соответствует одна и та же точка при любых натуральных n. Для полюса ρ = 0, а угол φ не определен.

в декартовой системе координат, (ρ; φ) – в полярной. Тогда очевидно, что Формулы обратного перехода:

Полярная система координат.

третью координату – угол θ. Углы φ и θ примерно соответствуют земным долготе и широте (угол θ также отсчитывается от «экватора»), а координата ρ определяет расстояние от исследуемой точки до полюса. Подобная система координат носит название сферической. Сферическими координатами точки в трехмерном пространстве являются: ρ – расстояние от точки до полюса, φ – угол между полярной осью и проекцией радиус-вектора точки на выбранную экваториальную плоскость (содержащую полярную ось), θ – угол между радиус-вектором точки и его проекцией на экваториальную плоскость.

лежащей в ней, называется сферической

координатам и находить координаты точки, изображённой в заданной системе координат, узнали области их применения;
Мы узнали кто такой Декарт и почему системы координат названы в его честь.

На практике применили свои знания по построению точек в плоскости.

Кадомцев и д.р. -12 изд.-М.: Просвещение, 2003.С 95-96.
Глейзер Г.И. История математики в школе. М., 1983. С 157-160.
Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 кл. средней школы- 3 изд. – М.: Просвещение, 1992. С 270-271.
Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. М., 1987.
Энциклопедический словарь юного математика/Сост. А.П. Савин.-М.: Педагогика, 1985. С 151-152.