Треугольники презентация

Содержание

Проверим ваши знания: Определение треугольника. Виды треугольников. 3) Свойства прямоугольного треугольника. 4) Свойства равнобедренного треугольника. 5)Теорема синусов. 6)Теорема косинусов. Москва, 2013

Слайд 1
Треугольники
Москва, 2013

Слайд 2Проверим ваши знания:
Определение треугольника.
Виды треугольников.
3) Свойства прямоугольного треугольника.
4) Свойства равнобедренного треугольника.
5)Теорема

синусов.
6)Теорема косинусов.

Москва, 2013

Слайд 3Из истории математики
Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской


геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса.

Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa,
означающего тянущаяся под чем либо , стягивающая.
Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны
натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок.

Термин катет происходит от греческого слова «катетос »,
которое означало отвес , перпендикуляр. В средние века словом катет
означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его
стороны называли гипотенузой, соответственно основанием.
В XVII веке слово катет начинает применяться в современном смысле и
широко распространяется, начиная с XVIII века.

Евклид употребляет выражения:
«стороны, заключающие прямой угол», - для катетов;
«сторона, стягивающая прямой угол», - для гипотенузы.


Москва, 2013

Слайд 4Треугольники бывают
Равносторонние (правильные)
Прямоугольные
РавнобедренныеРавнобедренные





Москва, 2013

Слайд 5Равносторонние
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним (или правильным) треугольником.

Свойства равностороннего

треугольника:
Все углы равны (каждый угол равен 60∘);
Каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой;
Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в него. Кроме того, равносторонний треугольник,
как частный вид правильного многоугольника,
имеет все свойства правильного многоугольника.

Москва, 2013

Слайд 6Прямоугольный треугольник
Если один из углов треугольника прямой,
то треугольник называется прямоугольным.
А
В
С
Сторона

прямоугольного треугольника, лежащая
против прямого угла, называется гипотенузой,

гипотенуза

катет

катет

а две другие – катетами.




Если даны две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона может быть вычислена по теореме ПифагораЕсли даны две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона может быть вычислена по теореме Пифагора. Острые углы определяются по формулам тригонометрических функций острого угла — Синус угла, Косинус угла, Тангенс угла, Котангенс угла.


Москва, 2013

Слайд 7Свойства прямоугольного треугольника
Свойство 1
Свойство 2
Свойство 3






Москва, 2013

Слайд 8
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°
Доказательство:
Сумма углов треугольника равна

180° , а прямой угол равен 90° , поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90° .

Свойство 1


∠С=90°

∠А+∠В=90°

Москва, 2013

Слайд 9Катет прямоугольного треугольника , лежащий против угла в 30°, равен половине

гипотенузы.

Доказательство:


Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВД.


Свойство 2

Москва, 2013

Слайд 10




Москва, 2013

Слайд 11
Доказательство:
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против

этого катета, равен 30°.

Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВД.

Свойство 3

Москва, 2013

Слайд 12




Москва, 2013

Слайд 13В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны 45°.
∠С = 90°
АС=ВС


∠А=45°
∠В=45°

А
В
С

Свойство 4


Москва, 2013

Слайд 14
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть

среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза высотой.


С

А

Н

В

Свойство 5

Москва, 2013

Слайд 15 Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и

отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.


С

А

Н

В



Свойство 6

Москва, 2013

Слайд 16ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов

катетов.


Москва, 2013

Слайд 17Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:


Косинус острого угла в прямоугольном

треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:


Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:


Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):


Москва, 2013

Слайд 18Признаки равенства
прямоугольных треугольников
Если катеты одного прямоугольного треугольника
соответственно равны катетам другого,

то такие треугольники равны.

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного
треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу
другого, то такие треугольники равны.

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и острому углу другого,
то такие треугольники равны.

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и катету другого,
то такие треугольники равны.


Москва, 2013

Слайд 19Если катеты одного прямоугольного треугольника
соответственно равны катетам другого, то такие

треугольники равны.


Дано:

Доказать:

Доказательство:

В

А

А1

С

С1

В1

∆ АВС = ∆ А1В1С1

следует из первого признака равенства треугольников
(по двум сторонам и углу между ними).

Москва, 2013

Слайд 20Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного
треугольника

соответственно равны катету и прилежащему к нему углу
другого, то такие треугольники равны.


В

А

А1

С

С1

В1

Дано:

Доказать:

Доказательство:

следует из второго признака равенства треугольников
(по стороне и прилежащим к ней углам)



∆ АВС = ∆ А1В1С1



Москва, 2013

Слайд 21Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе

и острому углу другого,
то такие треугольники равны.


В

А

А1

С

С1

В1

Дано:

Доказать:

Доказательство:

т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°,
то два других острых угла также равны,

∆ АВС = ∆ А1В1С1



Москва, 2013

Слайд 22Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника
соответственно равны гипотенузе и

катету другого,
то такие треугольники равны.


В

А

А1

С

С1

В1

Дано:

Доказать:

Доказательство:

∆ АВС = ∆ А1В1С1

Наложим ∆ А1В1С1 на треугольник ∆ АВС.

Т.к. АС = А1С1 и АВ = А1В1, то они при наложении совпадут.

Тогда вершина А1 совместиться с вершиной А.

Но и тогда и вершины В1 и В также совместятся.


Следовательно, треугольники равны.

Москва, 2013

Слайд 23Равнобедренные
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми,

а третья сторона – основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (Доказательство)
Свойство медианы равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. (Доказательство )


Москва, 2013

Слайд 24Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC . По первому признаку эти треугольники равны.

Действительно, AC = BC; BC = AC; C = C. Отсюда следует A = B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана.
Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB, и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB. Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD = BCD, ADC = BDC. Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника. Теорема доказана.


Москва, 2013

Слайд 25Признаки равнобедренного треугольника.
 Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

(Доказательство)
Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.
(Доказательство)


Москва, 2013

Слайд 26
Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA; B = A; A = B. Из равенства

треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана.

В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий,AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана.

Москва, 2013

Слайд 27Задачи по готовым чертежам

А
С
В
D
?
В
А
С

370
?
?
А
В
С
700
?

А
В
С

300
15 см
?

1200
4 см
D
С
А
В
?
4,2 см
8,4 см

Москва, 2013

Слайд 28Контрольный тест
1. Прямоугольным называется треугольник, у которого

а) все углы прямые;
б) два угла прямые;
в) один прямой угол.

Москва, 2013

Слайд 292. В прямоугольном треугольнике всегда
а) два угла острых и

один прямой;
б) один острый угол, один прямой и один тупой угол;
в) все углы прямые.

Контрольный тест

Москва, 2013

Слайд 303. Стороны прямоугольного треугольника, образующие
прямой угол, называются

а) сторонами треугольника;
б) катетами треугольника;
в) гипотенузами треугольника.

Контрольный тест

Москва, 2013

Слайд 314. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется

а) стороной треугольника;
б) катетом треугольника;
в) гипотенузой треугольника.

Контрольный тест

Москва, 2013

Слайд 32Контрольный тест
Москва, 2013

Слайд 33

Москва, 2013

Слайд 34Папирус Ахмеса
Математический папирус Ахмеса — древнеегипетское учебное руководство по

арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см.

Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 шотландским египтологом Генри Риндом и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музеев Лондоне, а вторая часть — в Нью - Йорке.

Этот документ остается основным источником информации по математике древнего Египта. Он содержит чертежи треугольников с указаниями углов и формулами нахождения площадей.

Во вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами, пропорциональное деление, нахождение отношений.


Москва, 2013

Слайд 35Е В К Л И Д
Евклид (Eνκλειδηζ), древнегреческий математик, автор первого

из дошедших до нас теоретических трактатов по математике.
Сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III веке до н. э. Евклид – первый математик александрийской школы. Его главная работа «Начала»
(в латинизированной форме – «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвел итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики.

Из других сочинений по математике надо отметить работу «О делении фигур», сохранившуюся в арабском переводе, четыре книги «Конические сечения», материал которых вошел в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид – автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.
Дошедшие до нас произведения Евклида собраны в издании «Euclidis opera omnia», ed. J. L. Heibert et Н. Menge, v. 1–9, 1883–1916, дающем их греческие подлинники, латинские переводы и комментарии позднейших авторов.


Москва, 2013

Слайд 36
Это интересно
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами).



Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

В любом треугольнике: 
 
1.  Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2.  Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
3.  Сумма углов треугольника равна 180 º
4.  Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол.
Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и
больше их разности ( a < b + c,  a > b – c;  b < a + c,  b > a – c;  c < a + b,  c > a – b ).

Москва, 2013

Слайд 37Ответ не правильный.

Более внимательно изучи данную тему!

Москва, 2013

Слайд 38Вы верно ответили
на все вопросы !

Москва, 2013

Слайд 39Человек, вооруженный знаниями способен решить любые задачи.
Спасибо за урок!
Москва, 2013

Слайд 40Москва, 2013

Слайд 41Итоговый тест
Будьте внимательны
Москва, 2013

Слайд 42Вопрос 1: Выберите верную формулировку определения прямоугольного треугольника:





Москва, 2013

Слайд 43Вопрос 2: Верно ли, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна

180°?

180°






Москва, 2013

Слайд 44Вопрос 3: Как называется сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу?






Москва, 2013

Слайд 45Вопрос 4: Как называются стороны прямого угла прямоугольного треугольника?





Москва, 2013

Слайд 46Вопрос 5: Продолжите формулировку:
Если острый угол прямоугольного треугольника равен 30°, то…





Москва,

2013

Слайд 47Вопрос 6: В треугольнике АВС с прямым углом С ∟ВАС =

30°, АВ = 36 см. Найдите длину катета ВС.
Выберите верный ответ.



В

С

А






Москва, 2013

Слайд 48Вопрос 7:
На рисунке изображен треугольник АВС, ∟АВС = 42°
Найдите градусную меру

угла BAС.


В

А

С







Москва, 2013

Слайд 49Вопрос 8: Каким свойством обладает катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу в

30°?






Москва, 2013

Слайд 50




Москва, 2013

Слайд 51


С
В
А
4 см
30°




С
В
А
4 см
30°

D
F





Москва, 2013

Слайд 52Вопрос 11: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена высота

АD.
Найдите величины углов В и С, если
боковая сторона треугольника АС=7 см, а СD=3,5 см






Москва, 2013

Слайд 53Вопрос 12: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС боковая сторона

АВ равна 12 см, а угол при вершине А – 120°. Определите высоту АН треугольника АВС.


А

С

Н

В






Москва, 2013

Слайд 54Вопрос 13: В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза равна 18 см. Определите

высоту треугольника, опущенную из вершины прямого угла.



=

=







Москва, 2013

Слайд 55На ошибках учатся!
Повтори теорию еще раз и вернись к задаче.
Не

унывай


Москва, 2013

Слайд 56Ты хорошо поработал!
Приступай к решению следующей задачи.
МОЛОДЕЦ

Москва, 2013

Похожие презентации

ТЕМА СуффиксУрок русского языкаКЛАСС 366
Все, что здесь представлено: 253
Что такое ceram-kote 54? 201
Фото. Лучший генерал 197
Дворянская усадьба 481
Доступ иностранных эмитентов на российский фондовый рынок - РДР или прямой листинг? Андрей НоваковскийПартнер Круглый столКорпорации на рынке ценных бумаг 15 ноября 2011 годаг. Москва 164

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика